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数列的概念与性质及应用
一、基本公式:
1.数列的通项与数列的前项和公式的关系：(必要时请分类讨论)。
注意：；.
2.等差数列的通项公式：，或；
其前项和公式为:；
3.等比数列的通项公式：，；
其前项的和公式为：或.
特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。
二、基本概念:
1、数列的概念：
2、等差数列的有关概念：
（1）定义：为等差数列（为常数）；
（2）等差中项：若成等差数列，则叫做与的等差中项，且。
（3）判定方法:
① 定义法：（）
② 等差中项法：（）
③ 通项公式法：（）
④ 前项和法：
<1> （）
<2> （）
<3>
3、等比数列的有关概念：
（1）定义：（为常数，，）；；
（2）等比中项：若成等比数列，那么叫做与的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。
（3）判定方法：
① 定义法：（）（）
② 等比中项法：（）或。
③ 通项公式法：
④ 前项法：
三、性质：
1．等差数列的性质：
；
当时，；
。
④等差数列中连续相同个数的项的和也成等差数列，
即：
⑥当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；，即是的不含常数项的二次函数；
⑥若，均为等差数列，则,（，为常数）均为等差数列；
⑧仍成等差数列.。
⑨如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
⑩
（11）若等差数列、的前和分别为、，且，
则.
（12）；
；
.
2．等比数列的性质：
（）
⑦两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列；{、、仍为等比数列。
⑧当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列.
⑨ ，
⑩在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.
四、数列的单调性：
为等差数列, d为公差，则有：
若公差，则为递增等差数列，
若公差，则为递减等差数列，
若公差，则为常数列。
为等比数列，q为公比，则有：
；
，
五、最值问题
求数列的最大、最小项的方法：
如
() 如
③研究函数的增减性 如
在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,时，满足的项数使得取最大值.
(2)当,时，满足的项数使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
六、设法技巧问题
1．三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：
2．三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)
七、等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列成等比数列，那么数列必成等差数列.
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列；但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
二、题型：
(一)定义及基本量：
1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ C ）
A.5 B.4 C. 3 D.2
解析:.
2．等比数列的前项和为，且，则公比 .
(二)性质：
(Ⅰ) 等差数列
1.已知是等差数列，公差不为零，且，则＝（ B ）
　A、－1　　　B、0　　　C、1　　　　D、2
2.已知等差数列中，前项和满足，则的值是( B )
A.3 B.6 C.7 D.9
【分析】根据前项和的定义可得，再根据等差数列的性质可得结果.
【详解】因为，所以，
又为等差数列，根据等差数列的性质可得，所以;故选：B
【点睛】本题考查了数列的前项和的概念，考查了等差数列的性质，属于基础题.
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ C ）
A． B． C． D．
4．若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有，则= 。
5.设是等差数列的前项和，若，则＝( A )
A. 1 B. －1 C. 2 D．
【解析】
6. 在等差数列中，已知，则的值为___22___.
解析：设等差数列的公差为d，，则，即有，．故答案为：22．
7．等差数列中，若，则的值是（C）
A．14 B．15 C．16 D．17
【解析】依题意，由，得 ，所以
8.已知{}为等差数列，若，,则____20____.
【解析】设数列的公差为d，则，所以，故
9.已知数列为等差数列，前项和为，若，则（ C ）
A.4 B． C. D.
略解：由得，则，又因成等差数列，进而可求
10．已知等差数列的公差为1，且，则的值为（ ）
A．99 B．66 C．33 D．0
11. 已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是( )
（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18
[解析]：由++=105得即，由=99得即 ，
∴，，由得，选B
(Ⅱ) 等比数列
1.在递增的等比数列中，，，则 32
2. 在各项均为正数的等比数列中，，，则( B )
A.1 B.9 C. D.
3．已知各项均为正数的等比数列{}中,则（　A　）
A． B．7 C．6 D．4
【解析】由得又,所以,即,所以,选A．
4．在等比数列中，已知，则的值为（ B ）
A．3 B．9 C．27 D．81
【解析】依题意，由得，，选择B
5．等比数列的各项均为正数，且，则（ C ）
(A) (B) 8 (C) 10 (D) 12
6.一个正项等比数列前项的和为3，前项的和为21，则前项的和为（ C ）
A．18 B．12 C．9 D．6
7.设等比数列的前项和为，若 =3 ，则 = ( B )
（A） 2 （B） （C） （D）3
【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 q3＝2
于是 .
8.在等比数列中，，，则的值为(　D　)
A．48　　　B．72　　C．144　　　D．192
9. 设正项等比数列项积为的值为 3
解析：∵正项等比数列前项积为，
∴，∴．故答案为：3．
10.已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是（　D　）
A． B． C． D．
解：∵，且是递减数列，
∴，即，解得．故选D．

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