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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题3：等式性质与不等式性质
1.掌握等式的性质.
2.会比较两个数(式)的大小.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
1．两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋ c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc ；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
提醒：同向不等式可相加，不能相减．
1．倒数性质
(1)a＞b，ab＞0 ＜；
(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2．分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)；
(2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)．
考点一　比较两数（式）的大小
若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c【答案】B　
【解析】法一：(作差法)
a－b＝－＝＝＞0，
b－c＝－＝＝＞0，所以a＞b＞c.
法二：(作商法)
易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.
法三：(单调性法)
对于函数y＝f (x)＝，y ′＝.
易知当x＞e时，函数f (x)单调递减．
因为e＜3＜4＜5，
所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a.
2.(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【答案】C
【解析】a5＝5a，即＝，
b4＝4b，即＝，
c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，
则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，
当0f′(x)>0，f(x)＝单调递增，
因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)所以f(a)考点二　不等式基本性质
1.(2021·珠海模拟)若a0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．< B．a－C．ln(b－a)>0 D．
【答案】D　
【解析】对选项A，－＝，因为a0，b－a>0，即>0，所以>，故A错误；对选项B，a－－（b－）＝a－b＋－＝·，因为a0，所以ln(b－a)的范围为R，故C错误．
对选项D，因为a0，>0，因为 －＝>0，所以>，
又因为c>0，所以y＝xc在为增函数，
所以，故D正确．故选D．
2.（2022高二下·福田期中）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设，则恒成立，
函数f(x)在[e，+∞)上单调递减，
∴f(e)>f(3)>f(4)，
即 ，
则c故选：B．
考点三　不等式性质的综合应用
(多选)(2021·长沙一中模拟)设x，y为实数满足1≤x≤4,0A．1C．0【答案】BD　
【解析】∵1≤x≤4,02.（2022·玉林模拟）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．e
【答案】D
【解析】因为不等式，所以，得，
设，则上式不等式等价于对任意的实数恒成立，
当时，，故在上单调递增，因为，所以，所以原问题可转化为，即，
设，，，可知，，可知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以实数a的最大值为e.
故答案为：D
1.（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
2.（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
8．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若，则“”是“”的必要不充分条件
10．设，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知实数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，定义分别为，，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C．是四个数中最小者 D．是四个数中最大者
三、填空题
13．已知，，则，的大小关系是________．
14．已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是_____.
15．给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)
16．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B（填“>” “<”或“=”）.
四、解答题
17．已知a，b为正实数．
(1)证明：；
(2)若，证明：．
18．已知x，．求证．
(1)若，，则；
(2)若，则中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题3：等式性质与不等式性质
1.掌握等式的性质.
2.会比较两个数(式)的大小.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用．
1．两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
提醒：同向不等式可相加，不能相减．
1．倒数性质
(1)a＞b，ab＞0 ＜；
(2)a＜0＜b ＜；
(3)a＞b＞0，d＞c＞0 ＞.
2．分数性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)真分数性质：＜；＞(b－m＞0)；
(2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0)．
考点一　比较两数（式）的大小
若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c【答案】B　
【解析】法一：(作差法)
a－b＝－＝＝＞0，
b－c＝－＝＝＞0，所以a＞b＞c.
法二：(作商法)
易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，所以a＞b；＝＝log6251 024＞1，所以b＞c.即c＜b＜a.
法三：(单调性法)
对于函数y＝f (x)＝，y ′＝.
易知当x＞e时，函数f (x)单调递减．
因为e＜3＜4＜5，
所以f (3)＞f (4)＞f (5)，即c＜b＜a.
2.(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
【答案】C
【解析】a5＝5a，即＝，
b4＝4b，即＝，
c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，
则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，
当0f′(x)>0，f(x)＝单调递增，
因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)所以f(a)考点二　不等式基本性质
1.(2021·珠海模拟)若a0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．< B．a－C．ln(b－a)>0 D．
【答案】D　
【解析】对选项A，－＝，因为a0，b－a>0，即>0，所以>，故A错误；对选项B，a－－（b－）＝a－b＋－＝·，因为a0，所以ln(b－a)的范围为R，故C错误．
对选项D，因为a0，>0，因为 －＝>0，所以>，
又因为c>0，所以y＝xc在为增函数，
所以，故D正确．故选D．
2.（2022高二下·福田期中）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设，则恒成立，
函数f(x)在[e，+∞)上单调递减，
∴f(e)>f(3)>f(4)，
即 ，
则c故选：B．
考点三　不等式性质的综合应用
(多选)(2021·长沙一中模拟)设x，y为实数满足1≤x≤4,0A．1C．0【答案】BD　
【解析】∵1≤x≤4,02.（2022·玉林模拟）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A． B． C． D．e
【答案】D
【解析】因为不等式，所以，得，
设，则上式不等式等价于对任意的实数恒成立，
当时，，故在上单调递增，因为，所以，所以原问题可转化为，即，
设，，，可知，，可知，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以实数a的最大值为e.
故答案为：D
1.（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
2.（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
一、单选题
1．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质判断A、B，利用特殊值判断C，利用作差法判断D；
【详解】解：因为，所以，所以，故A错误，B正确；
令、，则，故C错误；
因为，所以，所以，
所以，故D错误；
故选：B
2．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作差法比较的大小，再作差法比较的大小，即可得到三者的大小关系.
【详解】
，又，则，则
，又，则，则
综上，
故选：A
3．已知实数a，b，c满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得，，结合基本不等式，求出的范围，即可求出的取值范围．
【详解】
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，
故选：C.
4．已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论.
【详解】
对于①：因为，所以，所以，即.故①正确；
对于②：取满足，但是，所以不一定成立.
故②错误；
对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误.
故选：B
5．已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，求出结合条件可得结果.
【详解】
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
6．定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】
等价于，即，
记，，．
故选：D．
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．
【详解】
解：对于A：当，，，，满足，，但是，故A错误；
对于B：当时，故B错误；
对于C：由，所以，因为，所以，故C正确；
对于D：当，满足，但是，故D错误；
故选：C
8．已知实数，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由，可得，又由，即充分性成立，
反之：由，可得，此时不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若关于的不等式的解集为，则
D．若，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】
A令判断即可；B作差法比较大小；C由一元二次不等式解集及根与系数关系求参数a、b即可；D令判断必要性是否成立.
【详解】
A：时，错误；
B：，
而，则，故，
所以，即，正确；
C：由题设，可得，故，正确；
D：当时，而不成立，必要性不成立，错误.
故选：BC
10．设，，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式即可判断A；举出反例可判断B；利用作差法可判断C；分为和说明D.
【详解】
对A，因为，所以
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对B，取，时，，，故B不成立；
对C，，故C成立；
对D，若，则成立，
若，则＝，
∴成立，故D正确；
故选：ACD.
11．已知实数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先求出，的范围，利用作差法判断A，利用基本不等式判断B、C，依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而判断D；
【详解】
解：因为，所以，，
又，，
所以，，即，，
所以，所以，故A正确；
对于B：因为，，，
所以，所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C：，所以，当且仅当，时取等号，故C错误；
对于D：因为，，，所以，
所以，令，，
则，
所以当时，当时，
即在上单调递增，在单调递减，
所以，即，
又，所以，故D正确；
故选：ABD
12．已知，定义分别为，，则下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C．是四个数中最小者 D．是四个数中最大者
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质，作差法和基本不等式判断.
【详解】
因为，
所以，则 ，即，
又，
，
，又，则；
又，
，即，
，
当时，，
当时，，
故选：AC
三、填空题
13．已知，，则，的大小关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用作差法直接比大小.
【详解】
,
故答案为：.
14．已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
就、分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围.
【详解】
，
因为，所以，
若即，由零点存在定理可得在上存在零点，
考虑不等式组即在坐标平面上所表示的点的集合，
因为表示直线及直线下方所有的点，
同理表示直线与直线围成的所有点（包含边界，如图所示），
由可得，，由图可得.
若，因为在上存在零点，
故即①，
同理可得在坐标平面中①所表示的点的集合如图所示：
由可得或（舍），
由可得，
结合图形可得，
综上，
故答案为：
【点睛】
思路点睛：对于含参数的二次函数在给定范围上的零点问题，注意利用零点存在定理把问题转化为平面上的点的集合问题来处理.
15．给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)
【答案】③④⑤
【解析】
【分析】
①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断.
【详解】
①当时，，故错误；
②当时，a+b，故错误；
③因为，所以，则，因为，等号不成立，故，故正确；
④因为，所以，故，故正确；
⑤因为，则，故，故正确；
故答案为：③④⑤
16．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B（填“>” “<”或“=”）.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，再根据不等式的性质即可得到，即可判断；
【详解】
解：由题意得，所以，所以，则.
故答案为：
四、解答题
17．已知a，b为正实数．
(1)证明：；
(2)若，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用作差法证明即可；
（2）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(1)
证明：
因为，所以，当且仅当时取等号，又，
所以，即；
(2)
证明：因为，，，即，
所以，
所以
当且仅当，即、时取等号，
即；
18．已知x，．求证．
(1)若，，则；
(2)若，则
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用基本不等式即得；
（2）利用分析法及作差法即得.
(1)
因为，，
所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），所以，
所以（当且仅时等号成立），
即．
(2)
因为，要证，
只需证．
因为
，
又，所以，
即，
所以，
所以．

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