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数列的前项和的求解策略与常用方法
一、直接利用等差数列、等比数列的有限项求和或其它公式求和。
常用的数列求和公式有：
①等差数列求和公式: ；
。
②等比数列求和公式:
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论。
③．若已知数列的前项和与的关系，可用公式 求解。
④．掌握一些常见数列的前n项和公式：
　（1）；
　（2）；
1.已知等差数列中，，则(　C　)
A．8 B．21 C．28 D．35
[解析] 由a3＋a4－a5＋a6＝8，得a3＋a5＝8，所以a1＋a7＝8，
所以S7＝＝28.
2.已知数列为等差数列，前项和为，若，则
略解：由得，整理得,则
3．已知等差数列前项的和为，若，且三点共线(该直线不过点)，则_________
4.设为数列的前项和，已知则_______
【分析】利用与的关系，将转化为，化简即可证明为等差数列，从而利用公式求出.
【详解】因为当时，，则，
当时，，化简得，
所以是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，即
【点睛】主要考查了与的关系，以及等差数列的通项公式，属于中档题.这类型题的关键在于利用与的关系进行转化，有两个转化方向：（1）将转化为；（2）将转化为.
5．已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题:①;②;③;④;其中正确命题的个数是( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
略解：因为等差数列中，最大，且，，①正确；
由得，，所以②正确；
由得，，所以③不正确；
由得，，，，所以④正确.
6．数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，=（ B ）
A．14 B．15 C．16 D．17
7.已知是等比数列，，则=（ C ）
（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）
8.已知是各项均为正数的等比数列，,.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果。
【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的公比为，，，
所以，解得(舍去)或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，。
(2)因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，。
本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题。
9．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比（ C ）
A．2 B． C． D．
解：当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．
当时，，所以．
因为，所以，即，则．
10.已知等比数列的前项和为，若，且，则 ( D )
A.﹣4 B.4 C. D.
【分析】由列出方程求出，再利用等比数列的求和公式由列出方程，代入的值即可求得m.
【详解】，且，即，解得或(舍去)，
，，
又，，，解得.故选：D
【点睛】本题考查等比数列基本量的求解、等比数列的前n项和公式，属于基础题.
11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，此日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第二天走了（ A ）
A. 96里 B. 48里 C. 192 里 D. 24里
【解析】由题意，得该人每天走的路程形成以为公比、前6项和为378的等比数列，设第一天所走路程为 ，则，解得，即第二天走了96里；故选A.
二、某些特殊数列的前n项和不是总有公式可用达到求和的，但它的求和可通过适当的方法转化为等差数列或等比数列的和，常用方法有：错位相减法、分组转化法、化归转化法等。
（一）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法。
1.在数列中，，，设.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
略解：（1）由，可得，进而得
（2）
（3）用错位相减求和即可，
2.已知数列的前项和为，,且满足.
（1）证明数列为等差数列；
（2）求.
略解：（1）（用公式法求通项公式）用公式法消后变形为即可；
（2）由（1）知，再用错位相减求和即可
（二）分组转化法：把数列的每一项分成两项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分，使其转化成等比数列或者是等差数列，对通项进行分解或组合，将原数列转化成若干个容易求和的数列。
1.已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
略解：（1）设数列的公差为，的公比为，用基本量求出，；
，
（2）用分组求和得
2.已知数列{}满足，定义：使乘积为正整数的叫做“期盼数”，则在区间内所有的“期盼数”的和为（ ）
A. 2036 B. 4076 C. 4072 D. 2026
解：由得
由于为正整数，设
则，所以
因为，所以在区间内的“期盼数”为，其和为2026
3.已知递增数列的前n项和为,,,.
（1）求,并证明时;
（2）求.
解析：(1)令,则,即,解得或,均符合题意.
由,得,.
两式相减得,
∵,∴,.
(2)由题1得.
（三）、化归转化法：
1.数列中，，，且满足求：
（1）求
（2）设，求（考试无此问）
（3）设，（）是否存在最大正整数，使对任意，总成立，若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
解：（1）由，故成等差数列
由，则
即（）
（2）令
① 当时，
② 当时，
即
（3）
由
则为递增数列，最小值为
若使总成立总成立，
故最大值为7
三、某些特殊数列的前n项和既不能公式求和，也不能通过适当的方法转化为等差数列或等比数列的和，但其前n项和又具有可加性，此时常用其可加性求和，常用方法有：裂项相消法、逆序相加法、周期性法等。
（一）)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
常见的拆项公式有：　　　
①；
②；
③若为等差数列，公差为，则；
④
1.数列满足，且对任意的正整数都有，则
________
解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1﹣an=n+1
用叠加法：an=a1+（a2﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）=1+2+…+n =
所以 = = 2（）
所以 ==2×=
2. 已知为数列的前项和，且数列满足，若，则
解析：由得，
进而得，
3.定义行列式运算： ，若函数 （，）的最小正周期是，将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称.
（1）求函数的单调增区间；
（2）数列的前项和，且，求证：数列的前项和.
分析：（1）由行列式得到解析式，根据周期计算，根据平移后是奇函数计算，根据解析式求单调区间即可；（2）根据求数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列的前n项和，即可证出结论.
解析：（1）解：由题意：，
∵，∴，
∴的图象向右平移个单位后得，
此函数为奇函数，则，∵，∴，
∴，
由可得，
∴的单调增区间为．
（2）证明：由（Ⅰ）得，∴，
①当时，；
②当时，，
而，∴，
则，
∴．
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
（二）倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。
1.在等差数列中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数为（ B ）
A．12 B．14 C．15 D．16
2.已知函数，正项等比数列满足，则 .
【解析】∵，∴.
∵数列是等比数列，∴，即
，
设，①
又，②
①+②得：，∴.
（三）、周期性法
1．已知数列满足，，前项的和，求
2.设数列前项和为，已知，，则的值为（ B ）
A． B． C． D．
简析：由，得，，，，然后用周期性求和即可。
3.若数列满足，，记的前项之积为，则（ D ）
A．1 B． C． D．
解析：由，得，，，
4.已知是数列的前项和，若，则的值为_____.
【分析】先确定周期，再求一个周期数列的和，最后根据，结合周期求和.
【详解】
且， ，，，，， ，…，
所以数列{an}的周期为6，又，
∴.故答案为：.
【点睛】本题考查数列求和、数列周期性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

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