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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题1：集合
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和 表示．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B或B A．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B．
提醒： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
运算 表示　　 并集 交集 补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U, U( UA)＝A．
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
3．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
4．( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
考点一　集合的含义与表示
1．集合A＝，用列举法可以表示为(　　)
A．{1，2，4，9}
B．{1，2，4，5，6，9}
C．{－6，－3，－2，－1，3，6}
D．{－6，－3，－2，－1，2，3，6}
【答案】B　
【解析】[因为∈Z且x∈N*，所以x的取值有：1,2,4,5,6,9，所以列举法表示集合为：{1，2，4，5，6，9}，故选B．]
2.（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
考点二　集合间的基本关系
(2021·青岛高三入学考试) 已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3＝(　　)
A．1　　 B．2　　　 　C．3　　　 　D．6
【答案】C
【解析】[(1)集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为：
{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
则所有非空真子集的元素之和为：
a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，
所以a1＋a2＋a3＝3.故选C．2.（2022·合肥一六八中学模拟预测）若全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵全集，故A错误；
∴，故，
故选：B.
考点三　集合的运算
集合的基本运算
1.（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
∵，即，
所以，解得．
故选：C．
2．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】由题意，，又
又
由于，又
故
故答案为：
利用集合的运算求参数的值或范围
1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知集合或，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合或，，
要使，如图示， 需有 ，
故选：D.
2．（2020·上海长宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，
由，可得，
所以，
故答案为：
集合的新定义问题
1.（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
2.（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
或
故选：B
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
(2021·新高考Ⅱ卷)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩ UB＝(　　)
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}
(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A． B．S　　　
C．T　　　 D．Z
一、单选题
1．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
4．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知C为复数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（广西南宁市2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·浙江省长兴中学高二期末）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为
10．（2022·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
11．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知全集，集合，，则_______，__________
12．（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人 只参加游泳一项比赛的有___________人
四、填空题
13．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知函数是R上的奇函数，且在区间上单调递增，.设，集合，集合，则___________.
14．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
五、解答题
15．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞1}，C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}．
(1)求A∪B，A∩（）；
(2)若B∩C＝ ，求实数m的取值范围．
16．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2022·上海金山·二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题1：集合
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和 表示．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B或B A．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或BA．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B．
提醒： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
运算 表示　　 并集 交集 补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U, U( UA)＝A．
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
3．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
4．( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)；( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
考点一　集合的含义与表示
1．集合A＝，用列举法可以表示为(　　)
A．{1，2，4，9}
B．{1，2，4，5，6，9}
C．{－6，－3，－2，－1，3，6}
D．{－6，－3，－2，－1，2，3，6}
【答案】B　
【解析】[因为∈Z且x∈N*，所以x的取值有：1,2,4,5,6,9，所以列举法表示集合为：{1，2，4，5，6，9}，故选B．]
2.（2022·山东济南·二模）已知集合，， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】由题意，当时， ，当，时， ，
当，时， ，
即C中有三个元素，
故选：C
考点二　集合间的基本关系
(2021·青岛高三入学考试) 已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3＝(　　)
A．1　　 B．2　　　 　C．3　　　 　D．6
【答案】C
【解析】[(1)集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为：
{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
则所有非空真子集的元素之和为：
a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，
所以a1＋a2＋a3＝3.故选C．
2.（2022·合肥一六八中学模拟预测）若全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵全集，故A错误；
∴，故，
故选：B.
考点三　集合的运算
集合的基本运算
1.（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
∵，即，
所以，解得．
故选：C．
2．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】由题意，，又
又
由于，又
故
故答案为：
利用集合的运算求参数的值或范围
1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知集合或，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合或，，
要使，如图示， 需有 ，
故选：D.
2．（2020·上海长宁·一模）设集合，，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】，
由，可得，
所以，
故答案为：
集合的新定义问题
1.（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
2.（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
，
或
故选：B
1．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
(2021·新高考Ⅱ卷)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3,6}，B＝{2,3,4}，则A∩ UB＝(　　)
A．{3} B．{1,6} C．{5,6} D．{1,3}
【答案】B　
【解析】 UB＝{1,5,6}，A∩ UB＝{1,6}，选B．
(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)
A． B．S　　　
C．T　　　 D．Z
【答案】C
【解析】法一：在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，所以T∩S＝T，故选C．
法二：S＝{…,－3,－1,1,3,5,…}，T＝{…,－3,1,5,…}，观察可知，T S，所以T∩S＝T，故选C．
一、单选题
1．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）集合至多有1个真子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得元素个数，分类讨论求解
【详解】当时，，满足题意，
当时，由题意得，得，
综上，的取值范围是
故选：D
2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】把代入，根据方程的根的个数分析即可
【详解】集合，，
把代入，得，即，有唯一解，故集合中元素的个数为1．
故选：B
3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
4．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）已知C为复数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在复数集合下求出，，从而判断出正确答案.
【详解】，解得：，所以，
，解得：，，所以，
所以A
故选：B
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解指数不等式化简集合A，解一元二次不等式化简集合B，再利用交集、并集的定义结合性质求解作答.
【详解】
解不等式：，即，解得：，则，
解不等式：，解得：，则，
因，所以.
故选：A
6．（广西南宁市2021-2022学年高二下学期期末联考数学（文）试题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的基本运算直接计算即可.
【详解】.
故选：C
7．（2022·浙江省长兴中学高二期末）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的并集、补集运算即可得解.
【详解】因为全集，
所以，
所以，
故选：D
二、多选题
8．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以
所以，，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
9．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．的子集有个 B． C． D．中的元素个数为
【答案】ACD
【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确；
由，，得，所以，故B不正确；
由，，所以，所以， 故C正确；
由，得中的元素个数为，故D正确.
故选：ACD.
10．（2022·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，即可得出结论.
【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则或，
故阴影部分所表示的集合为或 .
故选：AD.
三、双空题
11．（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知全集，集合，，则_______，__________
【答案】
【分析】求出的补集，根据并集，交集的定义求出结论即可.
【详解】因为，， 所以,
所以，所以.
故答案为：；.
12．（2021·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人 只参加游泳一项比赛的有___________人
【答案】 3 9
【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.
【详解】
解：如图所示：
设A={游泳}，B={田径}，C={球类}，
由题意得：，
，
所以，
则，
，
所以，
所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，
故答案为：3，9
四、填空题
13．（2022·湖南师大附中高二阶段练习）已知函数是R上的奇函数，且在区间上单调递增，.设，集合，集合，则___________.
【答案】
【分析】由单调性与奇偶性得出的解，然后化简集合，求解问题恒成立，然后用换元法，分离参数法，基本不等式求得结论．
【详解】是奇函数，在上递增，则在上也递增，
由已知，则或，
所以，
，
即恒成立，
即，即，
令，则对恒成立，
所以，
令，所以，
所以.
故答案为：.
14．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3
故答案为：或3.
五、解答题
15．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）已知集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞1}，C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}．
(1)求A∪B，A∩（）；
(2)若B∩C＝ ，求实数m的取值范围．
【答案】(1)A∪B＝{x|x＜﹣5，或x＞﹣4}，A∩（）＝{x|﹣4＜x≤1}
(2)[﹣4，0]
【分析】（1）利用集合的交集、并集和补集的运算求解；
（2）根据B∩C＝ ，由 求解.
(1)
解：∵集合A＝{x|﹣4＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣5或x＞1}，
∴A∪B＝{x|x＜﹣5或x＞﹣4}，
又∵ RB＝{x|﹣5≤x≤1}，
∴A∩（）＝{x|﹣4＜x≤1}；
(2)
∵B＝{x|x＜﹣5或x＞1}，C＝{x|m﹣1＜x＜m+1}，
因为B∩C＝ ，
所以 ，
解得，
故实数m的取值范围为[﹣4，0]．
16．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；
（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
(1)解：当时，，或，
∴．
(2)解：∵或，∴，
∵“”是“”的充分不必要条件，
∴是的真子集，∵，∴，
∴，∴，故实数的取值范围为．
17．（2022·上海金山·二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)的值分别为4，5或5，9
(3)存在最大值，最大值为4
【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；
（2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；
（3）一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
(1)，故集合具有性质.
故集合不具有性质
(2)因集合具有性质，
故.
（i）若，
则 ,解得 ,
经检验，符合题意，故的值分别为4，5.
（ii）若，
则 ,解得,
经检验，符合题意，故的值分别为5，9.
(3)不妨设，
则在集合中，.
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，故.
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而，与集合A具有性质矛盾.
当时，，即成等差数列，且公差也为，
故中的元素从小到大的前三项为，
且第四项只能是或.
（i）若第四项为，则，从而，
于是，故，与集合A具有性质矛盾.
（ii）若第四项为，则，故.
另一方面，，即.
于是，
故，与集合具有性质矛盾.
因此，.
由（2）知，时，存在集合A具有性质，
故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4.

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