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第5节　空间向量的运算及应用
1.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量-a
共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
(2)空间向量中的有关结论
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积
①a·b=|a||b|cos;
②a⊥b a·b=0;
③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=.
(2)空间向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
共线 a∥b a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a1b1+a2b2+a3b3=0
夹角公式 cos=
1.空间向量基本定理的3点注意
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)=λ(λ∈R).
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点共面:
(1)=x+y(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R).
1.(选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中能构成空间的基底的一组向量是(　C　)
A.{a,a+b,a-b}
B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b}
D.{a+b,a-b,a+2b}
解析:对于A,因为(a+b)+(a-b)=2a,
所以a,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除A;
对于B,因为(a+b)-(a-b)=2b,
所以b,a+b,a-b共面,不能构成基底,排除B;
对于D,a+2b=(a+b)-(a-b),
所以a+b,a-b,a+2b共面,不能构成基底,排除D;
对于C,若c,a+b,a-b共面,
则c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),则a,b,c共面,与{a,b,c}为空间的一个基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以构成空间的一个基底.故选C.
2.向量m是直线l的方向向量,向量n是平面α的法向量,“m⊥n”是“l∥α”的(　B　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由l∥α,得m⊥n,
所以m⊥n是l∥α的必要条件;
而由m⊥n不一定有l∥α,也可能l α,
故m⊥n不是l∥α的充分条件.故选B.
3.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则=　　　　(用a,b,c表示).
解析:如图,连接ON,
=-
=(+)-
=(b+c)-a
=-a+b+c.
答案:-a+b+c
4.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则实数m=　　　　.
解析:因为l1⊥l2,所以a⊥b,所以a·b=-6-4+m=0,所以m=10.
答案:10
5.已知A,B,C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足=++,则点M　　　　平面ABC.
解析:因为=++
=++(-)
=++,
因为++=1,
所以M,A,B,C四点共面.
即点M∈平面ABC.
答案:∈
空间向量的线性运算
(1)在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,则下列表示正确的是(　　)
A.++
B.++
C.-++
D.++
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是C1D1的中点,且=+x+ y,则实数x+y的值为(　　)
A.- B.- C. D.
(3)在空间四边形ABCD中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(　　)
A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)
C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)
解析:(1)=+
=+
=+(-)
=+((+)-)
=-++.
=+
=-++
=++.
故选D.
(2)=++
=++
=+x+y,
故x=,y=1,
所以x+y=.故选D.
(3)因为点E,F分别为线段BC,AD的中点,O为坐标原点,
所以=-,
=(+),=(+).
所以=(+)-(+)
=(+)
=×[(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)]
=×(-4,-6,-6)
=(-2,-3,-3).
故选B.
1.用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
2.空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算.
[针对训练]
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则 等于(　　)
A.(c+b-a) B.(a+b-c)
C.(a-c) D.(c-a)
解析:=+
=+
=(+)+(+)
=(-b+c)+(b-a)
=(c-a).故选D.
2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若=x+y+2z(x,y,z∈R),则x+y+z等于(　　)
A. B.2 C. D.
解析:由空间向量的线性运算,得
=+=(+)+,
由题意知,=x+y+2z(x,y,z∈R),
则x=1,y=1,2z=1,z=,
所以x+y+z=1+1+=.故选A.
共线向量、共面向量的应用
如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:(1)E,F,G,H四点共面;
(2)BD∥平面EFGH.
证明:(1)连接BG,
则=+
=+(+)
=++
=+,
由向量共面的充要条件知,,共面,又,,过同一点E,所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为=-
=-
=(-)
=,
所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
[针对训练]
1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ)(λ,μ∈R),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)
A.2, B.-, C.-3,2 D.2,2
解析:因为a∥b,所以b=ka(k∈R),
即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),
所以解得或
故选A.
2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三点共线,则m+n=　　　　.
解析:=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2).
因为A,B,C三点共线,
所以存在实数λ,使得=λ,
即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),
所以解得λ=-2,m=-7,n=4.
所以m+n=-3.
答案:-3
3.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).
(1)向量是否与向量,共面
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行
解:(1)因为=k,=k,
所以=++
=k++k
=k(+)+
=k(+)+
=k+=-k
=-k(+)
=(1-k)-k,
所以由向量共面的充要条件知向量与向量,共面.
(2)当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,
MN在平面ABB1A1内,
当0又由(1)知与,共面,
所以MN∥平面ABB1A1.
综上,当k=0时,直线MN在平面ABB1A1内;
当0空间向量的数量积及其应用
如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求向量与的夹角的余弦值.
(1)证明:设=p,=q,=r.
由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三个向量两两夹角均为60°.
=-
=(+)-
=(q+r-p),
所以·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)
=0.
所以⊥,即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
(2)解:设向量与的夹角为θ.
因为=(+)=(q+r),
=-=q-p,
所以·=(q+r)·(q-p)
=(q2-q·p+r·q-r·p)
=(a2-a2cos 60°+a2cos 60°-a2cos 60°)
=(a2-+-)
=.
又因为||=||=a,
所以·=||||cos θ
=a·a·cos θ=,
所以cos θ=,
所以向量与的夹角的余弦值为.
1.利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
2.利用夹角公式,可以求空间角.
3.可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题 求解.
[针对训练]
1.如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)·;
(2)·.
解:设=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=1,===60°.
(1)==c-a,=-a,
·=(c-a)·(-a)
=a2-a·c=.
(2)·=(++)·(-)
=(-++-)·(-)
=(-++)·(-)
=(-a+b+c)·(c-a)
=×(-1×1×+1×1×+1+1-1×1×-1×1×)=.
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
(1)求的模;
(2)求与夹角的余弦值.
解:(1)设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,===60°,
所以a·b=b·c=c·a=.
||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×(++)=6,
所以||=,即的模为.
(2)=b+c-a,=a+b,
所以||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,
所以cos<,>==,
即与夹角的余弦值为.
已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b, =c,用a,b,c表示 ,则 =(　　)
A.(b+c-a) B.(a+b+c)
C.(a-b+c) D.(c-a-b)
解析:=++=(c-a-b).故选D.
在空间四边形ABCD中,·+·+·=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.不确定
解析:如图,令=a,=b,
=c,
则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.故选B.
已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
解析:因为a·b=x+2=3,所以x=1,所以b=(1,1,2),
所以cos===,
又因为∈[0,π],
所以a与b的夹角为.故选D.
已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=, =,=,则VA与平面PMN的位置关系是　　　　.
解析:如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b,
由题意知=b-c,
=-=a-b+c,
因此=+,
所以,,共面.
又VA 平面PMN,PM,PN 平面PMN,
所以VA∥平面PMN.
答案:平行
如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且 =2,若=x+y+z(x,y,z∈R),则x+y+z=　　　　.
解析:连接ON,设=a,=b,=c,
则=-
=(+)-
=b+c-a,
=+
=+
=a+(b+c-a)
=a+b+c.
又=x+y+z(x,y,z∈R),
所以x=,y=,z=,
因此x+y+z=++=.
答案:
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
空间向量的线性运算 1,7
向量共线、向量共面的应用 2,3,4,6,9
空间向量的数量积及其应用 5,8
综合问题 10,11,12,13 14,15
1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于(　B　)
A.(0,3,-6) B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6) D.(6,6,-6)
解析:由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).故选B.
2.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是(　A　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才能表示为p=x a+y b+z c(x,y,z∈R),故④不正确,综上可知正确命题的个数为0.故选A.
3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于(　B　)
A. B.-2
C.0 D.或-2
解析:当m=0时,a=(1,3,-1),b=(2,0,0),a与b不共线,所以m≠0,因为a∥b,所以==,解得m=-2.故选B.
4.(多选题)下列四个命题中,真命题是(　AC　)
A.若p=xa+yb,则p与a,b共面
B.若p与a,b共面,则p=xa+yb
C.若=x+y,则P,M,A,B共面
D.若P,M,A,B共面,则=x+y
解析:A正确;B中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立;C正确;D中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不成立.故选AC.
5.(多选题)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则下列四个命题中,真命题是(　AB　)
A.(++)2=3
B.·(-)=0
C.向量 与向量 的夹角是60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|
解析:A中,(++)2=++=3,故A正确;B中,-=,因为AB1⊥A1C,故B正确;C中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但 与的夹角为120°,故C不正确;D中,|··|=0,故D不正确.故选AB.
6.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ=(　B　)
A.9 B.-9 C.-3 D.3
解析:显然a与b不共线,若a,b,c三向量共面,
则c=xa+yb(x,y∈R),
即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
所以解得λ=-9.故选B.
7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用,,表示,则 =　　　　.
解析:因为=
=(+),
所以=+
=(+)+
=++.
答案:++
8.如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为　　　　.
解析:设=a,=b,=c,
由已知条件得==,且|b|=|c|,
·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|·cos-|a||b|cos=0,
所以⊥,所以cos<,>=0.
答案:0
9.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足 =(++).
(1)判断,,三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解:(1)由题意知++=3,
所以-=(-)+(-),
即=+=--,
所以,,三个向量共面.
(2)由(1)知,,共面且过同一点M,
所以M,A,B,C四点共面,
所以点M在平面ABC内.
10.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,+λ与的夹角为120°,则实数λ的值为(　C　)
A.± B.
C.- D.±
解析:+λ=(1,-λ,λ),cos 120°==-,得λ=±.经检验λ=不符合题意,舍去,所以λ=-.故选C.
11.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z)(x,y,z∈R),a∥b,b⊥c,则c=　　　　.
解析:因为a∥b,易知y≠0,所以==,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,
解得z=2,于是c=(3,-2,2).
答案:(3,-2,2)
12.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)在直线AB上是否存在一点E,使得⊥b(O为原点)
解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
(2)设=t(t∈R),
所以=+=+t
=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)
=(-3+t,-1-t,4-2t),
若⊥b,则·b=0,
所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,
解得t=.
因此直线AB上存在点E,使得⊥b,
此时点E的坐标为(-,-,).
13.已知O(0,0,0),A(1,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,求·取最小值时点Q的坐标.
解:由题意,设=λ(λ∈R),
则=(λ,λ,2λ),即Q(λ,λ,2λ),
则=(1-λ,2-λ,1-2λ),
=(2-λ,1-λ,2-2λ),
所以·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(1-2λ)(2-2λ)= 6λ2-12λ+6=6(λ-1)2,
当λ=1时,·取最小值,此时点Q的坐标为(1,1,2).
14.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0, ·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　C　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析:因为M为BC的中点,
所以=(+),
所以·=(+)·
=·+·=0.
所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.故选C.
15.如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为棱AB,BB′的中点.
(1)求证:CE⊥A′D;
(2)求向量与所成角的余弦值.
(1)证明:设=a,=b,=c,
根据题意,得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0,
所以=b+c,=-c+b-a,
所以·=-c2+b2=0,
所以⊥,即CE⊥A′D.
(2)解:因为=-a+c,||=|a|,
||=|a|,
·=(-a+c)·(b+c)
=c2=|a|2,
所以cos<,>===,所以向量与所成角的余弦值为.

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