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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题4：基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)xy≤，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
若a≥b＞0，则b≤≤≤≤≤a.
考点一　利用基本不等式求最值
1.（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以a+2b的最大值为.
故答案为：C
2.（2022·马鞍山模拟）若，，，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由，
因为，，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：B
3.（2022高三下·四川）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故答案为：A
考点二　基本不等式的实际应用
1．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
(2021·上海师大附中月考)新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k(k∈[0.5,1])为工人的复工率．公司生产t万件防护服还需投入成本(20＋8x＋50t)(万元)．
(1)将公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
(2)当复工率k＝0.7时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？
(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01)
【解析】　(1)依题意，y＝x＋80t－＝30t－20－7x＝180k－－7x－20，x∈[0，10].
(2)当k＝0.7时，y＝180×0.7－－7x－20
＝－7x－＋106＝－＋134
≤－2＋134＝50，
当且仅当7＝，即x＝2时等号成立，
所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元．
(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k－－7x－20≥0在x∈[0，10]恒成立，
∴k≥，令t＝x＋2∈[2，12]，
∴k≥＝，
设f＝7t＋＋20在[2，12]上递增，
∴fmax＝f＝7×12＋＋20＝105，
∴k≥×105≈0.58.
即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损．
考点三　基本不等式的综合应用
1.已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＞－6 B．m＜－6
C．m＞－7 D．m＜－7
【答案】A
【解析】由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，
则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．
∴－m＜6，即m＞－6，故选A．
2.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
【答案】ABD　
【解析】对于A，a2＋b2＝a2＋2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD．
1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
3．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．
【详解】
由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
故选：C．
5．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.

6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，
，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
(1)因为，即，
而，所以；
(2)由（1）知，，所以，
而，
所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
一、单选题
1．在中，角A B C所对的边分别为a b c，其外接圆的半径，且的面积，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】面积公式结合正弦定理可得的值，然后由基本不等式可得.
【详解】
由正弦定理可知，所以，即，所以，当时取等号.
所以的最小值为8.
故选：A
2．已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简，再利用基本不等式得解.
【详解】
解：由题得.
（当且仅当等号成立）.
故选：B
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】
解：对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
4．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用均值不等式的适用条件“一正，二定，三相等”逐一判断即可
【详解】
对于A：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故A错误；
对于B：∵，∴，由基本不等式可得，当且仅当，即，
即时等号成立，故B正确；
对于C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故C不正确；
对于选项D：∵，∴由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，但最小值不是2，故D错误.
故选：B
5．已知正实数、和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可出，分、、三种情况讨论，利用基本不等式求出的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
因为正实数、和实数满足，
当时，则，此时的最大值为；
当时，即当时，
，
可得，即，不合乎题意；
当时，即当时，
，
若存在最小值，则，可得，即时，
则，，此时存在最大值.
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是.
故选：C.
6．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】又正三棱锥的性质求得三棱锥的侧棱长，结合平行四边形的面积公式及基本不等式求最值即可得解.
【详解】
设侧棱长为，则由底面边长为3，高为1，由可求得，
如图，设，则，且，于是，
所以，
当且仅当即时取等号
故四边形的面积最大值为，
故选：C.
7．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得，由，利用基本不等式取等条件可确定当取最小值时，由此可得双曲线离心率.
【详解】
由题意得：；
（当且仅当时取等号），
当取最小值时，双曲线的离心率为.
故选：C.
8．已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的知识求得的关系式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】
因为，所以或，
又，所以.
由可知：，所以，
则，
，
由可得取等号时，但，无解；
又，经检验且时有最小值.
故选:B
二、多选题
9．给已知、，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；取可判断C选项.
【详解】对于AB选项，由基本不等式，即，即，
当且仅当时，等号成立，AB正确；
对于C选项，当时，则，但，C错误；
对于D选项，，则，
，所以，，
当且仅当时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
10．已知正实数满足，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.
【详解】
解：因为，则，即，
又为正实数，则，所以，，故A项正确；
因为，所以，
又，所以，故B项错误；
因为，且为正实数，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C项正确；
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.
故选：AC.
11．在中，角A B C所对的边分别为a b c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则B的最大值为
D．若，则B的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,否定选项A;
对于B：由在上单调递减，得到 ，利用二倍角的余弦公式即可求得；
对于C、D：利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值为.
【详解】
对于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,满足，但是.故A错误；
对于B：在中，因为，所以,所以.
因为在上单调递减，所以，即，所以，所以，所以
.故B正确；
对于C：在中，因为，所以由余弦定理得：，（当且仅当a=c时取等号）.
因为在上单调递减，所以,即B的最大值为.
故C正确；
对于D：在中，因为，所以由余弦定理得：，（当且仅当a=c时取等号）.
因为在上单调递减，所以,即B的最大值为.
故D正确.
故选：BCD
12．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
【答案】BC
【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
三、填空题
13．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】推导出抛物线的焦半径的性质，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
易知，可得，所以，抛物线的方程为.
若直线与轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，即，，
由韦达定理可得，.
所以，
，
所以，，则
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
14．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵（qiàn ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）．”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A－BCD是一个“鳖臑”，其中AB⊥平面BCD，AC⊥CD，三棱锥A－BCD的外接球的半径为2， 则ABC、BCD的面积之和的最大值为_____________．
【答案】
【分析】
将三棱锥A－BCD还原成一个直四棱柱（长方体），由长方体性质易得面积，再由基本不等式得最大值．
【详解】
将三棱锥A－BCD还原成一个直四棱柱（长方体），如图所示，
则该棱柱的体对角线AD即为外接球的直径2R，则．
于是
，
当且仅当时取到等号，故的最大值为．
故答案为：．
15．在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用三点共线求出，由三角形面积求得，然后把平方转化为数量积，利用基本不等式得最小值．
【详解】
由题意，所以，
所以，
又三点共线，所以，，
，，
，
当且仅当，即，，时等号成立，
所以．
故答案为：．
16．已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
【答案】25
【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再由基本不等式求最值．
【详解】
解：随机变量服从正态分布，，
由，得，
又，
，且，，
则．
当且仅当，即，时等号成立．
的最小值为25．
故答案为：25．
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】
(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】
解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
18．某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)元(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【解析】
【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；
（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求
(1)设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
(2)由题得当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及表达式
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【答案】(1)，
(2)隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为万元．
【解析】
【分析】（1）由已知，即可求得，再由题意求得函数解析式；
（2）把函数解析式变形，再由基本不等式求最值．
(1)解：依题意当时，即，解得，
；
(2)解：因为
．
当且仅当，即时“”成立．
答：隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为万元．
20．已知△的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若△外接圆的周长为，求△周长的最大值．
【答案】(1) (2)9
【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得解；
（2）由正弦定理求得，再利用余弦定理可知，进而利用基本不等式求最值.
(1)由正弦定理可得，即．
由余弦定理得．
又，所以．
(2)因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为．
由正弦定理得，则．
由余弦定理得．
因为，所以，即，
由三角形性质知，当且仅当时，等号成立．
所以
故△周长的最大值为9．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
专题4：基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
3.理解基本不等式在生活实际问题中的应用．
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中（ ）叫做正数a，b的算术平均数，（ ）叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)xy≤，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
若a≥b＞0，则b≤≤≤≤≤a.
考点一　利用基本不等式求最值
1.（2022·保定模拟）已知a，，且，则a+2b的最大值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以a+2b的最大值为.
故答案为：C
2.（2022·马鞍山模拟）若，，，则的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由，
因为，，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：B
3.（2022高三下·四川）已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的公差d，由有，
解得，所以，
则，当且仅当时等号成立．
故答案为：A
考点二　基本不等式的实际应用
1．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；
（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
(2021·上海师大附中月考)新冠疫情造成医用防护服短缺，政府决定为生产防护服的公司提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴用于扩大生产，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中k(k∈[0.5,1])为工人的复工率．公司生产t万件防护服还需投入成本(20＋8x＋50t)(万元)．
(1)将公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
(2)当复工率k＝0.7时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？
(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，公司才能不亏损？(精确到0.01)
【解析】(1)依题意，y＝x＋80t－＝30t－20－7x＝180k－－7x－20，x∈[0，10].
(2)当k＝0.7时，y＝180×0.7－－7x－20
＝－7x－＋106＝－＋134
≤－2＋134＝50，
当且仅当7＝，即x＝2时等号成立，
所以政府补贴2万元才能使公司的防护服利润达到最大50万元．
(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k－－7x－20≥0在x∈[0，10]恒成立，
∴k≥，令t＝x＋2∈[2，12]，
∴k≥＝，
设f＝7t＋＋20在[2，12]上递增，
∴fmax＝f＝7×12＋＋20＝105，
∴k≥×105≈0.58.
即当工人的复工率达到0.58时，公司不亏损．
考点三　基本不等式的综合应用
1.已知不等式2x＋m＋＞0对一切x∈恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m＞－6 B．m＜－6
C．m＞－7 D．m＜－7
【答案】A
【解析】由题意知，－m＜2x＋对一切x∈恒成立，又x≥时，x－1＞0，
则2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当2(x－1)＝，即x＝2时等号成立．
∴－m＜6，即m＞－6，故选A．
2.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤
【答案】ABD　
【解析】对于A，a2＋b2＝a2＋2＝2a2－2a＋1＝2＋≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选ABD．
1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
5．（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
7．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
一、单选题
1．在中，角A B C所对的边分别为a b c，其外接圆的半径，且的面积，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．已知正数m，n满足，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知正实数、和实数满足，若存在最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正三棱锥P-ABC，底面边长为3，高为1，四边形EFGH为正三棱锥P-ABC的一个截面，若截面为平行四边形，则四边形EFGH面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知各项都为正数的等比数列满足，存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．给已知、，满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知正实数满足，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
11．在中，角A B C所对的边分别为a b c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则B的最大值为
D．若，则B的最大值为
12．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
三、填空题
13．直线过抛物线的焦点为，且与抛物线交于、两点，则的最小值为_______．
14．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵（qiàn ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）．”这里所谓的“鳖臑”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．已知三棱锥A－BCD是一个“鳖臑”，其中AB⊥平面BCD，AC⊥CD，三棱锥A－BCD的外接球的半径为2， 则ABC、BCD的面积之和的最大值为_____________．
15．在中，，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．
16．已知随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为____________．
四、解答题
17．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
18．某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及表达式
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
20．已知△的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角B；
(2)若△外接圆的周长为，求△周长的最大值．

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