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第7节　二项分布、超几何分布与正态分布
1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=
如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).
2.二项分布
(1)n重伯努利试验
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p).
(3)二项分布的均值与方差
如果X～B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(1)两点分布是二项分布的特殊情况.
(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).
3.超几何分布
(1)超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则E()=p,即E(X)=
=np.
超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:
(1)考察对象分两类.
(2)已知各类对象的个数.
(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典
概型.
4.正态分布
(1)连续型随机变量
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数
①f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X～N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域 A的面积,而P(a≤X≤b)为区域 B的面积.
(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图所示.
当μ取定值时,因为曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,曲线与x轴围成的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知
(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(2)P(X(3)P(a1.(选择性必修第三册P59例1改编)设一随机试验的结果只有A和 ,且P(A)=m,令随机变量ξ=则ξ的方差D(ξ)等于(　D　)
A.m B.2m(1-m)
C.m(m-1) D.m(1-m)
解析:随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1
P 1-m m
所以E(ξ)=0·(1-m)+1·m=m,
所以D(ξ)=(0-m)2·(1-m)+(1-m)2·m=m(1-m).故选D.
2.若随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),ξ在区间(4,+∞)上取值的概率是0.2,则ξ在区间(0,2)上取值的概率为(　A　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.8
解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),
所以正态曲线关于直线x=2对称,
又P(ξ>4)=0.2,所以P(ξ<0)=0.2,
所以所求概率P(0<ξ<2)==0.3.故选A.
3.箱中有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出2个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是　　　　.
解析:由题意知,获奖的概率P==,记获奖的人数为ξ,则ξ～B(4,),所以4人中恰好有3人获奖的概率为
P=×()3×=.
答案:
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是　　　　.
解析:设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,其中N=6,M=2,n=3,则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
答案:
n重伯努利试验与二项分布
(2021·安徽合肥模拟)某地历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”的学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:
研学游类型 科技体验游 民俗人文游 自然风光游
学校数 40 40 20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择“研学游”类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).
(1)若这3所学校选择的“研学游”类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
解:(1)依题意,学校选择“科技体验游”的概率为,选择“自然风光游”的概率为,
所以若这3所学校选择“研学游”类型为“科技体验游”和“自然风光游”,则这两种类型都有学校选择的概率为
P=×()2×+×()2×=.
(2)由题意知X～B(3,),
则P(X=0)=×()3=,
P(X=1)=××()2=,
P(X=2)=×()2×=,
P(X=3)=×()3=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.　
与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np,求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).
[针对训练]
(2021·四川遂宁高三三模)某校数学教研组,为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选择填空题的得分率,对学生《圆锥曲线》的选择填空题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新,其学校教务处为了检测其质量指标,从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分),经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)将频率视为概率,从该校高三学生中任意抽取4名学生,记这4名学生《圆锥曲线》的选择填空题的训练的质量指标值位于(10,30]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.
解:(1)根据频率分布直方图可得质量指标值位于
[0,10]的频率为0.010×10=0.1,
(10,20]的频率为0.020×10=0.2,
(20,30]的频率为0.030×10=0.3,
(30,40]的频率为0.025×10=0.25,
(40,50]的频率为0.015×10=0.15,
所以=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.
(2)根据题意得质量指标值位于(10,30]内的概率为0.2+0.3=0.5,所以X～B(4,),X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=×()4=,
P(X=1)=×()4=,
P(X=2)=×()4=,
P(X=3)=×()4=,
P(X=4)=×()4=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.
超几何分布
在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.
解:(1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”为事件M,则P(M)==.
(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
[典例迁移1] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求X的分布列.
解:由题意可知X的所有可能取值为1,2,3,4,5,则
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==.
因此X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
[典例迁移2] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求X的分布列.
解:由题意知X的所有可能取值为3,1,-1,-3,-5,
则P(X=3)==,P(X=1)==,
P(X=-1)==,P(X=-3)==,
P(X=-5)==.
因此X的分布列为
X 3 1 -1 -3 -5
P
求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
正态分布
　正态分布的计算
(2021·安徽合肥高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,试估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩μ0(精确到个位);
(2)研究发现,本次检测考试的数学成绩X近似服从正态分布N(μ,
σ2),其中μ=μ0,σ=19.3.
①按以往的统计数据,数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%,据此估计在本次检测考试中达到升一本的数学成绩是多少分(精确到个位)
②已知A市高三学生约有10 000名,某学生在此次检测考试中数学成绩为107分,则该学生在全市的排名大约是多少
[说明:P(x≥x1)=1-Φ()表示x≥x1的概率,Φ()用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即X～N(0,1),从而利用标准正态分布表Φ(x0),求x≥x1时的概率P(x≥x1),这里x0=().相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,即Φ(x0)=P(x参考数据:Φ(0.705 4)=0.54,Φ(0.677 2)=0.46,Φ(0.21)=0.583 2]
解:(1)由题意估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩为μ0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×
0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03=103.2≈103(分).
(2)①记在本次检测考试中达到升一本的数学成绩为x1分,根据题意,
P(x≥x1)=1-Φ()=1-Φ()=0.46,即Φ()=0.54.
由Φ(0.705 4)=0.54得,=0.705 4 x1≈116.6≈117,
所以在本次检测考试中达到升一本的数学成绩约为117分.
②P(x≥107)=1-Φ()≈1-Φ(0.21)=1-0.583 2=0.416 8,
所以10 000×0.416 8=4 168,
所以数学成绩为107分的该学生在全市的排名大约是第4 168名.
(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.
②P(X解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.
　正态分布的应用
(2021·山西模拟)某纺织厂为了生产一种高端布料,准备从A农场购进一批优质棉花.厂方技术人员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100份棉花,分别测量了其纤维长度(单位:mm)的均值,得到100个样本数据,并制成频数分布表如表:
长度/ mm [23, 25) [25, 27) [27, 29) [29, 31) [31, 33) [33, 35) [35, 37) [37, 39]
频数 4 9 16 24 18 14 10 5
(1)求这100个样本数据的样本平均数和样本方差s2(同一组数据取该组区间的中点值为代表);
(2)由得到的数据可以认为这批棉花的纤维长度X服从正态分布,即X～N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(X≥μ-2σ);
②纺织厂将A农场送来的这批优质棉花进行二次检验,从中随机抽取20份测量其纤维长度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的数据如表:
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10
24.1 31.8 32.7 28.2 28.4 34.3 29.1 34.8 37.2 30.8
Y11 Y12 Y13 Y14 Y15 Y16 Y17 Y18 Y19 Y20
30.6 25.2 32.9 27.1 35.9 28.9 33.9 29.5 35.0 29.9
若这20个样本中纤维长度的均值Y≥μ-2σ的频率不低于①中的P(X≥μ-2σ),则可判断该批优质棉花合格,否则认为A农场送来的棉花掺杂了次品,判断该批棉花不合格,按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花,并说明理由.
附:若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5;≈3.504.
解:(1)=×(4×24+9×26+16×28+24×30+18×32+14×34+10×
36+5×38)=31,
s2=×(4×72+9×52+16×32+24×12+18×12+14×32+10×52+5×72)=
12.28.
(2)棉花的纤维长度X～N(μ,σ2),其中μ=31,σ=≈3.504.
①P(X≥μ-2σ)≈1-×(1-0.954 5)=0.977 25.
②A农场送来的这批棉花是合格的优质棉花,理由如下:
μ-2σ=31-2×3.504=23.992,故P(Y≥μ-2σ)=P(Y≥23.992)=1>
0.977 25,
所以A农场送来的这批棉花为合格的优质棉花.
事件在[μ-3σ,μ+3σ]之外的为小概率事件,一旦发生,则说明生产存在问题,则要调整生产.
[针对训练]
(2021·山东潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ,σ2).如果加工的零件内径小于μ-
3σ或大于μ+3σ均为不合格品,其余为合格品.
(1)假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数;
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利;若生产的某件产品为不合格品,则该件产品亏损.已知每件产品的利润L(单位:元)与零件的内径X有如下关系:L=
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解:(1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率为0.997 3,从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002 7,因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为10 000×0.002 7=27.
(2)结合正态分布曲线和题意可知,
P(X<μ-3σ)≈0.001 35,
P(μ-3σ≤X<μ-σ)≈×(0.997 3-0.682 7)=0.157 3,
P(μ-σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3-0.157 3=0.840 0,
P(X>μ+3σ)≈0.001 35,
故随机抽取10 000个零件的平均利润为
10 000L=10 000×(-5×0.001 35+4×0.157 3+6×0.840 0-5×0.001 35)=56 557(元).
为了拓展网络市场,某公司为手机客户端用户推出了多款应用,如“农场”“音乐”“读书”等.市场调查表明,手机用户在选择以上三种应用时,选择“农场”“音乐”“读书”的概率分别为,,.现有甲、乙、丙三名手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加.
(1)求三人所选择的应用互不相同的概率;
(2)记ξ为三人中选择的应用是“农场”与“音乐”的人数,求ξ的分布列.
解:记“第i名用户选择的应用是‘农场’‘音乐’‘读书’”分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bi)=,P(Ci)=.
(1)他们选择的应用互不相同的概率为
P=3!·P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=.
(2)设3名用户选择的应用是“读书”的人数是η,由已知得η～B(3,),且ξ=3-η,
所以P(ξ=0)=P(η=3)=×()3=,
P(ξ=1)=P(η=2)=×()2×==,
P(ξ=2)=P(η=1)=××()2==,
P(ξ=3)=P(η=0)=×()3=.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2021·江苏徐州一模)近日,某调查小组在一家大型超市进行了一项关于顾客使用移动支付情况的调查,调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人,得到如表统计数据:
年龄段个数类型 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
使用移动支付 45 40 25 15
不使用移动支付 0 10 20 45
(1)现从这200人中随机依次抽取2人,在第1次抽到的人使用移动支付的条件下,求第2次抽到的人不使用移动支付的概率;
(2)现采用分层随机抽样的方法从使用移动支付的人中抽取25人做进一步的问卷调查.再从这25人中随机选出3人颁发参与奖,设这
3人中年龄在[40,50)中的人数为X,求X的分布列.
解:(1)由题意可知,使用移动支付的人数为125,不使用移动支付的人数为75.记事件A为“第1次抽到的人使用移动支付”,事件B为“第2次抽到的人不使用移动支付”,所以P(B|A)===.
(2)在年龄段[40,50)中抽取的人数为×25=5,则X的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件,测量这些产品的一项质量指标,由检测结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(175.6≤Z≤224.4);
②已知每件该产品的生产成本为10元,每件合格品(质量指标值Z∈[175.6,224.4])的定价为16元;若为次品(质量指标值Z [175.6,224.4]),除了全额退款外,每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品,用Y表示这100件产品的利润,求E(Y).
附:≈12.2.若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈
0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5.
解:(1)由题意得=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+
210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
所以s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+
(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150,
即样本平均数为200,样本方差为150.
(2)①由(1)可知,μ=200,σ=≈12.2,
所以Z～N(200,12.22),
所以P(175.6≤Z≤224.4)=P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5.
②设X表示100件产品的正品数,
由题意得X～B(100,0.954 5),
所以E(X)=100×0.954 5≈95,
所以E(Y)=16E(X)-48×5-100×10=280.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
二项分布 1,2,5 9
超几何分布 3,4,8 11
正态分布 6,7 10
概率分布模型的综合应用 12,13 14
1.设袋中有两个红球,一个黑球,除颜色不同,其他均相同,现有放回地抽取,每次抽取一个,记下颜色后放回袋中,连续抽三次,X表示三次中红球被抽中的次数,每个小球被抽取的概率相同,每次抽取相对独立,则方差D(X)等于(　C　)
A.2 B.1 C. D.
解析:每次取球时,取到红球的概率为,取到黑球的概率为,所以取出红球的概率服从二项分布,即X～B(3,),所以D(X)=3××(1-)=.故选C.
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为(　A　)
A.E(X)=0,D(X)=1
B.E(X)=,D(X)=
C.E(X)=0,D(X)=
D.E(X)=,D(X)=1
解析:由题意知,随机变量X的分布列为
X -1 1
P
所以E(X)=(-1)×+1×=0,
D(X)=×(-1-0)2+×(1-0)2=1.故选A.
3.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以X表示取出球的最小号码,则E(X)等于(　B　)
A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6
解析:易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,由古典概型的概率计算公式得P(X=0)===0.6,
P(X=1)===0.3,P(X=2)==0.1,所以E(X)=0×0.6+1×0.3+2×
0.1=0.5.故选B.
4.(多选题)(2021·山东烟台质检)某人参加一次测试,在备选的
10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格,则下列选项正确的是(　CD　)
A.答对0题和答对3题的概率相同,都为
B.答对1题的概率为
C.答对2题的概率为
D.合格的概率为
解析:设此人答对题目的个数为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,则答对0题和答对3题的概率相同,都为,故A错误;答对1题的概率为,故B错误;答对2题的概率为,故C正确;合格的概率为P=
P(ξ=2)+P(ξ=3)=+=,故D正确.故选CD.
5.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则(　ACD　)
A.X～B(4,)
B.P(X=2)=
C.X的数学期望E(X)=
D.X的方差D(X)=
解析:从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,
取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,
所以随机变量X服从二项分布X～B(4,),故A正确;
X=2,记其概率为P(X=2)=×()2×()2=,故B错误;
因为X～B(4,),所以X的数学期望为E(X)=4×=,故C正确;
因为X～B(4,),所以X的方差为D(X)=4××=,故D正确.故选ACD.
6.(2021·八省市新高考适应性考试)对一个物理量做n次测量,并以测量结果的平均数作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差
εn～N(0,),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,至少要测量　　　　次(若X～N(μ,σ2),则P(|X-μ|<2σ)≈0.954 5).
解析:根据正态曲线的对称性知,要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.954 5,则(μ-2σ,μ+2σ) (-0.5,0.5)且μ=0,σ=,所以0.5≥2 n≥32,所以至少要测量32次.
答案:32
7.(2021·重庆巴蜀中学模拟)中国某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成.已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示,三个电子元件的使用寿命(单位:h)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),那么这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000 h的台数的均值为　　　　.
解析:由正态分布可知,每个元件的使用寿命超过10 000 h的概率为,则该部件的使用寿命超过10 000 h的概率为[1-()2]×=.
由题意知1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000 h的台数服从二项分布,所以台数的均值为1 000×=375.
答案:375
8.(2021·天津武清区高三模拟)已知一个袋子中装有1个红球,3个绿球,1个黄球.从袋中随机取球,每次取3个,则取出的三个球颜色各不相同的概率为　　　;记取出的球颜色种数为ξ,则E(ξ)=　　　.
解析:由题意,共有5个球,从中取出3个球,则有=10种不同的取法.
取出的三个球颜色各不相同,则红球、绿球、黄球各取1个,有=
3种不同的取法,
所以取出的三个球颜色各不相同的概率为.
取出的球颜色种数ξ的可能取值为1,2,3,
P(ξ=3)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)===,
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=.
答案:　
9.(多选题)为弘扬我国古代“六艺”文化,某研学旅行夏令营主办单位计划在暑假开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程,若甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程,则(　BCD　)
A.甲、乙、丙三人选择课程方法有120种
B.恰有三门课程没有被三名同学选中的概率为
C.已知甲不选择课程“御”的条件下,乙、丙也不选择课程“御”的概率为
D.设三名同学选择课程“礼”的人数为ξ,则E(ξ)=
解析:甲、乙、丙三名同学每人只能体验其中一门课程,则选择方法有63=216种,故A错误;恰有三门课程没有被三名同学选中,表示三名同学每个人选择了不重复的一门课程,所以概率为==,故B正确;已知甲不选择课程“御”的概率为,甲、乙、丙都不选择课程“御”的概率为=,所以条件概率为=,故C正确;三名同学选择课程“礼”的人数为ξ,则ξ服从二项分布B(3,),则E(ξ)=3×=,故D正确.故选BCD.
10.(多选题)(2021·江苏徐州高三模拟)已知某校有1 200名同学参加某次模拟考试,其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),则下列说法正确的有(　BD　)
(参考数据:①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)
A.这次考试成绩超过100分的约有500人
B.这次考试分数低于70分的约有27人
C.P(115D.从中任取3名同学,至少有2人的分数超过100分的概率为
解析:由题意可知,对于选项A,μ=100,σ=15,则P(X>100)=,则成绩超过100分的约有1 200×=600(人),所以选项A错误;
对于选项B,P(X≥70)=P(70≤X≤100)+P(X>100)=P(100-2×15≤X≤100+2×15)+0.5≈×0.954 5+0.5=0.977 25,所以P(X<70)=1-P(X≥70)=1-0.977 25=0.022 75,所以分数低于70分的人数约为0.022 75×
1 200=27.3,即约为27人,所以选项B正确;
对于选项C,P(X≤115)=P(X<100)+P(100-15≤X≤100+15)≈0.5+×
0.682 7=0.841 35,P(X≤130)=P(X<100)+P(100-2×15≤X≤100+2×
15)≈0.5+×0.954 5=0.977 25,所以P(115P(X≤115)=0.977 25-0.841 35=0.135 9,所以选项C错误;
对于选项D,因为P(X>100)=,且至少有2人的分数超过100分的情况如下:①恰好有2人时概率为×()2×=;②3人均超过100分时的概率为()3=,则至少有2人的分数超过100分的概率为+=,所以选项D正确.故选BD.
11.(2021·天津南开区高三模拟)一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为　　　　;从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　.
解析:设白球的个数为y,又从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,
则=,解得y=5.
由题设知ξ的所有可能取值是0,1,2,3,
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=+×2+=.
答案:5　
12.(2021·河北饶阳中学高三模拟)由商务部和北京市人民政府共同主办的2020年中国国际服务贸易交易会(简称服贸会)于9月4日开幕,主题为“全球服务,互惠共享”.某高校为了调查学生对服贸会的了解情况,决定随机抽取100名学生进行采访.根据统计结果,采访的学生中男女比例为3∶2,已知抽取的男生中有10名不了解服贸会,抽取的女生中有25名了解服贸会,请解答下面所提出的相关问题.
(1)完成2×2列联表,并回答“是否有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关”.
性别 了解情况 合计
了解 不了解
男生
女生
合计 100
(2)若从被采访的学生中利用分层随机抽样的方法抽取5人,再从这
5人中随机抽取3人在校内开展一次“介绍服贸会”的专题活动,记抽取男生的人数为ξ,求出ξ的分布列及数学期望.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解:(1)2×2列联表如表:
性别 了解情况 合计
了解 不了解
男生 50 10 60
女生 25 15 40
合计 75 25 100
χ2=≈5.556<6.635,
所以没有99%的把握认为学生对服贸会的了解情况与性别有关.
(2)根据题意,抽取的5人中男生有3人,女生有2人.
从这5人中随机抽取3人,则男生人数ξ的所有可能取值为1,2,3,
则P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,
P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=.
13.(2021·江西南昌模拟)有某品牌A型和B型两种节能灯,假定A型节能灯使用寿命都超过5 000 h.经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计,得到如图所示的频率分布直方图.
某商家因原店面需重新装修,需租赁一家新店面进行周转,合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5只(同种型号)即可正常营业.经了解,A型20 W和B型55 W的两种节能灯照明效果相当,都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元,当地商业电价为0.75元/kW·h.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600 h,若正常营业期间灯坏了立即购买同种型号的灯更换(用频率估计
概率).
(1)若该商家新店面全部安装了B型节能灯,求一年内恰好更换了2只灯的概率;
(2)若只考虑灯的成本和消耗电费,你认为该商家应选择哪种型号的节能灯,请说明理由.
解:(1)由频率分布直方图可知
B型节能灯使用寿命超过3 600 h的频率为0.001 0×200=0.2,
用频率估计概率,得B型节能灯使用寿命超过3 600 h的概率为.
所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为,
所以一年内恰好更换了2只灯的概率为
×()2×()3=.
(2)共需要安装5只同型号的节能灯,
若选择A型节能灯,一年共需花费5×120+3 600×5×20×0.75×10-3=
870(元).
若选择B型节能灯,由于B型节能灯一年内需更换的只数服从二项分布B(5,),
故一年需更换灯的只数的数学期望为5×=4(只),
故一年共需花费(5+4)×25+3 600×5×55×0.75×10-3=967.5(元).
因为967.5>870,所以该商家应选择A型节能灯.
14.(2021·山西高三三模)2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点,全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日,中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容,其中第一项是结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果,在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年,总的要求是学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行,教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事、开新局.为了配合这次学党史活动,某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛,现从参加人员中随机抽取100人,并对他们的分数进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)现从这100人中随机抽取2人,记其中得分不低于80分的人数为ξ,试求随机变量ξ的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图,可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,经计算s2=192.44.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人,且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立,试问这
500名参赛者的分数高于82.3的人数最有可能是多少
参考数据:≈13.9,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-
2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解:(1)100人中得分不低于80分的人数为(0.014+0.006)×10×100=20,
随机变量ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
E(ξ)=0×+1×+2×==.
(2)μ=35×0.04+45×0.06+55×0.11+65×0.36+75×0.23+85×
0.14+95×0.06=68.4.
σ=≈13.9,
P(X>82.3)=P(X>μ+σ)≈=0.158 65,
每位参赛者分数高于82.3的概率为0.158 65,记500位参赛者中分数高于82.3的人数为随机变量η,则η～B(500,p),其中p=0.1586 5,
所以恰好有k个参赛者的分数高于82.3的概率为P(η=k)=
pk(1-p)500-k,k=0,1,2,…,500.
由==>1,
得k<501p=79.483 65,
所以当1≤k≤79时,P(η=k)>P(η=k-1),
当80≤k≤500时,P(η=k)由此可知,在这500名参赛者中分数高于82.3的人数最有可能是79.

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