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第3节　随机事件与概率
1.理解样本点和有限样本空间的含义.
2.理解随机事件与样本点的关系.
3.了解随机事件的并、交与互斥的含义.
4.掌握随机事件概率的运算法则.
5.会用频率估计概率.
1.有限样本空间与随机事件
(1)随机试验
对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母E表示.
(2)有限样本空间
把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,用Ω表示样本空间,用ω表示样本点,如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间.
(3)随机事件、必然事件、不可能事件
①一般地,随机试验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,把样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件,随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
②Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,称Ω为必然事件.
③空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,称为不可能事件.
2.事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,则称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等 A=B
并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=,则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B=
对立事件 如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=,那么称事件A与事件B互为对立 A∪B=Ω,且A∩B=
互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.两个事件互为对立事件的前提是互斥事件.
3.概率的基本性质
(1)性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
(2)性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,
P()=0.
(3)性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),
P(A)=1-P(B).
(5)性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
(6)性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=
P(A)+P(B)-P(A∩B).
概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽视只有当A∩B=,即事件A,B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0.
4.频率的稳定性
(1)在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.
(2)一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.下列说法正确的是(　D　)
A.某厂一批产品的次品率为5%,则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品
B.气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨
C.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈
D.掷一枚质地均匀的硬币,连续出现5次正面向上,第6次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%
解析:掷一枚硬币,每次抛掷所出现的可能性都相等且互不影响,因此D正确.故选D.
2.(必修第二册P233练习T1改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　C　)
A.是互斥事件,不互为对立事件
B.互为对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也互为对立事件
D.既不是互斥事件也不互为对立事件
解析:“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也互为对立事件.故
选C.
3.(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　C　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
解析:不妨设该校学生总人数为100,既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x,则100×96%=100×60%-x+100×82%,所以x=46,所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
4.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中
9环,有4次中8环,有1次未中靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为　　　　;中10环的概率约为　　　　.
解析:中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为=0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
答案:0.9　0.2
5.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B=
{抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=
0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为　　　　.
解析:因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为1-0.65=0.35.
答案:0.35
事件的关系
1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:
①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④恰有1个白球与都是黄球.
其中互斥而不对立的事件共有(　B　)
A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
解析:①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不是互斥事件.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件.故选B.
2.设条件甲:“事件A与事件B互为对立事件”,结论乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;投掷一枚硬币3次,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件,如:事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“出现3次正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.故选A.
3.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取两个小球,若事件“两个小球全是红球”的概率为,则概率是的事件是(　C　)
A.恰有一个红球 B.两个小球都是白球
C.至多有一个红球 D.至少有一个红球
解析:因为=1-,所以概率是的事件是“两个小球全是红球”的对立事件,应为“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件,即为“至多有一个红球”.故选C.
4.连续射击两次,每次发射一枚子弹,设A={两次都击中目标},B={两次都没击中目标},C={恰有一次击中目标},D={至少有一次击中目标},其中彼此互斥的事件是　　　　　　　,互为对立事件的是　　　.
解析:设I为连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B=,A∩C=,
B∩C=,B∩D=,故A与B,A与C,B与C,B与D为互斥事件.而B∩D=,B∪D=I,故B与D互为对立事件.
答案:A与B,A与C,B与C,B与D　B与D
对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系.
随机事件的频率与概率
(2021·江苏南通调研)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 气温 [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40]
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃,由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=
300;
若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100,
所以Y的所有可能值为900,300,-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃,由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
利用概率的统计定义求随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.此类题目的求解方法:先利用频率的计算公式计算出频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
[针对训练]
(2021·辽宁沈阳调研)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到数据如表:
电影 类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影 部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,估计这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大
(只需写出结论)
解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=
2 000,第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故估计这部电影是获得好评的第四类电影的概率为=0.025.
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+
300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=
372,
故随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率为1-=
0.814.
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
互斥事件、对立事件的概率
某超市有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.
1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖
50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,
C.求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
解:(1)由题意得P(A)=,P(B)==,P(C)==.故事件A,
B,C发生的概率P(A),P(B),P(C)分别为,,.
(2)1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖.
设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.
因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==,
故1张奖券中奖的概率为.
(3)抽1张奖券的结果共有4种可能:中特等奖,中一等奖,中二等奖,不中奖.其中,事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能:中二等奖和不中奖.
法一(直接法)　设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,设“1张奖券不中奖”为事件D.
由(2)得,P(D)=1-P(M)=1-=,
所以P(N)=P(C)+P(D)=+=,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
法二(间接法)　设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件,
所以P(N)=1-P(A∪B)=1-(+)=,
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
求复杂的互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反)
[针对训练]
一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解:记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},
A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},
则P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,P(A4)=,
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥.
法一(利用互斥事件求概率)
由互斥事件的概率公式,得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
法二(利用对立事件求概率)
(1)由题意知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1--=.
(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4,
所以取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-=.
(1)一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A.至多有一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
(2)如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B发生的概率是0.64,事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍,则事件A发生的概率为　　　　;事件B发生的概率为　　　　.
解析:(1)事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.故
选D.
(2)设P(A)=x,P(B)=3x,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64.
所以P(A)=x=0.16,P(B)=3x=0.48.
答案:(1)D　(2)0.16　0.48
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示:
一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上
顾客数/人 x 30 25 y 10
结算时间/ (min/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率.(将频率视为概率)
解:(1)由已知得x+30=45,25+y+10=55,所以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为
=1.9(min).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1 min”“该顾客一次购物的结算时间为1.5 min”“该顾客一次购物的结算时间为2 min”,将频率视为概率得
P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.
因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,
所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=,
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2 min的概率为.
某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表:
上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费/元 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到统计表如表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×
0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如表:
所用时间 /min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1 的人数 6 12 18 12 12
选择L2 的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40 min内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40 min和50 min的时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解:(1)由已知共调查了100人,其中40 min内不能赶到火车站的人数有12+12+16+4=44,
所以用频率估计相应的概率为=0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为
所用时间 / min 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
选择L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
(3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40 min内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50 min内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0+0.1+0.4=0.5,
因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择路径L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9,
因为P(B1)知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
事件的关系与运算 1 9
频率与概率 3,5,7 11,12,13 14
互斥事件与对立事件的概率 2,4,6,8 10
1.(多选题)(2021·山东青岛二中调研)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次取出2张卡片,则下列事件与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的是(　ABD　)
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有1张红色
C.2张卡片至少有1张红色
D.2张卡片都为绿色
解析:对于A,事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件;对于B,事件“2张卡片恰有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件;对于C,事件“2张卡片至少有1张红色”与事件“2张卡片都为红色”不是互斥事件;对于D,事件“2张卡片都为绿色”与事件“2张卡片都为红色”是互斥事件但不互为对立事件.故选ABD.
2.(2021·甘肃兰州一模)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(　A　)
A. B. C. D.
解析:设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率为P=P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故
选A.
3.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者(　B　)
A.10名 B.18名 C.24名 D.32名
解析:由题意知,第二天在没有志愿者帮忙的情况下,积压订单超过500+(1 600-1 200)=900(份)的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者=
18(名).故选B.
4.(2021·湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等
10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为(　A　)
A. B. C. D.
解析:设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A,所以P()==.因此P(A)=1-P()=1-=.故选A.
5.(2021·吉林模拟)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示:
所用时间(天数) 10 11 12 13
通过公路1的频数 20 40 20 20
通过公路2的频数 10 40 40 10
假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙,汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　A　)
A.公路1和公路2 B.公路2和公路1
C.公路2和公路2 D.公路1和公路1
解析:通过公路1从城市甲到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2;
通过公路2从城市甲到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,
0.4,0.4,0.1.
设A1,A2分别表示汽车A在约定日期的前11天出发,选择公路1,2将货物从城市甲运往城市乙;
设B1,B2分别表示汽车B在约定日期的前12天出发,选择公路1,2将货物从城市甲运往城市乙,
则P(A1)=0.2+0.4=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
所以汽车A最好选择公路1,汽车B最好选择公路2.故选A.
6.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0,4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为　　　　.
解析:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D,而事件D包含事件A与B,且A与B彼此互斥,所以P(D)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.
答案:0.9
7.(2019·全国Ⅱ卷)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　.
解析:设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)==,P(B)==,P(C)==,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×+0.98×+
0.99×=0.98.
答案:0.98
8.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为,取得两个绿玻璃球的概率为,则取得两个同色玻璃球的概率为　　　　;至少取得一个红玻璃球的概率为　　　　.
解析:由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为+=.
由于事件“至少取得一个红玻璃球”与事件“取得两个绿玻璃球”是对立事件,则至少取得一个红玻璃球的概率为1-=.
答案:　
9.(多选题)一个人连续射击两次,对于击中目标的情况下列说法正确的是(　CD　)
A.事件“两次均击中”与事件“至少有一次击中”互为对立事件
B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少有一次击中”互为对立事件
解析:对于A,事件“至少有一次击中”包含“第一次击中、第二次未击中”“第二次击中、第一次未击中”和“两次均击中”,所以“两次均击中”与“至少有一次击中”不互为对立事件,A错误;
对于B,事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次未击中”,所以它与事件“第二次击中”不是互斥事件,B错误;
对于C,事件“恰有一次击中”是“有一次击中、一次未击中”,它与事件“两次均击中”是互斥事件,C正确;
对于D,事件“两次均未击中”的对立事件是“至少有一次击中”,D正确.故选CD.
10.(多选题)小张上班从家到公司开车有两条线路,所需时间(单位:
min)随交通堵塞状况有所变化,其概率分布如表所示,
所需时间/min 30 40 50 60
P(线路一) 0.5 0.2 0.2 0.1
P(线路二) 0.3 0.5 0.1 0.1
则下列说法正确的是(　BD　)
A.任选一条线路,“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”是对立事件
B.从所需的平均时间看,线路一比线路二更节省时间
C.如果要求在45 min以内从家赶到公司,小张应该走线路一
D.若小张上、下班走不同线路,则所需时间之和大于100 min的概率为0.08
解析:“所需时间小于50 min”与“所需时间为60 min”互斥而不互为对立,故A错误;线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×
0.2+60×0.1=39(min),线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+
50×0.1+60×0.1=40(min),所以线路一比线路二更节省时间,故B正确;线路一所需时间小于45 min的概率为0.7,线路二所需时间小于45 min的概率为0.8,所以小张应该选线路二,故C错误;小张上、下班所需时间之和大于100分钟,则线路一、线路二的时间可以为(50,60),(60,50)和(60,60)三种情况,概率为2×(0.2×0.1+0.1×
0.1+0.1×0.1)=0.08,故D正确.故选BD.
11.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图
所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是　　　　,他属于不超过2个小组的概率是　　　　.
解析:“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为
P==.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.
故他属于不超过2个小组的概率是
P=1-=.
答案:　
12.某人在如图所示的直角边长为4 m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:
X 1 2 3 4
Y 51 48 45 42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年均收获量;
Y 51 48 45 42
频数 4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率(将频率视为概率).
解:(1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,填写
列表:
Y 51 48 45 42
频数 2 4 6 3
所种作物的平均年收获量为
==46(kg).
(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=,
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.
13.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:mm)有关.据统计,当X=
70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,
160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于
490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
解:(1)在所给数据中,降雨量为110 mm的有3个,为160 mm的有7个,为200 mm的有3个,故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率
(2)由已知可得Y=+425,故P(“发电量低于490万千瓦时或超过
530万千瓦时”)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+
P(X=110)+P(X=220)=++=.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.
14.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到试验结果如表所示:
A配方的频数分布表
指标值 分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值 分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]
频数 4 12 42 32 10
(1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的
利润.
解:(1)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质品的频率为=
0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)由条件知,用B配方生产的一件产品的利润大于0,当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,t≥94的频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率的估计值为0.96.
用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润为×[4×(-2)+
54×2+42×4]=2.68(元).

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