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第4节　余弦定理和正弦定理及其应用
1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 (1)===2R (2)a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C
变形 (3)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (4)sin A=,sin B=,sin C=; (5)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (6)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A (7)cos A=; cos B=; cos C=
2.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).
3.测量中的几个有关术语
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α: (2)南偏西α:
坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ
1.△ABC中:(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;
(4)cos =sin .
2.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的充要条件.
1.(必修第二册P44例6改编)在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于(　C　)
A. B.
C. D.
解析:在△ABC中,设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,所以由余弦定理得 cos ∠BAC===-,因为∠BAC为△ABC的内角,所以 ∠BAC=.故选C.
2.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为(　B　)
A. B. C.2 D.2
解析:因为△ABC的面积为S=AB·ACsin A=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=3,所以BC=.故选B.
3.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积为　　　　.
解析:因为=,所以sin B=1,所以B=90°,所以AB=2,所以S△ABC=×2×2=2.
答案:2
4.如图,在塔底D的正西方A处测得塔顶C的仰角为45°,在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶C的仰角为30°,A,B间的距离是84 m,则塔高CD=　　　　 m.
解析:设塔高CD=x m,则AD=x m,DB=x m.由题意得∠ADB=90°+ 60°=150°,
在△ABD中,利用余弦定理得842=x2+(x)2-2·x2cos 150°,解得x=12(负值舍去),故塔高为12 m.
答案:12
5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为　　　　　.
解析:由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案:等腰三角形或直角三角形
利用正弦、余弦定理解三角形
　余弦定理的应用
在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB等于(　　)
A.4 B. C. D.2
解析:因为cos =,
所以cos C=2cos2-1=2×()2-1=-.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×(-)=32,所以AB==4.故选A.
余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素.
　正弦定理的应用
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=+,则C等于(　　)
A. B. C. D.
解析:a+b=+,由正弦定理得sin A+sin B=+= cos A+cos B,所以sin A-cos A=cos B-sin B,所以(sin A-cos A)2= (cos B-sin B)2 sin 2A=sin 2B,所以在三角形ABC中,A=B或A+B=.当A=B时,2sin A=2cos A A=B=,所以A+B=,所以C=;当A+B=时,C=.综上,C=.故选D.
1.已知△ABC中某些条件求角时,可用以下公式sin A=,sin B= ,sin C=,cos A=,cos B=,cos C=.　
2.已知△ABC的外接圆半径R及边长,可用公式sin A=,sin B= ,sin C=.
3.正弦定理的作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的 关系.
　判断三角形的形状
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析:由正弦定理得
sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
所以sin(B+C)=sin2A,
即sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A.
因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=1,
即A=,所以△ABC为直角三角形.故选B.
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意内角A,B,C的范围对三角函数值的影响,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免 漏解.
[针对训练]
1.在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B等于(　　)
A. B.2 C.4 D.8
解析:由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=42+32-2×4×3×=9,
得AB=3,所以AB=BC.
过点B作BD⊥AC,交AC于点D,如图,
则AD=AC=2,BD==,
所以tan ∠ABD===,
所以tan ∠ABC==4.故选C.
2.在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为内角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:因为cos2=,cos2=,
所以(1+cos B)·c=a+c,
所以a=cos B·c=,
所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,
所以△ABC为直角三角形.故选B.
3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A- sin B)=(a-c)sin C,b=2,则△ABC的外接圆直径为　　　　.
解析:由正弦定理得(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B==,所以B=60°.设△ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理知,2R===.
答案:
与面积有关的解三角形问题
　三角形面积的计算
(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　.
解析:法一　因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,得62=(2c)2+c2-2·2c·ccos ,得c=2,所以a=4,所以 △ABC的面积为S=acsin B=×4×2×sin =6.
法二　因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2·2c·ccos ,得c=2,所以a=4,所以a2=b2+c2,所以A=,所以△ABC的面积S=×2×6=6.
答案:6
1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),及其该角的两条边,代入公式求面积;
2.若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.
　求三角形面积的最值
已知点O是△ABC的内心,∠BAC=60°,BC=1,则△BOC面积的最大值为　　　　.
解析:因为点O是△ABC的内心,∠BAC=60°,所以∠BOC= 180°-=120°,在△BOC中,由余弦定理得BC2=OC2+OB2- 2OC·OB·cos 120°,所以OC2+OB2=1-OC·OB.又因为OC2+OB2≥2OC·OB,所以OC·OB≤,当且仅当OB=OC时等号成立,所以S△OBC= OC·OB·sin 120°≤.
答案:
1.三角形面积计算问题要适当选用公式,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
2.求面积的最值时要注意到三角形面积公式S△ABC=absin C中的ab,与余弦定理中的a2+b2存在不等关系a2+b2≥2ab.
[针对训练]
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4a sin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　.
解析:由bsin C+csin B=4asin Bsin C,
得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin A=.
因为b2+c2-a2=8,所以cos A=>0,
所以bc=,
所以S△ABC=××=.
答案:
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A=,a=2,则△ABC面积的最大值为　　　　.
解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,
得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,
所以bc≤4(2+),
所以S△ABC=bcsin A≤2+,
故△ABC面积的最大值为2+.
答案:2+
解三角形的实际应用
　测量距离问题
海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为　　　　.
解析:由已知得,在△ADC中,∠DCA=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC= 15°,
由正弦定理得
AC===40(+).
在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,
所以∠DBC=30°,
由正弦定理得=,
得BC===160sin 15°=40(-).
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+ 2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1 600×4=1 600× 20=32 000,
解得AB=80,故题图中海洋蓝洞的口径为80.
答案:80
1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
　测量高度问题
《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作,现有取自其中的一个问题:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合,从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何 其大意为:如图所示,立两个三丈高的标杆BC和DE,两标杆之间的距离BD=1 000步,两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上,从前面的标杆B处后退123步,人眼贴地面,从地上F处仰望岛峰,A,C,F三点共线,从后面的标杆D处后退127步,人眼贴地面,从地上G处仰望岛峰,A,E,G三点也共线,则海岛的高为(注:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)(　　)
A.1 255步 B.1 250步
C.1 230步 D.1 200步
解析:因为AH∥BC,所以△BCF∽△HAF,所以=.因为AH∥DE,所以△DEG∽△HAG,所以=.又BC=DE,所以=,即= ,所以HB=30 750步,又=,所以AH== 1 255(步).故选A.
高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
　测量角度问题
已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船
参考数据:sin 38°≈,sin 22°≈.
解:如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为x海里/小时,结合题意知BC=0.5x,AC=5,∠BAC=180°- 38°-22°=120°.
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,
所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin ∠ABC===,
所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船.
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
[针对训练]
1.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB=5,BC=8,DC=3,AD=5,且B与D互补,则AC的长为(　　)
A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km
解析:在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即AC2=25+64-2×5×8cos B=89-80cos B.在△ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos D,即AC2=25+9-2×5×3cos D=34-30cos D.因为B与D互补,所以cos B=-cos D,所以-=,解得AC=7(km).故选A.　
2.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°的方向,相距a海里的B处,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的倍,甲船为了尽快追上乙船,朝北偏东θ方向前进,则θ等于(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
解析:如图,设两船在C处相遇,则由题意得∠ABC=180°-60°=120°,且=,由正弦定理得==,所以sin ∠BAC=.
又因为0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°,
所以甲船应朝北偏东30°方向前进.故选B.
3.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度 CD=　　　　 m.
解析:由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,
∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,
解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×=100(m).　
答案:100
济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字,其造型流畅别致,成了济南的标志和象征.某同学想测量泉标的高度,于是他在广场的A点测得泉标顶部的仰角为60°,他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达B点,又测得泉标顶部仰角为80°,则该同学求出泉标的高度约为(sin 20°≈0.342 0,sin 80°≈0.984 8,结果精确到1 m)(　　)
A.38 m B.50 m C.66 m D.72 m
解析:如图所示,点C,D分别为泉标的底部和顶部.
依题意,∠BAD=60°,∠CBD=80°,AB=15.2 m,
则∠ABD=100°,
故∠ADB=180°-(60°+100°)=20°.
在△ABD中,根据正弦定理,
得=,
所以BD==≈38.5(m).
在Rt△BCD中,CD=BDsin 80°=38.5×sin 80°≈38(m),即该同学求出泉标的高度约为38 m.故选A.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2, A=60°,则c=　　　　.
解析:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,
所以c2-2c-3=0,解得c=3(c=-1舍去).
答案:3
(2021·山东济南模拟)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,(3b-a)cos C=ccos A,c是a,b的等比中项,且△ABC的面积为3,则ab=　　　　,a+b=　　　　.
解析:因为(3b-a)cos C=ccos A,所以利用正弦定理可得3sin B cos C=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B.又因为sin B≠0,所以cos C=,C为锐角,所以sin C=.由△ABC的面积为3,可得absin C=3,所以ab=9.由c是a,b的等比中项可得c2=ab,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,所以(a+b)2=ab=33,所以a+b=.
答案:9　
(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 sin A=sin B,C=,　　　　
解:选条件①.
由C=和余弦定理得=.
由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由①ac=,解得a=,b=c=1.
因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c=1.
选条件②.
由C=和余弦定理得=.
由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c,B=C=,A=.
由②csin A=3,所以c=b=2,a=6.
因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c=2.
选条件③.
由C=和余弦定理得=.
由sin A=sin B及正弦定理得a=b.
于是=,由此可得b=c.
由③c=b,与b=c矛盾.
因此,选条件③时问题中的三角形不存在.
在①asin C-ccos Bcos C=bcos2C,②5ccos B+4b=5a, ③(2b-a)cos C=ccos A这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足　　　　.
(1)求sin C;
(2)已知a+b=5,△ABC的外接圆半径为,求△ABC的边AB上的高h.
解:选择条件①,
(1)asin C-ccos Bcos C=bcos2C,
由正弦定理得sin Asin C=sin Ccos Bcos C+sin Bcos2C,
即sin Asin C=cos C(sin Ccos B+sin Bcos C),
所以sin Asin C=cos Csin A.
又A∈(0,π),故sin A≠0,
所以sin C=cos C,即tan C=.
又C∈(0,π),所以C=,
所以sin C=sin =.
(2)由正弦定理得c=2××sin =4,
由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=16,
所以ab=,得ab=3.
于是△ABC的面积为S=absin C=ch,
所以h===.
选择条件②,
(1)5ccos B+4b=5a,
由正弦定理得5sin Ccos B+4sin B=5sin A,
即5sin Ccos B+4sin B=5sin(B+C)=5sin Bcos C+5cos Bsin C,
所以sin B(4-5cos C)=0.
在△ABC中,B∈(0,π),故sin B≠0,
所以cos C=,sin C==.
(2)由正弦定理得c=2××=,
由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=,
所以ab=[(a+b)2-]×=,
于是△ABC的面积为S=absin C=ch,
所以h==××=.
选择条件③,
(1)(2b-a)cos C=ccos A,
由正弦定理得(2sin B-sin A)cos C=sin Ccos A,
所以2sin Bcos C=sin(A+C)=sin B,
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以cos C=.
又C∈(0,π),所以C=,所以sin C=.
(2)由正弦定理得c=2××sin =4,
由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=16,
所以ab=,得ab=3.
于是△ABC的面积为S=absin C=ch,
所以h===.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
利用正弦、余弦定理解三角形 1,3,4
与面积有关的解三角形问题 2,7,8
解三角形的实际应用 5,9 10 16
综合 6 11,12,13,14 15
1.(2021·安徽安庆模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则等于(　D　)
A. B.
C. D.
解析:由bsin 2A=asin B,
得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A=.
又c=2b,由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2·=3b2,
得=.故选D.
2.(2021·河北唐山模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为h,则h等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:由余弦定理,得cos A====,则 sin A====,则h=ACsin A=bsin A=3×=.故选D.
3.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B等于(　BC　)
A.30° B.45° C.135° D.150°
解析:根据正弦定理=得,sin B===,由于b=>1=a,所以B=45°或135°.故选BC.
4.(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则等于(　A　)
A.6 B.5 C.4 D.3
解析:因为asin A-bsin B=4csin C,所以由正弦定理得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cos A====-,所以=6.故选A.
5.(多选题)某人向正东走了x km后向右转了150°,然后沿新方向走3 km,结果离出发点恰好 km,那么x的值是(　AB　)
A. B.2
C.3 D.6
解析:如图,AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°.
由余弦定理得3=x2+9-2×3·x·cos 30°.
解得x=2或x=.故选AB.
6.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是(　ABD　)
A.若cos A=cos B,则△ABC为等腰三角形
B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>,则sin A>cos B
C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A+sin2B解析:对于A,若cos A=cos B,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故 正确;
对于B,若A+B>,则>A>-B>0,所以sin A>cos B,故正确;
对于C,由余弦定理可得b==,只有一解,故错误;
对于D,若sin2A+sin2B7.在△ABC中,C=60°,且=2,则△ABC的面积S的最大值为　　　　.
解析:由C=60°及==2,可得c=.
由余弦定理得3=b2+a2-ab≥ab(当且仅当a=b时,取等号),
所以S=absin C≤×3×=,
所以△ABC的面积S的最大值为.
答案:
8.(2021·陕西西安质检)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos B=,b=4,S△ABC=4,则△ABC的周长为　　　　.
解析:由cos B=,得sin B=,由三角形的面积公式可得ac sin B=ac·=4,
则ac=12,①
由b2=a2+c2-2accos B,
可得16=a2+c2-2×12×,则a2+c2=24,②
联立①②可得a=c=2,
所以△ABC的周长为4+4.
答案:4+4
9.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王沿河岸向前走了1 200 m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,求电视塔CD的高度.
解:在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得=,即=,解得AC=600(m).在△ACD中,因为tan ∠DAC==,
所以CD=600×=600(m),
即电视塔CD的高度为600m.
10.(多选题)(2021·重庆高三第三次质量调研)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°,距离12 海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为12 海里,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向.下列选项正确的有(　ABD　)
A.AD=24
B.CD=12
C.∠CDA=60°或120°
D.∠CDA=60°
解析:如图,在△ABD中,
∠B=45°,由===24,AD=24,A正确;在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos 30°=(12)2+242-2×12× 24 ×=144,所以CD=12,B正确;在△ACD中,由正弦定理得= ,sin ∠CDA=,故∠CDA=60°或120°,因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,D正确,C错误.故选ABD.
11.(多选题)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,C为钝角,且c-b=2bcos A,则下列结论中正确的是(　ABD　)
A.a2=b(b+c) B.A=2B
C.0解析:因为c-b=2bcos A,所以由余弦定理得c-b=2b·,因此c(c-b)=b2+c2-a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcos A,所以由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,即sin(A+B)-sin B= 2sin Bcos A,所以sin Acos B-sin Bcos A=sin B,所以sin(A-B)= sin B,由于C是钝角,所以A-B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°cos A>,012.如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin ∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为　　　　.
解析:因为sin ∠BAC=,且AD⊥AC,
所以sin(+∠BAD)=,
所以cos ∠BAD=,在△BAD中,由余弦定理,
得BD==
=.
答案:
13.在①(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B);②2ccos C=acos B+ bcos A;③△ABC的面积为c(asin A+bsin B-csin C)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且　　　　.
(1)求C;
(2)若D为AB的中点,且c=2,CD=,求a,b的值.
解:(1)选择①,
根据正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
所以cos C==.
因为C∈(0,π),所以C=.
选择②,
根据正弦定理有
sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,
所以sin(A+B)=2sin Ccos C,
即sin C=2sin Ccos C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,
从而有cos C=,故C=.
选择③,
因为casin B=c(asin A+bsin B-csin C),
所以asin B=asin A+bsin B-csin C,
即ab=a2+b2-c2,
由余弦定理,得cos C===.
又因为C∈(0,π),所以C=.
(2)在△ACD中,
AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos ∠ADC,
即b2=1+3-2cos ∠ADC.
在△BCD中,
BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos ∠BDC,
即a2=1+3-2cos ∠BDC.
因为∠ADC+∠BDC=π,
所以cos ∠ADC=-cos ∠BDC,
所以a2+b2=8.
由C=及c=2,得a2+b2-4=ab,所以ab=4,
从而a2+b2-2ab=0,所以a=b=2.
14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
解:(1)由题设及正弦定理得
sin Asin =sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin =sin B.
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0,所以sin =,所以B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积为S△ABC=a.
由(1)知A+C=120°,
由正弦定理得
a===+.
由于△ABC为锐角三角形,
故0°结合A+C=120°,得30°所以因此,△ABC面积的取值范围是(,).
15.已知△ABC中,AC=,BC=,△ABC的面积为,若线段BA的延长线上存在点D,使∠BDC=,则CD=　　　　.
解析:因为AC=,BC=,△ABC的面积为=AC·BC·sin ∠ACB= ××·sin ∠ACB,所以sin ∠ACB=,
所以∠ACB=或,
若∠ACB=,则∠BDC=<∠BAC,
可得∠BAC+∠ACB>+>π,与三角形内角和定理矛盾,所以∠ACB=,
所以在△ABC中,由余弦定理得
AB===,
所以AB=AC,所以B=,
所以在△BDC中,由正弦定理可得
CD===.
答案:
16.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)
解:设∠AMN=θ,在△AMN中,
=.
因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ).
在△APM中,cos ∠AMP=cos(60°+θ).
AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos ∠AMP=
sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°-θ)·cos(60°+θ)= sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)·cos(θ+60°)+4=[1-cos(2θ+120°)]-
sin(2θ+120°)+4=-[sin(2θ+120°)+cos(2θ+120°)] +=-sin(2θ+150°),0°<θ<120°.
当且仅当2θ+150°=270°,
即θ=60°时,AP2取得最大值12,
即AP取得最大值2.所以设计∠AMN=60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.

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