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第3节　空间直线、平面的平行
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.
2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) 因为l∥a, a α, l α, 所以l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) 因为l∥α, l β, α∩β=b, 所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面 平行) 因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α, 所以α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) 因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b
1.平行间的三种转化关系
2.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行问题中的唯一性
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
1.平面α∥平面β的一个充分条件是(　D　)
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
解析:若α∩β=l,a∥l,a α,a β,则a∥α,a∥β,故排除A;若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β,故排除B;若α∩β=l,a α,a∥l,b β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D.
2.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线(　B　)
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,且在平面α内
C.有无数条,一定在平面α内
D.有无数条,不一定在平面α内
解析:过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.故选B.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为　　　　.
解析:如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,
所以EF∥BD1,
又EF 平面ACE,
BD1 平面ACE,
所以BD1∥平面ACE.
答案:平行
4.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件:
①a α,b β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;
③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.
其中能推出α∥β的条件是　　　　(填上所有正确的序号).
解析:①③中α,β可能相交也可能平行,②④中α∥β.
答案:②④
直线、平面平行的基本问题
1.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　B　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一个平面
解析:若α∥β,则α内有无数条直线与β平行,反之不成立;若α,β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一个平面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不是充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,反之也成立,因此B中的条件是α∥β的充要条件.故选B.
2.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α,β,有如下命题:
①若a∥α,b α,则a∥b;
②若α∥β,a α,则a∥β;
③若α∥β,a α,b β,则a∥b.
以上正确命题的个数为(　C　)
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:若a∥α,b α,则a与b平行或异面,故①错误;若α∥β,a α,则a与β没有公共点,即a∥β,故②正确;若α∥β,a α,b β,则a与b无公共点,得a,b平行或异面,故③错误.所以正确命题的个数为1.故选C.
3.如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=　　　　.
解析:因为平面α∥平面β,
平面α∩平面PAB=CD,平面β∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,
所以=,
所以AB===.
答案:
解决有关线面平行、面面平行的基本问题的注意点
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条件“线在面外”易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
直线与平面平行的判定与性质
　用线线平行证明线面平行
(1)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为线段AD上的任意一点(不包括A,D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证:FG∥平面AA1B1B;
(2)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.
证明:(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,
因为BB1∥CC1,BB1 平面BB1D,CC1 平面BB1D,
所以CC1∥平面BB1D.
又因为CC1 平面CEC1,
平面CEC1与平面BB1D交于FG,
所以CC1∥FG.
因为BB1∥CC1,
所以BB1∥FG.
而BB1 平面AA1B1B,FG 平面AA1B1B,
所以FG∥平面AA1B1B.
(2)法一　连接DG,CD.
设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形,
则M为CD的中点,
又因为H为BC的中点,
所以HM∥BD.
因为HM 平面FGH,BD 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
法二　在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形HBEF为平行四边形,所以BE∥HF.
在△ABC中,因为G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.又因为GH 平面ABED,HF 平面ABED,AB 平面ABED,BE 平面ABED,
所以GH∥平面ABED,HF∥平面ABED.
又因为GH∩HF=H,GH 平面FGH,HF 平面FGH,
所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD 平面ABED,
所以BD∥平面FGH.
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行,注意内外平行三条件,缺一不可.
　用线面平行证明线线平行
如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BMD于GH.求证:AP∥GH.
证明:如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点,
又M是PC的中点,
所以AP∥OM.
又MO 平面BMD,
AP 平面BMD,
所以AP∥平面BMD.
因为平面PAHG∩平面BMD=GH,
且AP 平面PAHG,
所以AP∥GH.
1.通过线面平行可得到线线平行,其中一条线应是两平面的交线,要树立这种应用意识.
2.利用线面平行的性质必须先找出交线.
　利用面面平行证明线面平行
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面 ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F,G分别是棱BC,AD,PA的中点.
(1)求证:PE∥平面BFG;
(2)若PD=AD=1,AB=2,求点C到平面BFG的距离.
(1)证明:如图,连接DE.
因为在矩形ABCD中,E,F分别是棱BC,AD的中点,
所以DF=BE,DF∥BE,
所以四边形BEDF是平行四边形,
所以DE∥BF.
因为G是PA的中点,
所以FG∥PD.
因为PD 平面BFG,DE 平面BFG,FG 平面BFG,BF 平面BFG,
所以PD∥平面BFG,DE∥平面BFG.
又PD∩DE=D,PD 平面PDE,DE 平面PDE,
所以平面PDE∥平面BFG.
因为PE 平面PDE,
所以PE∥平面BFG.
(2)解:因为PD⊥平面ABCD,FG∥PD,
所以FG⊥平面ABCD.
过点C在平面ABCD内作CM⊥BF,垂足为M,则FG⊥CM.
因为FG∩BF=F,FG 平面BFG,BF 平面BFG,
所以CM⊥平面BFG,
所以线段CM的长是点C到平面BFG的距离.
在矩形ABCD中,因为F是AD的中点,AD=1,AB=2,△BCM∽△FBA,
所以=.
因为FB==,BC=AD=1,
所以CM=,
即点C到平面BFG的距离为.
证明线面平行,可先证明直线所在的平面同另一个平面平行,再运用面面平行的性质得到线面平行.
[针对训练]
1.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD= 60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.求证:MN∥平面C1DE.
证明:连接B1C,ME.
因为M,E分别为BB1,BC的中点,
所以ME∥B1C,且ME=B1C.
又因为N为A1D的中点,
所以ND=A1D.
由题设知A1B1DC,
可得B1CA1D,故MEND,
因此四边形MNDE为平行四边形,
所以MN∥ED.
又MN 平面C1DE,ED 平面C1DE,
所以MN∥平面C1DE.
2.如图,四边形ABCD是矩形,P 平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F,求证:四边形BCFE是梯形.
证明:因为四边形ABCD为矩形,
所以BC∥AD.
因为AD 平面PAD,BC 平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD=EF,BC 平面BCFE,
所以BC∥EF.
因为AD=BC,AD≠EF,
所以BC≠EF,
所以四边形BCFE是梯形.
面面平行的判定与性质
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1, A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明:(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC,
所以GH∥BC,
所以B,C,H,G四点共面.
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
所以EF∥BC.
因为EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G∥EB,A1G=EB,
所以四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB.
因为A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF=E,A1E 平面EFA1,EF 平面EFA1,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[典例迁移1](变条件)在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.
证明:如图所示,连接A1B,
因为D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
所以HD∥A1B.
又HD 平面A1B1BA,
A1B 平面A1B1BA,
所以HD∥平面A1B1BA.
[典例迁移2](变条件)在本例条件下,若D1,D分别为B1C1,BC的中点,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明:如图所示,连接A1C交AC1于点M,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,
所以M是A1C的中点,连接MD,
因为D为BC的中点,
所以A1B∥DM.
因为A1B 平面A1BD1,DM 平面A1BD1,
所以DM∥平面A1BD1,
又由三棱柱的性质知,D1C1BD,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,
所以DC1∥BD1.
又DC1 平面A1BD1,BD1 平面A1BD1,
所以DC1∥平面A1BD1.
又因为DC1∩DM=D,DC1,DM 平面AC1D,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
判断、证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义.
(2)面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
平行关系的探索问题
如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,DE=3,AF=1.
(1)求证:平面ABF∥平面DCE;
(2)在DE上是否存在一点G,使平面FBG将几何体ABCDEF分成上、下两部分的体积比为3∶5 若存在,求出点G的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为DE⊥平面ABCD,AF⊥平面ABCD,所以DE∥AF,
又DE 平面DCE,AF 平面DCE,
所以AF∥平面DCE,
因为四边形ABCD是正方形,所以AB∥CD,
又CD 平面DCE,AB 平面DCE,
所以AB∥平面DCE,
因为AB∩AF=A,AB 平面ABF,AF 平面ABF,所以平面ABF∥平面DCE.
(2)解:存在点G,满足题意,理由如下:
假设存在一点G,过G作MG∥BF交EC于点M,连接FG,BG,BM,BD如图,
由VABCDEF=+
=×3×+×3×
=,
设EG=t,
则VGFBME=+=×=,
设点M到ED的距离为h,
则==,
即h=t,
则S△EGM=·t·t=t2,
VGFBME=+=×3××3·t+×3·t2=,
即4t2+8t-21=0,
解得t=或t=-(舍去),
则在DE上存在点G,当EG=,即G为ED的中点时满足条件.
解决这种数值或存在性问题的题目时,注意先给出具体的值或先假设存在,然后再证明.
[针对训练]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为对角线BD,CD1上的点,且==.
(1)求证:PQ∥平面A1D1DA;
(2)若R是AB上的点,的值为多少时,能使平面PQR∥平面A1D1DA 请给出证明.
(1)证明:连接CP并延长与DA的延长线交于点M,如图,连接MD1,
因为四边形ABCD为正方形,
所以BC∥AD,
故△PBC∽△PDM,
所以==,
又因为==,
所以==,
所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA,PQ 平面A1D1DA,
故PQ∥平面A1D1DA.
(2)解:当的值为时,能使平面PQR∥平面A1D1DA,如图.
证明如下:因为=,
即=,故=,
所以PR∥DA.
又DA 平面A1D1DA,PR 平面A1D1DA,
所以PR∥平面A1D1DA,
又PQ∥平面A1D1DA,PQ∩PR=P,PQ,PR 平面PQR,
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析:由长方体的性质,知EF∥平面ABCD,
因为EF 平面EFGH,
平面EFGH∩平面ABCD=GH,
所以EF∥GH.
又EF∥AB,
所以GH∥AB.故选A.
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且 MN∥平面PAD,则(　　)
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
解析:因为MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA,MN 平面PAC,所以MN∥PA.故选B.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,P,Q分别为棱AB,C1D1,D1A1, D1D,C1C的中点.则下列叙述中正确的是(　　)
A.直线BQ∥平面EFG
B.直线A1B∥平面EFG
C.平面APC∥平面EFG
D.平面A1BQ∥平面EFG
解析:过点E,F,G的截面如图所示(其中H,I分别为AA1,BC的中点).因为A1B∥HE,A1B 平面EFG,HE 平面EFG,所以A1B∥平面EFG.故选B.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
直线、平面平行的基本问题 2,7
直线、平面平行的判定与性质 3,4,8,9
平面、平面平行的判定与性质 1
综合问题 5,6 10,11,12,13,14 15,16
1.(2021·山东滕州第一中学新校模拟)已知α,β表示两个不同的平面,直线m是α内一条直线,则“α∥β”是“m∥β”的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由α∥β,m α,可得m∥β;反过来,由m∥β,m α,不能推出α∥β.综上,“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件.故选A.
2.(2021·四川泸州诊断)已知a,b是互不重合的直线,α,β是互不重合的平面,下列四个命题中正确的是(　B　)
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
C.若a∥α,α∥β,则a∥β
D.若a∥α,a∥β,则α∥β
解析:A选项,若a∥b,b α,则a∥α或a α,
所以A选项错误;
B选项,若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b,
所以B选项正确;
C选项,若a∥α,α∥β,则a∥β或a β,
所以C选项错误;
D选项,若a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,
所以D选项错误.故选B.
3.(2021·金华十校联考)已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,则直线MN与直线EF、平面ABB1A1的位置关系分别为(　B　)
A.平行、平行 B.异面、平行
C.平行、相交 D.异面、相交
解析:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,
M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,
所以EF 平面BCC1B1,
MN∩平面BCC1B1=N,N EF,
所以由异面直线的定义得直线MN与直线EF是异面直线.
取A1C1的中点P,连接PM,PN,如图,
则PN∥B1A1,PM∥A1A.又PN 平面ABB1A1,B1A1 平面ABB1A1,PM 平面ABB1A1,A1A 平面ABB1A1,
所以PN∥平面ABB1A1,PM∥平面ABB1A1.
因为PM∩PN=P,PM,PN 平面PMN,
所以平面PMN∥平面ABB1A1,
因为MN 平面PMN,
所以直线MN与平面ABB1A1平行.故选B.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列命题正确的是(　C　)
A.MN∥AP
B.MN∥BD1
C.MN∥平面BB1D1D
D.MN∥平面BDP
解析:取B1C1的中点为Q,连接MQ,NQ(图略),
由三角形中位线定理,得MQ∥B1D1,MQ 平面BB1D1D,B1D1 平面BB1D1D,
所以MQ∥平面BB1D1D.由四边形BB1QN为平行四边形,得NQ∥BB1,NQ 平面BB1D1D,BB1 平面BB1D1D,
所以NQ∥平面BB1D1D.
又MQ∩NQ=Q,MQ,NQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面BB1D1D,
又MN 平面MNQ,
所以MN∥平面BB1D1D.故选C.
5. (多选题)(2021·山东五莲高三月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论正确的是(　BD　)
A.线段B1D1上存在点E,F使得AE∥BF
B.EF∥平面ABCD
C.△AEF的面积与△BEF的面积相等
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
解析:如图所示,AB与B1D1为异面直线,故AE与BF也为异面直线,A错误;B1D1∥BD,故EF∥平面ABCD,B正确;由图可知,点A和点B到EF的距离是不相等的,C错误;连接BD交AC于点O,则AO为三棱锥A-BEF的高,S△BEF=××1=,三棱锥A-BEF的体积为××=,为定值,D正确.故选BD.
6.(多选题)(2021·保定一中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法中正确的是(　BC　)
A.MN∥平面APC
B.C1Q∥平面APC
C.A,P,M三点共线
D.平面MNQ∥平面APC
解析:如图,对于A,连接MN,AC,则MN∥AC,
连接AM,CN,
易得AM,CN交于点P,
即MN 平面APC,
所以MN∥平面APC是错误的;
对于B,由A项知M,N在平面APC内,
由题易知AN∥C1Q,AN 平面APC,C1Q 平面APC,
所以C1Q∥平面APC是正确的;
对于C,由A项知A,P,M三点共线是正确的;
对于D,由A项知MN 平面APC,
又MN 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面APC是错误的.故选BC.
7.有以下三种说法,其中正确的是　　　(填序号).
①若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线;
②若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a不可能与α平行;
③若直线a,b满足a∥b,则a平行于经过b的任何平面.
解析:若直线a与平面α相交,则α内不存在与a平行的直线,故①正确;若直线b∥平面α,直线a与直线b垂直,则直线a可能与α平行,故②错误;若直线a,b满足a∥b,则直线a平行或包含于经过b的任何平面,故③错误.
答案:①
8.(2021·山东烟台二中模拟)下列各图中A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形序号是　　　(写出所有符合要求的图形序号).
解析:对于①,如图1,作MC∥NP,连接NC,PC,得平面MCPN,
因为AB∥NC,NC 平面MCPN,AB 平面MCPN,所以AB∥平面MCPN,即AB∥平面MNP,故①符合题意;
对于②,如图2,连接AC,AD,CD,由已知可得平面MNP∥平面ACD.因为AB和平面ACD相交,所以AB不平行于平面MNP,故②不符合题意;
对于③,如图3,连接AC,BC,DE,
由已知可得MN∥DE,
因为DE∥AC,由平行的传递性可得MN∥AC,MN 平面MNP,AC 平面MNP,所以AC∥平面MNP.
又因为NP∥BC,NP 平面MNP,BC 平面MNP,所以BC∥平面MNP.
AC∩BC=C,AC,BC 平面ABC,
所以平面ABC∥平面MNP,
又因为AB 平面ABC,
所以AB∥平面MNP,故③符合题意;
对于④,如图4,因为DB∥MN,MN 平面MNP,DB 平面MNP,所以DB∥平面MNP,若AB∥平面MNP,又AB∩DB=B,则平面ACBD∥平面MNP,由图可知平面ACBD不可能平行于平面MNP,
所以AB不平行于平面MNP,故④不符合题意.
答案:①③
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=3,F是棱PA上的一个动点,E为PD的中点,O为AC的中点.
(1)求证:OE∥平面PAB;
(2)若AF=1,求证:CE∥平面BDF.
证明:(1)因为四边形ABCD为菱形,O为AC的中点,
所以O为BD的中点,
又因为E为PD的中点,
所以OE∥PB.
因为OE 平面PAB,PB 平面PAB,
所以OE∥平面PAB.
(2)如图所示,过E作EG∥FD交AP于点G,连接CG,FO.
因为EG∥FD,EG 平面BDF,FD 平面BDF.
所以EG∥平面BDF.
因为E为PD的中点,EG∥FD,
所以G为PF的中点,
因为AF=1,PA=3,
所以F为AG的中点,
又因为O为AC的中点,
所以OF∥CG.
因为CG 平面BDF,OF 平面BDF,
所以CG∥平面BDF.
因为EG∩CG=G,EG 平面CGE,CG 平面CGE,
所以平面CGE∥平面BDF,
又因为CE 平面CGE,
所以CE∥平面BDF.
10.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则(　A　)
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
解析:如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,
所以DE∥FM,且DE=FM.
因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,
所以AB∥DE,
所以AB∥FM,
又AB=DE,
所以AB=FM,
所以四边形ABFM是平行四边形,
所以BF∥AM,
又BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,
所以BF∥平面ACGD.故选A.
11.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为(　A　)
A. B.
C.45 D.45
解析:如图,取AC的中点G,连接SG,BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,又SB 平面SGB,
所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH,SB 平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.
同理SB∥FE.
又因为D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也分别为AS,SC的中点,
从而得HFAC,DEAC,所以HFDE,
所以四边形DEFH为平行四边形.
因为AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,
所以DE⊥HD,
所以四边形DEFH为矩形,
其面积S=HF·HD=(AC)·(SB)=.
故选A.
12.已知下列命题:
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑥若平面α∥平面β,直线a α,直线b β,则a∥b.
上述命题正确的是　　　　(填序号).
解析:①若直线与平面有两个公共点,由基本事实2可得直线在平面内,故①正确;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或l与α相交,故②错误;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线可能是异面直线或相交直线,故③错误;④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线可能与该平面平行或相交或在平面内,故④错误;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线无公共点,即平行或异面,故⑤正确;⑥若平面α∥平面β,直线a α,直线b β,则a∥b或a,b异面,故⑥错误.
答案:①⑤
13.如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明:(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,
因为四边形ADEF为平行四边形,
所以O为AE的中点,
又M为AB的中点,
所以MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO,
又因为BE 平面DMF,MO 平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,
所以DE∥GN,
又因为DE 平面MNG,GN 平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,N为AD的中点,
所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN,
因为BD 平面MNG,MN 平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
14.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AC,AB∥CD,AB=2CD, E,F分别为PB,AB的中点.
(1)求证:平面PAD∥平面EFC;
(2)若PA=AB=AC=2,求点B到平面PCF的距离.
(1)证明:因为E,F分别为PB,AB的中点,
所以EF∥PA,
因为EF 平面PAD,PA 平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为AB∥CD,AB=2CD,
所以AF∥CD,AF=CD,
所以四边形ADCF为平行四边形,
所以CF∥AD.
因为CF 平面PAD,AD 平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为EF∩CF=F,EF,CF 平面EFC,
所以平面PAD∥平面EFC.
(2)解:因为AB⊥AC,AB=AC=2,F为AB的中点,
所以S△BCF=BF·AC=×1×2=1,
因为PA⊥平面ABCD,
所以=S△BCF·PA=×1×2=,
因为PF=CF=,PC=2,
所以S△PCF=PC·=×2×=.
设点B到平面PCF的距离为h,
因为=,
所以×·h=,
所以点B到平面PCF的距离为.
15.(2021·山东淄博实验中学模拟)如图1所示,在边长为12的正方形AA′A1′A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA1′分别交BB1,CC1于点P,Q,将该正方形沿BB1,CC1折叠,使得A′A1′与AA1重合,构成如图2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,在该三棱柱底边AC上有一点M,满足AM=kMC(0(1)求证:当k=时,BM∥平面APQ;
(2)若k=,求三棱锥M-APQ的体积.
(1)证明:如图,过M作MN∥CQ交AQ于点N,连接PN,
所以MN∥PB,
所以点M,N,P,B共面且平面MNPB交平面APQ于PN,
因为k=,==,
又CQ=7,
所以MN=3,MN=PB=AB=3,
所以四边形MNPB为平行四边形,
所以BM∥PN,因为PN 平面APQ,BM 平面APQ,
所以BM∥平面APQ.
(2)解:因为AB=3,BC=4,
所以AC=5,
从而AC2=AB2+BC2,即AB⊥BC.
因为k=,
所以AM=1,
所以==×·AM·CQ·=.
16.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点.
(1)求证:平面MNQ∥平面PCD;
(2)在线段PD上是否存在一点E,使得MN∥平面ACE 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明:因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N,Q分别为BC,PA,PB的中点,
所以NQ∥CD,MQ∥PC.又NQ 平面PCD,CD 平面PCD,MQ 平面PCD,PC 平面PCD,所以NQ∥平面PCD,MQ∥平面PCD.
又因为NQ∩MQ=Q,且NQ,MQ 平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面PCD.
(2)解:线段PD上存在一点E,使得MN∥平面ACE,且=.
理由如下:
如图所示,取PD的中点E,连接NE,CE,
因为N,E,M分别是AP,PD,BC的中点,BCAD,
所以NEMC,
所以四边形MCEN是平行四边形,
所以MN∥CE,
因为MN 平面ACE,CE 平面ACE,
所以MN∥平面ACE,即在线段PD上存在点E,使得MN∥平面ACE,且=.

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