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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题5：二次函数与一元二次方程、不等式
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.
3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式．
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1提醒：解集的端点是对应方程的根．
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立 a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立 a＜0且Δ＜0.
2．简单分式不等式
(1)≥0
(2)＞0 f(x)g(x)＞0.
3．“恒成立”与“能成立”问题的转化
(1)a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max；
a≥f(x)能成立 a≥[f(x)]min.
(2)a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min；
a≤f(x)能成立 a≤[f(x)]max.
注：当不等式不含“等号”时，a也取不到“等号”．
考点一　一元二次不等式的解法
1.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，即，解得：.
故答案为：A
2.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
考点二　一元二次不等式恒成立问题
在实数集R上恒成立问题
(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
【答案】　A
【解析】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需即有
解得－2综上可得，a的取值范围为(－2,2]．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.
【详解】当时，该不等式为，成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：A.
在给定区间上恒成立问题
1.（2022·江西吉安·高二期末（文））定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】等价于，即，
记，，．
故选：D．
2.（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..
【详解】记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D
给定参数范围的恒成立问题
1.（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
2.（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，
令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以，
所以.
故选：C
考点三　一元二次不等式的实际应用
1.（2021·全国·高一课时练习）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据题意，由求解.
【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，
整理得，又，
所以，
解得．
故x的最小值是3．
故答案为：3
2.（2021·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)10米
(2)平方米
【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米；
(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米.
1.（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
10．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
12．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．
13．函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______
三、解答题
14．已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
15．设a为实数，已知函数是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围．
16．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
(3)设，求的最大值.
17．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
18．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点.
(1)求a，b的值；
(2)若，求c的取值范围.中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题5：二次函数与一元二次方程、不等式
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与方程根的关系.
3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式．
1．二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1提醒：解集的端点是对应方程的根．
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立 a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立 a＜0且Δ＜0.
2．简单分式不等式
(1)≥0
(2)＞0 f(x)g(x)＞0.
3．“恒成立”与“能成立”问题的转化
(1)a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max；
a≥f(x)能成立 a≥[f(x)]min.
(2)a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min；
a≤f(x)能成立 a≤[f(x)]max.
注：当不等式不含“等号”时，a也取不到“等号”．
考点一　一元二次不等式的解法
1.（2022·吉林模拟）若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恒成立，即，解得：.
故答案为：A
2.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
考点二　一元二次不等式恒成立问题
在实数集R上恒成立问题
(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
【答案】　A
【解析】不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需即有
解得－2综上可得，a的取值范围为(－2,2]．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.
【详解】当时，该不等式为，成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，
综上所述，的取值范围是，
故选：A.
在给定区间上恒成立问题
1.（2022·江西吉安·高二期末（文））定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】等价于，即，
记，，．
故选：D．
2.（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..
【详解】记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.
故选：D
给定参数范围的恒成立问题
1.（2022·河南·濮阳一高高一期中（理））已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将化为，将看成主元，令，分，和三种情况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，
解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，
解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
2.（2022·河南焦作·高二期末（理））若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，
令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以，
所以.
故选：C
考点三　一元二次不等式的实际应用
1.（2021·全国·高一课时练习）甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据题意，由求解.
【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则，
整理得，又，
所以，
解得．
故x的最小值是3．
故答案为：3
2.（2021·湖北十堰·高一期中）某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)10米
(2)平方米
【分析】（1）设草坪的宽为米，长为米，则由题意，列出关于的不等式，求解即可；（2）求出整个绿化面的长为米，宽为米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得，
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，
所以，又，
所以，解得，
所以宽的最大值为10米；
(2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得，
，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米.
1.（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：对于A，令a=2,b=1,c=0,d=-3，则a+d=-1,b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b,c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2,b=1,c=0,d=-3，则ad=-3,bc=0，此时ad对于D，令a=-1,b=-2,c=-3,d=-4，则ac=3,bd=8，此时ac故答案为：B
2.（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
3．（2020·全国·高考真题（文））已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
4．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，求解即可.
（2）由题设有，讨论、分别求解即可.
（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.
(1)由题设，甲变化为，则，
∴，解得.
(2)由题设，，又，
∴，
当，即时，则，恒成立；
当，即时，则，解得：或.
综上，不等式解集为.
(3)由题设，，则，
，则，
∵当成立，在上单调递增，
∴，
∴对于任意总存在成立，
∴在R上单调递增，得证.
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合A，B，再去求即可.
【详解】
，又，
则.
故选：B
2．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】
不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
3．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
4．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先研究时，的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令，通过换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.
【详解】
解：当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以时，；
当时，；
作出大致图象如下：
由函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个不等实根，
令，则方程，令函数，
①方程在区间和上各有一个实数根，则，解得；
②方程在区间和各有一个实数根，则，不等式组无解；
③方程的两根为1和5，此时无解．
综上，．
故选：C.
5．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据是奇函数求出，得到，判断出的单调性，再利用单调性和奇偶性可得恒成立，由可得答案.
【详解】
∵是奇函数，∴即恒成立，
即，
则，解得，又∵，∴，则，
所以，
，是奇函数，
因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，
可得恒成立，
则，即恒成立，
所以恒成立，解得.
故选：B.
6．已知复数，当时，不等式恒成立，则实数t的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分离参数法去转化不等式恒成立，即可求得实数t的最大值.
【详解】
因为，又，所以，
由时，不等式恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，因为时，单调递增，
所以，所以实数t的取值范围是．
故选：B
7．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数为开口向上的二次函数，要使任意，都有恒成立,只需.即可求出答案.
【详解】
由题可得对于恒成立，即
解得:.
故选：B.
8．已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设出，利用得到在区间上有解，结合端点值的符号得到，求出的最小值.
【详解】
易知，设，则，
所以，
即，
即方程在区间上有解，
令，
因为，，
所以只需，
即
解得：.
故选：C.
9．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.
【详解】
解：当时，恒成立，符合题意；
当时，由题意有，解得，
综上，.
故选：B.
10．若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为恒成立，则恒成立可转化为恒成立，则，即可解得的取值范围
【详解】
因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故
解之得：
故选：A
二、填空题
11．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
12．设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】
由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：
13．函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得在上递增，再将原问题转换为分析即可
【详解】
二次函数在区间上递增，反比例函数在上增函数，指数函数在上递增，综上函数在上递增，又原问题等价于：，所以
，因为函数在上递增，所以，故，所以．
所以，的取值范围是．
故答案为：
三、解答题
14．已知函数，的解集为或．
(1)求实数、的值；
(2)若时，求函数的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）分析可知、是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得、的值；
（2）求得，利用基本不等式可求得在上的最小值.
(1)
解：因为关于的不等式的解集为或，
所以，、是方程的两个根，所以，，解得.
(2)
解：由题意知，
因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，即时，等号成立
故函数的最小值为.
15．设a为实数，已知函数是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若对任意实数x，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)（8，＋∞）
【解析】
【分析】
（1）因为是奇函数，由即可求出a的值.
（2）由定义法证得函数f(x)在上单调递增，由恒成立结合f(x)得是奇函数得，转化为对任意实数x，恒成立，所以，解不等式即可得出实数m的取值范围．
(1)
因为是奇函数，
所以对任意实数x，，即．
所以，即，
所以．
(2)
由（1）得，
设，为上的任意两个实数，且，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以函数f(x)在上单调递增．
由，得，
因为f(x)为奇函数，所以，
所以，即，
所以对任意实数x，恒成立，
所以，
解得，所以实数m的取值范围为（8，＋∞）
16．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
(3)设，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）设，再根据结合系数的关系求解即可；
（2）化简可得，再根据在区间上的单调性求最小值即可；
（3）求得，再根据对称轴与区间中点的位置关系求最大值分析即可
(1)
由于是二次函数，可设，恒成立，
恒成立，
，
又，

；
(2)
当时，恒成立，
即恒成立，
令，当时，单调递减，.
所以；
(3)
，，对称轴为，
①当，即时，
；
②当，即时，
，
综上所述
17．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.
(1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
(2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)最多150人
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围.
(1)
依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，
，，
，解得，
∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人；
(2)
①由技术人员年人均投入不减少有，解得.
②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.
18．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点.
(1)求a，b的值；
(2)若，求c的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）换元后得到有两个不等实根，结合两根之积为负得到，对两根范围进行分类讨论，得到，，即，是满足要求，根据零点个数得到，；
（2）根据第一问求出的，，利用余弦定理得到c的取值范围.
(1)
设，则.由得，①，
，∴方程①有两个不相等的实数根，分别设为，，
∴，不妨假定.
当时，，方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
同理不合题意，舍去.
当时，方程与方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
当时，，即时，，
根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和为9，
则.
当时，，即时，，根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
所以，此时，解得:.
(2)∵，，，
∴在中，由余弦定理得，
解得:.
由于，
∴c的取值范围是.

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