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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个 基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),
||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,b≠0,a,b共线 x1y2-x2y1=0.
1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为(,).
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G(,).
1.(必修第二册P33练习T1改编)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(　D　)
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0) D.(-1,2)
解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),
所以a=(,),b=(,-),
所以a-b=(-,+)=(-1,2).故选D.
2.(必修第二册P33练习T5改编)若P1(1,3),P2(4,0)且P是线段P1P2的一个三等分点,则点P的坐标为(　D　)
A.(2,2) B.(3,-1)
C.(2,2)或(3,-1) D.(2,2)或(3,1)
解析:由题意可知=(3,-3).
若=,则P点坐标为(2,2);
若=,则P点坐标为(3,1).故选D.
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+nb(m,n∈R)与a-2b共线,则=　　　　.
解析:ma+nb=m(2,3)+n(-1,2)=(2m-n,3m+2n).
a-2b=(2,3)-2×(-1,2)=(4,-1).
因为(ma+nb)∥(a-2b),
所以-(2m-n)-4(3m+2n)=0,
所以2m+n=0,
所以=-.
答案:-
4.已知 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为　　　　.
解析:设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),即解得
答案:(1,5)
平面向量的坐标运算
1.已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3), ||=2||,则向量的坐标是　　　　.
解析:由点C是线段AB上一点,||=2||,
得=-2.
设点B的坐标为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),
即解得
所以向量的坐标是(4,7).
答案:(4,7)
2.如图所示,以e1,e2为基底,则a=　　　　.
解析:以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),令a=x e1+y e2,即(-3,1)= x(1,0)+y(-1,1),则所以
即a=-2e1+e2.
答案:-2e1+e2
3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且= 3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及向量的坐标.
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=
(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)法一　因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以解得
法二　因为a+b+c=0,
所以a=-b-c,
又因为a=mb+nc,
所以mb+nc=-b-c,
所以
(3)设O为坐标原点,因为=-=3c,
所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).
所以M(0,20).
又因为=-=-2b,
所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),
所以N(9,2),所以=(9,-18).
向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
平面向量基本定理及其应用
如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　.
解析:法一　由=+,=-+,得=λ+μ=
(λ-)+(+μ),又=+,
所以解得所以λ+μ=.
法二　以AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
设正方形的边长为1,则=(1,),=(-,1),=(1,1),
因为=λ+μ=(λ-μ,+μ),
所以解得
所以λ+μ=.
答案:
1.先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.
2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.
3.建立适当的坐标系,利用向量的坐标运算.
[针对训练]
1.如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)
A.e1与e1+e2
B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2
D.e1+3e2与6e2+2e1
解析:法一　选项A中,设e1+e2=λe1,
则无解;
选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),
则无解;
选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),
则无解;
选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.故选D.
法二　只有D项的e1,e2的对应系数成比例.故选D.
2.如图,A,B分别是射线OM,ON上的点,给出下列向量:①+2;②+;③+;④+,若这些向量均以O为起点,则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是(　　)
A.①② B.①③
C.②③ D.②④
解析:由向量共线的充要条件可得当点P在直线AB上时,存在唯一的一对有序实数u,v,使得=u+v成立,且u+v=1.
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是满足=u+v,且u>0,v>0,u+v>1.因为1+2>1,所以点P位于阴影区域内,故①正确;同理③正确;而②④错误.故选B.
共线向量的坐标表示及其应用
　利用向量共线求参数
(1)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与 b共线,则x的值为　　　　.
(2)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　.
解析:(1)因为a=(2,1),b=(x,-1),
所以a-b=(2-x,2),
又因为a-b与b共线,
所以(2-x)×(-1)-2x=0,
所以x=-2.
(2)由题意得2a+b=(4,2),因为c=(1,λ),且c∥(2a+b),所以4λ-2=0,即λ=.
答案:(1)-2　(2)
如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b= (x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0”.
　利用向量共线求向量或点的坐标
在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,= ,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.
解析:因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),
所以点C(0,),同理点D(2,).
设M的坐标为(x,y),
则=(x,y-5),而=(2,-),
因为A,M,D三点共线,所以与共线,
所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20,
而=(x,y-),=(4-0,3-)=(4,),
因为C,M,B三点共线,所以与共线,
所以x-4(y-)=0,即7x-16y=-20,
由得
所以点M的坐标为(,2).
答案:(,2)
引入参数表示出未知点的坐标,借助向量共线的坐标计算求解便可.
[针对训练]
1.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若∥a,则点B的坐标为　　　　.
解析:设B(x,2x),则=(x-3,2x).
因为∥a,所以x-3=2x,即x=-3.
所以B(-3,-6).
答案:(-3,-6)
2.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).若d满足 (d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求d的坐标.
解:设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1),
又a+b=(2,4),|d-c|=,
所以
解得或
所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).
在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(-2,0),=(2,-3),则点D的坐标为(　　)
A.(6,1) B.(-6,-1)
C.(0,-3) D.(0,3)
解析:=(-3,-2)=,所以=+=-=(5,-1),则D(6,1).故选A.
向量a,b,c在正方形网格中,如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:以O为坐标原点,建立平面直角坐标系,设每个小正方形边长为1,可得a=(-1,1),b=(6,2),
c=(-1,-3).
因为c=λa+μb(λ,μ∈R),
所以
解得λ=-2,μ=-.所以=4.故选D.
已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.
解析:法一　设O为坐标原点,由O,P,B三点共线,可设=λ= (4λ,4λ),则=-=(4λ-4,4λ).
又=-=(-2,6),
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
解得λ=,所以==(3,3),
所以点P的坐标为(3,3).
法二　设点P(x,y),O(0,0),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,
所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,
所以点P的坐标为(3,3).
答案:(3,3)
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
平面向量的坐标运算 1,7,8
平面向量基本定理及应用 2,4,5,9 10
共线向量的坐标表示及其 应用 3,6 13
综合问题 11,12,14 15
1.在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是(　D　)
A.(2,2) B.(-2,-2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
解析:因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1).故选D.
2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　B　)
A.e1=(0,0),e2=(1,2)　
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)　
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析:对于A,C,D都有e1∥e2,所以只有B成立.故选B.
3.设向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为(　A　)
A.-2 B.1
C.-2或1 D.m的值不存在
解析:向量a=(m,2),b=(1,m+1),因为a∥b,所以m(m+1)=2×1,解得m=-2或m=1.当m=1时,a=(1,2),b=(1,2),a与b的方向相同,舍去;当m=-2时,a=(-2,2),b=(1,-1),a与b的方向相反,符合题意.故选A.
4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为第一象限内一点,∠AOC=,且OC=2,若=λ+μ,则λ+μ等于(　A　)
A.2 B.
C.2 D.4
解析:因为OC=2,∠AOC=,C为第一象限内一点,所以C(,),
又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,所以λ+μ=2.故选A.
5.(多选题)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　AC　)
A.与 B.与
C.与 D.与
解析:如图,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,对于A,与不共线,可作为基底;对于B,与为共线向量,不可作为基底;对于C,与是两个不共线的向量,可作为基底;对于D,与在同一直线上,是共线向量,不可作为基底.故选AC.
6.(多选题)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m可以是(　ABD　)
A.-2 B.
C.1 D.-1
解析:若A,B,C三点不共线即可构成三角形.因为=-=(2,-1)- (1,-3)=(1,2),=-=(m+1,m-2)-(1,-3)= (m,m+1).假设A,B,C三点共线,则1×(m+1)-2m=0,即m=1.所以只要m≠1,则A,B,C三点即可构成三角形.故选ABD.
7.已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),则实数k=　　　　.
解析:法一　a+2b=(-3,3+2k),
3a-b=(5,9-k),
由题意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.
法二　若a,b不共线,则a+2b与3a-b不共线,
这与(a+2b)∥(3a-b)矛盾,故a,b共线,
所以k-3×(-2)=0,解得k=-6.
答案:-6
8.设向量a=(-3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为　　　　.
解析:法一　不妨设向量b的坐标为(-3m,4m)(m<0),
则|b|==10,
解得m=-2(m=2舍去),
故b=(6,-8).
法二　与a方向相反的单位向量是==(,-),
故b=10(,-)=(6,-8).
答案:(6,-8)
9.如图,已知在△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.
(1)用a和b表示向量,;
(2)若=λ,求实数λ的值.
解:(1)由题意知,A是BC的中点,且=,由平行四边形法则,
得+=2,
所以=2-=2a-b,
=-=(2a-b)-b=2a-b.
(2)由题意知,∥,故设=x.
因为=-=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,=2a-b.
所以(2-λ)a-b=x(2a-b).
因为a与b不共线,由平面向量基本定理,
得解得故λ=.
10.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则等于(　A　)
A. B.
C.3 D.2
解析:如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),
因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,m)(m≠0).
=(m,m)=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=m,
所以=.故选A.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,设=a,=b,则向量等于(　C　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:设圆的半径为r,
在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,
所以∠BAC=,∠ACB=,
又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,
所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=,
则根据圆的性质得BD=CD=AB,
又因为在Rt△ABC中,AB=AC=r=OD,
所以四边形ABDO为菱形,
所以=+=a+b.故选C.
12.已知O为坐标原点,向量=(1,2),=(-2,-1),若2=,则||=　　　　.
解析:因为2=,
所以2(-)=-,
所以2=+,
所以=(+)=(-,)
所以||==.
答案:
13.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线;
(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,
所以2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,得k=-.
(2)法一　因为A,B,C三点共线,所以=λ,
即2a+3b=λ(a+mb),
所以解得m=.
法二　=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=.
14.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
解:法一　如图,作平行四边形OB1CA1,
则=+,
因为与的夹角为120°,与的夹角为30°,
所以∠B1OC=90°.
在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,||=2,
所以||=2,||=4,
所以||=||=4,
所以=4+2,
所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
法二　以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(1,0),B(-,),C(3,).
由=λ+μ,
得解得
所以λ+μ=6.
15.若α,β是平面内一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为　　　　.
解析:因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),
所以a=-2p+2q=(2,4),
令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),
所以即
所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).
答案:(0,2)

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