资源简介

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b,O是平面上任意一点,作=a,=b,则
∠AOB就是向量a与b的夹角,向量夹角的范围是[0,π].
2.平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0
投影、 投影向量 设a,b是两个非零向量,=a,=b,我们考虑如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量
投影向量 的表示 a在b上的投影向量为·,a在b上的投影向量的模为
3.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)数乘结合律:(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)
(λ∈R);
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
4.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|= |a|=
数量积 a·b= |a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0
a∥b |a·b|=|a||b| x1y2=x2y1
|a·b|与 |a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ ·
1.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(3)极化恒等式:设a,b是平面内的两个向量,则有a·b=[(a+b)2-(a-b)2];极化恒等式的几何意义是在△ABC中,若AD是BC边上的中线,则·=AD2-BD2.
2.两个向量a,b的夹角为锐角 a·b>0且a,b不共线;
两个向量a,b的夹角为钝角 a·b<0且a,b不共线.
1.(必修第二册P36练习T2改编)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=(　C　)
A.(-15,12) B.0
C.-3 D.-11
解析:因为a+2b=(-5,6),所以(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.故选C.
2.(必修第二册P36习题6.3T10改编)平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于(　D　)
A.13+6 B.2
C. D.
解析:因为a=(1,1),所以|a|==,
所以a·b=|a||b|cos 45°=2×=2,
所以|3a+b|=
=
=.故选D.
3.设x,y∈R,a=(x,1),b=(2,y),c=(-2,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+ 3b-c|=(　A　)
A.2 B.
C.12 D.2
解析:因为a⊥c,所以a·c=-2x+2=0,
解得x=1,则a=(1,1),
因为b∥c,所以4+2y=0,解得y=-2,
则b=(2,-2),所以2a+3b-c=(10,-6),
则|2a+3b-c|=2.故选A.
4.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=　　　　.
解析:因为(a+b)⊥b,
所以(a+b)·b=0,
所以a·b+b2=0,
所以3-2m+13=0,
所以m=8.
答案:8
5.如图,在△ABC中,M为BC的中点,若AB=1,AC=3,与的夹角为60°,则||=　　　.
解析:因为M为BC的中点,
所以=(+),
所以||2=(+)2
=(||2+||2+2·)
=×(1+9+2×1×3×cos 60°)=,
所以||=.
答案:
平面向量数量积的基本运算
1.已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,若E,F分别为AB,BC的中点,则·=(　B　)
A.8 B.10　
C.12 D.14
解析:法一(定义法)　根据题意,得·=(+)·(+)= ·+·+·+·=0+2×1×cos 0+2×4× cos 0+0=10.故选B.
法二(坐标法)　以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(4,2),D(0,2).
因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以E(2,0),F(4,1).
因为=(2,-2),=(4,-1),所以·=2×4+(-2)×(-1)=10.故选B.
2.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则·等于(　D　)
A. B.6 C.12 D.18
解析:如图,过点O作OD⊥AB于D,
可知AD=AB=3,
则·=(+)·=·+·=3×6+0=18.故选D.
3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若·=2·,则·=　　　.
解析:法一　因为·=2·,
所以·-·=·,
所以·=·.
因为AB∥CD,CD=2,∠BAD=,所以2||=||·||cos,化简得||=2,故·=·(+)=||2+·=
(2)2+2×2cos=12.
法二　如图,建立平面直角坐标系xAy.
依题意,可设点D(m,m),C(m+2,m),B(n,0),其中m>0,n>0,则由·=2·,得(n,0)·(m+2,m)=2(n,0)·(m,m),所以n(m+2) =2nm,化简得m=2,故·=(m,m)·(m+2,m)=2m2+2m=12.
答案:12
4.在 ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=　　　　.
解析:法一(定义法)　·=(+)·(+)=(+ )·(-)=-=×82-×62=24.
法二(特例图形)　若 ABCD为矩形,建立如图所示的平面直角坐标系,
则N(4,6),M(8,4).
所以=(8,4),=(4,-2),
所以·=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.
答案:24
解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题常有两种思路:一是定义法,二是坐标法.定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补;坐标法要建立合适的坐标系.
平面向量数量积的应用
　平面向量的模
(1)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D为BC的中点,则||等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为　　　　.
解析:(1)因为=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,
所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×(3-2×2××cos+4)=4,则||=2.故选A.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).
所以|+3|=
(0≤y≤b).
当y=b时,|+3|min=5.
答案:(1)A　(2)5
(1)公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
　平面向量的夹角
(1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则实数k的取值范围是　　　　.
解析:(1)法一　因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2·cos-|b|2=0,即cos=,又知∈[0,π],所以=.故选B.
法二　如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=,
又|a|=2|b|,所以∠AOB=,即=.故选B.
(2)因为2a-3b与c的夹角为钝角,
所以(2a-3b)·c<0,即(2k-3,-6)·(2,1)<0,
所以4k-6-6<0,所以k<3.若2a-3b与c反向共线,则=-6,解得k=-,此时夹角不是钝角,综上所述,实数k的取值范围是(-∞,-)∪(-,3).
答案:(1)B　(2)(-∞,-)∪(-,3)
(1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是0°或180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0°,180°];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ= 求解.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.
　两个向量垂直问题
(1)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　)
A.a+2b B.2a+b
C.a-2b D.2a-b
(2)已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为　　　　.
解析:(1)由题意,得a·b=|a||b|cos 60°=.对于A,(a+2b)·b= a·b+2b2=+2=≠0,故A不符合题意;对于B,(2a+b)·b=2a·b+b2= 1+1=2≠0,故B不符合题意;对于C,(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-≠0,故C不符合题意;对于D,(2a-b)·b=2a·b-b2=1-1=0,所以(2a-b)⊥b.故选D.
(2)因为⊥,所以·=0.
又=λ+,=-,
所以(λ+)·(-)=0,
即(λ-1)·-λ+=0,
所以(λ-1)||||cos 120°-9λ+4=0,
所以(λ-1)×3×2×(-)-9λ+4=0,
解得λ=.
答案:(1)D　(2)
1.若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.
2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
　投影向量
(1)(多选题)设a,b是两个非零向量,a在b上的投影向量为c,则下列命题正确的是(　　)
A.a在-b上的投影向量为c
B.当a∥b时,c=a
C.当a⊥b时,c=0
D.当a与b方向相同时,c=a;当a与b方向相反时,c=-a
(2)已知△ABC的外接圆圆心为O,且2=+,∠ABC=60°,则向量在向量上的投影向量为(　　)
A. B.
C.- D.-
(3)已知向量a=(0,8),b=(0,-1),c=(-,-1),a在b上的投影向量为m,a在c上的投影向量为n,则m与n的夹角为　　　　.
解析:(1)利用投影的定义作图或利用a在b上的投影向量为·,均可以判断A,B,C正确,D错误.故选ABC.
(2)过A作AD⊥BC于D(图略),由已知得∠BAC=90°,∠ACB=30°,所以BD=BA,BA=BC,所以BD=BC,所以=-.故选C.
(3)因为a∥b,所以m=a=(0,8),n=·=×=(2,2),所以cos===,又∈[0,π],所以=.
答案:(1)ABC　(2)C　(3)
1.求a在b上的投影向量有两个方法,一是利用投影的定义作出投影向量,用几何方法求解,二是利用投影向量的计算公式:a在b上的投影向量为·.
2.当a∥b时,a在b上的投影向量仍然是a,当a⊥b时,a在b上的投影向量为0,a在λb(λ∈R,且λ≠0)上的投影向量与a在b上的投影向量相等,与λ无关.
[针对训练]
1.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:由题意,得a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|=
==7,所以cos===.故选D.
2.已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为(　　)
A. B.
C.6 D.4
解析:因为向量||=3,||=2,=m+n,与的夹角为60°,所以·=3×2×cos 60°=3,所以·= (-)·(m+n)=(m-n)·-m||2+n||2
=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,所以=.故选A.
3.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　.
解析:因为a,b为单位向量,且|a+b|=1,所以(a+b)2=1,所以1+1+ 2a·b=1,所以a·b=-,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=1+1-2×(-)=3,所以|a-b|=.
答案:
4.已知直线l:Ax+By+C=0的一个法向量为n=(A,B),P(x0,y0)是直线l外一点,动点Q在l上,则向量在向量n上的投影向量的模等于　　　　.
解析:设Q(x1,y1),则Ax1+By1+C=0,=(x0-x1,y0-y1),·n= A(x0-x1)+B(y0-y1)=Ax0+By0+C,所以在n上的投影向量的模为=.
答案:
平面向量的综合应用
　数量积的最值(范围)问题
已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.-
C.- D.-1
解析:法一(极化恒等式)　结合题意画出图形,如图①所示,设BC的中点为D,AD的中点为E,连接AD,PE,PD,则有+=2,
则·(+)=2·=2(+)·(-)=2(-),
而=()2=,
当点P与点E重合时,有最小值0,故此时·(+)取得最小值,最小值为-2=-2×=-.故选B.
法二(坐标法)　如图②,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1, 0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x, -y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.故选B.
图②
求最值或取值范围必须有函数或不等式,因此,对于题目中给出的条件,要结合要求的夹角或长度或其他量,得出相应的不等式或函数(包括自变量的取值范围),然后利用相关知识求出最值或取值范围.
　模的最值问题
已知平面向量a,b的夹角为θ,且|a|=2,|b|=1,若对任意的正实数λ,|a-λb|的最小值为,则cos θ=(　　)
A. B.
C.± D.0
解析:法一(函数法)　根据题意,|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为θ,则a·b=2cos θ,若对任意的正实数λ,|a-λb|的最小值为,则|a-λb|2的最小值为3,
则|a-λb|2=a2+λ2b2-2λa·b
=4+λ2-4λcos θ=(λ-2cos θ)2+4-4cos2θ,
故当λ=2cos θ时,|a-λb|2取得最小值3,
即有4-4cos2θ=3,即cos θ=±,
又λ>0,则cos θ=.故选B.
法二(数形结合法)　如图,设=a,=λb(λ>0),则|a-λb|=||,易知当BA⊥OA时,|a-λb|取得最小值,此时sin θ=,cos θ=.故选B.
模的最值问题的求解方法:一种是借助函数,另一种是借助向量的几何意义.前者可以建系借助坐标法求解,后者常用三角形法则数形结合求解.
　平面向量在三角函数中的应用
在△ABC中,=(sin x,sin x),=(-sin x,cos x).
(1)设f(x)=·,若f(A)=0,求角A的值;
(2)若对任意的实数t,恒有|-t|≥||,求△ABC面积的最大值.
解:(1)f(x)=·=-sin2x+sin xcos x=-×+= sin(2x+)-.因为f(A)=0,所以sin(2A+)=.
又因为A∈(0,π),所以2A+∈(,2π+),所以2A+=,所以A=.
(2)如图,设=t,
则-t=,
即||≥||恒成立,
所以AC⊥BC.
因为||==≤2,
||=1,
所以||=≤,
所以△ABC的面积为S=BC·AC≤,当且仅当cos 2x=0,即x=+kπ,k∈Z时等号成立,所以△ABC面积的最大值为.
解决此类问题的关键是把向量作为载体,将题干中的三角函数关系转化为向量的运算,进一步转化为实数运算来求解.
[针对训练]
1.(多选题)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的值可能为(　　)
A.-1 B.1
C. D.2
解析:因为a,b,c均为单位向量,a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,所以a·b-c·(a+b)+c2≤0,所以c·(a+b)≥1,而|a+b-c|= ==
≤=1,所以选项C,D不正确.故选AB.
2.在△ABC中,·=3,其面积S∈[,],则与夹角的取值范围为(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,]
解析:设与的夹角为θ,因为·=3,所以||||cos θ=3,
即||||=.
又S∈[,],故≤||||sin(π-θ)≤,
所以≤tan θ≤,即≤tan θ≤.
又θ∈[0,π],所以≤θ≤.故选C.
3.在半径为1的扇形AOB中,若∠AOB=60°,C为弧AB上的动点,AB与OC交于点P,则·的最小值是　　　　.
解析:法一(极化恒等式)　如图①,取OB的中点D,连接PD,则·=PD2-OD2=PD2-,即求PD的最小值.
由图可知,当PD⊥OB时,PDmin=,
则·的最小值是-.
法二(坐标法)　以OB所在的直线为x轴,过点A且垂直于OB的直线为y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,
则A(0,),O(-,0),B(,0),
可得直线AB的方程为2x+y=1,
设P(x,(1-2x)),
则=(x+,(1-2x)),
=(x-,(1-2x)),
所以·=4x2-3x+=4(x-)2-,
当x=时,·的最小值是-.
答案:-
已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin=(　　)
A. B.
C. D.
解析:设a=(1,0),b=(0,1),则c=(,),所以cos==,所以sin=.故选B.
(多选题)已知平面向量,,为三个单位向量,且·=0,若=x+y(x,y∈R),则x+y的可能取值为(　　)
A.0 B.1
C. D.2
解析:依题意,,是一组垂直的单位向量,如图建立平面直角坐标系,向量,作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C(cos θ,sin θ)(θ表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角)构成的向量,θ∈[0,2π),因为=(1,0),=(0,1),= (cos θ,sin θ),=x+y,所以x=cos θ,y=sin θ,故x+y=cos θ+sin θ=sin(θ+),θ∈[0,2π),故x+y∈[-,],可以取0,1,.故选ABC.
已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)
A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心 D.AB边的中点
解析:取AB的中点D,则2=+,
因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],
所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]
=+,
而+=1,所以P,C,D三点共线,
所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.故选C.
在△ABC中,||=3,||=2,=+,则直线AD经过 △ABC的(　　)
A.重心 B.外心
C.垂心 D.内心
解析:因为||=3,||=2,所以=||=.设=, =,
则=||.
因为=+=+,所以平分∠EAF,
所以AD平分∠BAC,所以直线AD经过△ABC的内心.故选D.
已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||, ++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是 △ABC的(　　)
A.重心　外心　垂心
B.重心　外心　内心
C.外心　重心　垂心
D.外心　重心　内心
解析:由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.故选C.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
平面向量数量积的基本运算 1,6
平面向量数量积的应用 2,3,5
平面向量的综合运用 4,7,8,9
综合问题 10,11,12,13,14 15,16
1.(2021·湖北武汉武昌区高三调研)在等腰直角三角形ABC中, ∠ACB=,AC=BC=2,点P是斜边AB上一点,且BP=2PA,那么·+·=(　D　)
A.-4 B.-2 C.2 D.4
解析:法一　由已知得||=||=2,·=0,=(-),所以·+·=(+)·+(+)·= ||2+·+·+·=||2+(-)·(+)=||2+||2-||2=22+×22-×22=4.故选D.
法二　由已知,建立如图所示的平面直角坐标系,则C(0,0),A(2,0), B(0,2),设P(x,y),因为BP=2PA,所以=2,所以(x,y-2)= 2(2-x,-y),所以所以·+·=(,)·(2,0)+ (,)·(0,2)=4.故选D.
2.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa-b与b垂直,则实数 λ=(　D　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
解析:由已知得λa-b=(λ-4,-3λ+2),因为λa-b与b垂直,所以 (λa-b)·b=0,即(λ-4,-3λ+2)·(4,-2)=0,所以4λ-16+6λ-4=0,解得λ=2.故选D.
3.已知向量a与b的夹角为,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=(　C　)
A. B.
C.1 D.
解析:|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4|a||b|·cos+|b|2=4-2|b|+|b|2 =3,解得|b|=1.故选C.
4.(多选题)在日常生活中,我们经常会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受重力为G,作用在行李包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ.给出以下结论,其中正确的是(　AD　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的取值范围为[0,π]
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
解析:对于A,因为|G|=|F1+F2|为定值,所以|G|2=|F1|2+|F2|2+ 2|F1| |F2|cos θ=2|F1|2·(1+cos θ),解得|F1|2=.由题意知θ∈[0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2单调递增,即θ越大越费力,θ越小越省力,A正确;对于B,由题意知,θ的取值范围是[0,π),故B错误;对于C,当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误;对于D,当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确.故选AD.
5.若e1,e2是夹角为的两个单位向量,而a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则向量a和b的夹角为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:因为|e1|=1,|e2|=1,=,所以e1·e2=,因为a=2e1+e2,b= -3e1+2e2,所以|a|==,
|b|==,a·b=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2,所以|a||b|cos=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2,所以×cos=-6+ 2+=-,所以cos=-,因为∈[0,π],所以向量a与b的夹角为.故选C.
6.(多选题)(2021·湖南长沙高三模拟)设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则下列选项中正确的是(　BCD　)
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(a·c)b与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析:由于b,c是不共线的向量,因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量,故A错误;由于a,b不共线,故a,b,a-b构成三角形,因此B正确;由于[(b·c)a-(a·c)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,故C正确;根据向量数量积的运算可以得出D是正确的.故选BCD.
7.已知向量a=(2,-6),b=(3,m),若|a+b|=|a-b|,则m=　　　　.
解析:法一　因为a=(2,-6),b=(3,m),所以a+b=(5,m-6),a-b= (-1, -m-6),由|a+b|=|a-b|得52+(m-6)2=(-1)2+(-m-6)2,解得m=1.
法二　由|a+b|=|a-b|,两边平方得a·b=0,因为a=(2,-6),b=(3,m),所以2×3+(-6)×m=0,解得m=1.
答案:1
8.已知与的夹角为90°,||=2,||=1,=λ+μ(λ,μ∈R),且·=0,则的值为　　　　.
解析:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,2), C(1,0),所以=(0,2),=(1,0),=(1,-2).设M(x,y),则= (x,y),所以·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,所以x=2y.又=λ+μ,即(x,y)=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x=μ,y=2λ,所以===.
答案:
9.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.
解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),
则+=(2,6),-=(4,4),
所以|+|=2,|-|=4,
故所求的两条对角线的长分别为4,2.
(2)法一　由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).
由(-t)·=0,得
(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,
从而5t=-11,
所以t=-.
法二　·=t,=(3,5),
t==-.
10.已知O是△ABC内部一点,且满足++=0,又·=2,∠BAC=60°,则△OBC的面积为(　C　)
A. B.3
C.1 D.2
解析:由·=2,∠BAC=60°,可得·=|||| cos∠BAC=||||=2,所以||||=4,所以=||||sin∠BAC=3,又++=0,所以O为△ABC的重心,所以==1.故选C.
11.在四边形ABCD中,已知M是AB边上的点,且MA=MB=MC=MD=1, ∠CMD=120°,若点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,则·的取值范围是(　B　)
A.[-1,0) B.[-,0)
C.[-1,1) D.[-,1)
解析:连接MN(图略).由题意得·=(-)·(-)= -=||2-1,在△MCN中,MC=1,∠MCN=30°,所以MN2= 12+NC2-2·NC·1×=NC2-NC+1,所以MN2-1=NC2-NC=(NC-)2-.由MC=MD=1,∠CMD=120°,可得CD=,又点N在线段CD(端点C,D除外)上运动,所以0所以-≤MN2-1<0,即·的取值范围是[-,0).故选B.
12.如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且= λ,·=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则·的最小值为　　　　.
解析:依题意得AD∥BC,∠BAD=120°,由·=|||| cos∠BAD=-||=-,得||=1,因此λ==.取MN的中点E,连接DE(图略),则+=2,·=[(+)2-(-)2]= -=-.注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sin B=,因此-的最小值为()2-=,即·的最小值为.
答案:　
13.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
所以64-4a·b-27=61,所以a·b=-6,
所以cos θ===-.
又0≤θ≤π,所以θ=.
(2)|a+b|2=(a+b)2
=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.
(3)因为与的夹角θ=,
所以∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
所以=×4×3×=3.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x, cos x),x∈(0,).
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解:(1)因为m=(,-),n=(sin x,cos x),
m⊥n,
所以m·n=0,即sin x-cos x=0,
所以sin x=cos x,所以tan x=1.
(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos =,
即sin x-cos x=,
所以sin(x-)=,
因为0所以x-=,即x=.
15.在△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=-λ(λ∈R),则||的最大值是(　B　)
A. B.
C. D.
解析:法一　在△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,所以5×10·
cos A=25,cos A=,又A∈(0,π),
所以A=,BC==5,因为AB2+BC2=AC2,所以B=.以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(5,0),C(5,5),设点P的坐标为(x,y),0≤x≤5,0≤y≤5,
因为=-λ,
所以(x,y)=(5,0)-λ(5,5)=(3-2λ,-2λ),
所以所以y=(x-3),直线BC的方程为x=5,
联立解得此时||最大,为=.故选B.
法二　同解法一求得A=,B=,在边AB上取点M,使AM=AB=3,过M作MN∥AC交BC于点N,由平行四边形法则,得点P在线段MN上,故当点P与N重合时,||最大,此时BN=2,故||==.故选B.
16.已知平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤.设a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夹角为θ,则cos2θ的最小值是　　　　.
解析:法一　因为平面单位向量e1,e2满足|2e1-e2|≤,所以|2e1-e2|2=5-4e1·e2≤2,即e1·e2≥.
因为a=e1+e2,b=3e1+e2,a,b的夹角为θ,
所以cos2θ===
=.
不妨设t=e1·e2,则t≥,cos2θ=,
又y=在[,+∞)上单调递增,
所以cos2θ≥=,
所以cos2θ的最小值为.
法二　由题意,不妨设e1=(1,0),e2=(cos x,sin x).
因为|2e1-e2|≤,
所以≤,
得5-4cos x≤2,
即cos x≥.
易知a=(1+cos x,sin x),b=(3+cos x,sin x),
所以a·b=(1+cos x)(3+cos x)+sin2x=4+4cos x,
|a|2=(1+cos x)2+sin2x=2+2cos x,
|b|2=(3+cos x)2+sin2x=10+6cos x,
所以cos2θ==
=.
不妨设m=cos x,则m≥,cos2θ=,
又y=在[,+∞)上单调递增,
所以cos2θ≥=,
所以cos2θ的最小值为.
答案:

展开更多......

收起↑