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求数列的通项公式的策略与常用方法
一、观察法：
1．观察下列等式:
照此规律, 第个等式可为_______.
二、公式法：
（一）用等差、等比数列通项公式。
（二）若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 求解。使用此公式须注意：①是正用还是逆用；②须分类讨论；③如何求；④结论的书写。
1.已知数列的前项和，则数列的通项公式为
2．正项数列满足:___ ___.
【答案】因为,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,所以,所以,所以.
3．设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
解：由题设知，则 ②
由②得，，，
因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
4. 已知等差数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，是否存在使得,,成等比数列？若存在，请说明理由.
略解：（1）由基本量可求得
（2）假设存在使得,,成等比数列，则，
，,,
，整理得
因为，所以，解得
又因，，所以，此时
所以存在，使得,,成等比数列
5．已知在正整数数列中，前项和满足
（1）求证：是等差数列
（2）若，求的前项和的最小值
解：（1） ∴
时，
整理得：
∵ 是正整数数列 ∴ ∴
∴ 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴
（2）∴ 为等差数列 ∴
∴ 当时，的最小值为
6.已知正项数列的前项和为，且为和的等差中项，则=
略解：（用公式法求通项公式）因为和的等差中项，则有，消得，进而得
7. 已知数列的前项和为，且满足， （且）．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求和.
解析：（１）证明：当时，，①
由上式知若，则
，由递推关系知，
∴由①式可得：当时，
∴是等差数列，其中首项为，公差为.
（2）， .
当时，，
当时，不适合上式， ∴ .
【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用其定义证明，一般遇到由数列的前n项和与项的递推关系通常先转化为项的递推关系或者和的递推关系，再进行解答.
8.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果。
【详解】(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为等差数列，。
(2)由(1)可知，，，
所以，。
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。
三、叠加法：形如型
1.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
2. 已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；
(Ⅱ)求的通项公式。
解:（1）证
当时，
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）解由（1）知
当时，
当时，。
所以。
3．在数列中，，，则（ A ）
A． B． C． D．
评注：已知,，其中可以是关于的分式函数、指数函数、一次函数、二次函数，求通项.
①若是关于的分式函数，累加后可裂项求和。
②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
④若是关于的二次函数，累加后可分组求和;
四．叠乘法：形如型
1．已知数列中,,前项和.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的通项公式.
解:(1)由与可得
,
故所求的值分别为.
(2)当时,① ②
①-②可得即
故有
而,所以的通项公式为
五、作差法：已知（即）求，常用作差法。
1．数列{}满足=1，=+2+3+…+（n-1） (),则{}的通项公式=______________
2．设数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：(I)
验证时也满足上式，
(II) ，
，
六、作商法：已知求，常用作商法：。
1.已知...…..=n 2,求
2.已知数列满足，则=（ B ）
A. B. C. D.
解析：,,
，
七、周期性：
（三）类似周期函数型
1．若数列{an}满足若，则的值为（ B ）
A． B． C． D．
【讲解】逐步计算，可得
,
这说明数列{an}是周期数列，而, 所以．应选B．
【点评】分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．
2．数列满足，，则=
3. 在数列中，，则　　　　.
【解析】由得，所以该数列的周期为6，故，由
4.已知数列满足等于的个位数，则（ A ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【分析】根据条件算出几项直到找出规律即可得出答案．
【详解】∵已知等于的个位数，
则，…，
可以看出：从开始重复出现从到的值：8，4，2，8，6，8．
因此，∴.故选：A.
【点睛】本题主要考查数列的递推，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，由已知条件找出规律是解题的关键．
八．构造法：
（Ⅰ）线性构造：
（一）．形如,其中)型
1．已知数列中，求通项.
解：由得,
所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列
所以,即 .
（二）形如型
1.在数列中，求通项.
解：， ①
时，，
两式相减得 .令,则
即 ②
再由累加法可得.
亦可联立 ① ②解出.
(三)若(其中q是常数，且n0,1)
1.数列满足：，求的通项公式．
解：变形得，，设，则，再变形得：
，所以数列是等比数列，其中首项是公比为　　所以有，即．
于是，故
2.设为数列的前项和，且，，则= -11
略解：用公式法消得，进而得
3.已知数列中，，，，求的通项公式.
解析：由得
又，是以7为首项，3为公比的等比数列，
，即有
又是以为首项，-1为公比的等比数列，
，
（Ⅱ）非线性构造：
（一）倒数法：形如.
1. 已知数列中，，，求通项公式。
解：取倒数：
,
点评：常用的化归还有对数化归，待定化归，一般需转化为等比数列或等差数列的问题。
2. 在数列中，已知 ，求通项公式。
解：两边取倒数递推式化为： ，即
所以…,
将以上个式子相加，得：
即故
（二）利用等式性质两边同除(形如型)
1.已知数列中，，，则的通项公式为
【详解】由题意可知
两边同时除以，得，且，
故数列是公差为2的等差数列，
所以，故；
2.已知数列中，，。
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式.
3.已知数列满足，．
(1)若，证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
解：(1)∵，∴，即
∴是首项为１，公比为２ 的等比数列
∴
∴
(2) …………①
…………②
① - ②可得
化简可得

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