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第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式.
3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r′+r)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=h(S上+S下+)
球 S=4πR2 V=πR3
1.特殊的四棱柱
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体
2.球的截面的性质
(1)球的任何截面都是圆面.
(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r=.
3.正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a,球的半径为R,
(1)若球为正方体的外接球,则2R=a;
(2)若球为正方体的内切球,则2R=a;
(3)若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
4.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
5.正四面体的外接球的半径R=a,内切球的半径r=a,其半径R∶r=3∶1(a为该正四面体的棱长).
6.直观图与原平面图形面积间关系S直观图=S原图形.
1.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(　B　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π, 所以r2=4,所以r=2(cm).故选B.
2.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　A　)
A.12π B.π
C.8π D.4π
解析:由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线长2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π.故选A.
3.(必修第二册P109例2改编)如图,直观图所表示的平面图形是(　D　)
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
解析:由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴, BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D.
4.如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,剩下的几何体是(　C　)
A.棱台　　　　 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
解析:由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.
5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为　　　　.
解析:设长方体的相邻三条棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积为V2=abc- abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.
答案:1∶47
第一课时　立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积
空间几何体的结构特征、直观图
1.(多选题)下列说法正确的是(　AD　)
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C.棱台的侧面是等腰梯形
D.用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面
解析:A正确;B不正确,如正六棱柱相对的侧面平行;C不正确,棱台的侧棱长可能不相等;D正确,用一个平面截一个球,得到的截面是一个圆面.故选AD.
2.下列命题:
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面;
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为(　B　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误,③正确.对于命题④,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,④不正确.故选B.
3.给出下列四个命题:
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.
其中不正确的命题为　　　　(填序号).
解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错误;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错误;对于③,若底面不是矩形,则③错误;④由线面垂直的判定定理,可知侧棱垂直于底面,故④正确.
综上,命题①②③不正确.
答案:①②③
4.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为　　　　.
解析:如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.作E′F⊥O′B′于 点F,
因为OE==1,由斜二测画法可知O′E′=,E′F=,D′C′=1,A′B′=3,则直观图A′B′C′D′的面积为S′=×=.
答案:
1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.
4.画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
柱、锥、台体的表面积与体积
　简单几何体的表面积
如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是圆柱上底面的圆心,圆柱的侧面积是(　　)
A.π B.π C.π D.π
解析:如图所示,过点P作PE⊥平面ABC,E为垂足,点E为正三角形ABC的中心,连接AE并延长,交BC于点D.
AE=AD,AD=,
所以AE=×=,
所以PE==.
设圆柱底面半径为r,则r=AE=,
所以圆柱的侧面积为S=2πr·PE=2π××=π.故选C.
1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
　简单几何体的体积
(1)已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=,SB=4,SC=2,AB=2, BC=6,则三棱锥S-ABC的体积是(　　)
A.4 B.6 C.4 D.6
(2)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是　　　　.
解析:(1)因为∠ABC=,AB=2,BC=6,所以AC=== 2.因为∠SAB=,AB=2,SB=4,所以AS===2.由SC=2,得AC2+AS2=SC2,所以AC⊥AS.又因为SA⊥AB,AC∩AB=A,AC 平面ABC,AB 平面ABC,所以AS⊥平面ABC,所以AS为三棱锥S-ABC的高,所以=××2×6×2=4.故选C.
(2)设长方体中BC=a,CD=b,CC1=c,则abc=120,所以VE-BCD=·ab·c= abc=10.
答案:(1)C　(2)10
求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.
　不规则几何体的体积
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体ABEF的体积为(　　)
A. B.
C.1 D.
解析:因为ED⊥平面ABCD且AD 平面ABCD,所以ED⊥AD.
因为在正方形ABCD中,AD⊥DC,而DC∩ED=D,DC 平面CDEF,ED 平面CDEF,所以AD⊥平面CDEF.连接EC,DF(图略),
易知FC==1,VABEF=VABCDEF-VF-ABCD-VA-DEF.
因为VE-ABCD=ED·S正方形ABCD·=2×2×2×=,=BC·S△EFC·=2×2× 1××=,
所以VABCDEF=+=.又VF-ABCD=FC··=1×2×2×=,VA-DEF= AD·S△DEF·=2×2×2××=,VABEF=--=.故选B.
求不规则几何体的体积:当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.
(1)利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥).
(2)利用“补”的方法把棱锥补成棱柱,把台体补成锥体,把三棱锥补成四棱锥,把三棱柱补成四棱柱,把不规则几何体补成规则几何体,补一个同样的几何体等.
[针对训练]
1.(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,所形成的几何体的表面积可以为(　　)
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
解析:如果是绕直角边旋转,则形成圆锥,圆锥的底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,长为,所以所形成的几何体的表面积为S=π×1×+π×12=(1+)π.如果绕斜边旋转,则形成的是上、下两个圆锥,圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以所形成的几何体的表面积为S′=2×π××1=π.综上可知,所形成的几何体的表面积是(1+)π或π.故选AB.
2.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　.
解析:由题意知圆柱的高恰为四棱锥高的一半,圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为,所以底面正方形对角线长为2,所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为,所以四棱锥的高为=2,所以圆柱的高为1,所以圆柱的体积为V=π×()2×1=.
答案:
3.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,∠ABC为直角,且PA=AB=BC=2,则P-ABC的体积为　　　　.
解析:由题意知PA⊥平面ABC,∠ABC=,PA=AB=BC=2,所以= AB·BC=2,所以VP-ABC=S△ABC·PA=×2×2=.
答案:
4.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为　　　　.
解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,
则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.
依题意,三棱锥E-ADG的高为EG=,直三棱柱AGD-BHC的高为AB=1,
则AG===.
取AD的中点M,则MG=,
所以S△AGD=×1×=,
所以V多面体=++=2+=×××2+×1=.
答案:
折叠与展开问题
如图所示,圆台母线AB长为20 cm,上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳子长度的最小值.
解:如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥,连接MB′,在圆台的轴截面中,因为Rt△OPA∽Rt△OQB,
所以=,所以=,
所以OA=20(cm).
设∠BOB′=α,由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等,得2×10×π=OB·α,即20π=(20+20)·α,所以α=,所以在 Rt△B′OM中,B′M===50(cm),即所求绳子长度的最小值为50 cm.
求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开,画出其侧面展开图;
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题;
(3)结合已知条件求得结果.
[针对训练]如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　　　cm.
解析:由题意,若以BC为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 cm.若以BB1为折叠线展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是 cm,故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案:
如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为(　　)
A.3 B.
C.1 D.
解析:由题意可知,AD⊥平面B1DC1,
即AD为三棱锥A-B1DC1的高,且AD=×2=,
易求得=×2×=,
所以=××=1.故选C.
如图,已知多面体ABC-DEFG中,AB,AC,AD两两互相垂直,平面 ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为　　　　.
解析:因为几何体有两对相对面互相平行,如图所示,过点C作CH⊥DG于点H,连接EH,即把多面体分割成一个直三棱柱DEH-ABC和一个斜三棱柱BEF-CHG.
由题意,知=·AD=×2×1×2=2,V三棱柱BEF-CHG= S△BEF·DE=×2×1×2=2,故所求几何体的体积为V多面体ABC-DEFG=2+2=4.
答案:4
若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是,求圆锥的 体积.
解:设圆锥的底面半径为r,母线为l,则2πr=l,得l=6r.又S圆锥=πr2+πr·6r=7πr2=15π,得r=,圆锥的高为h===r=×=5,圆锥的体积为V=πr2h= π××5=π.
已知正三棱台(上、下底面是正三角形,上底面的中心在下底面的射影是下底面的中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm,侧棱长是 cm,试求该几何体的体积.
解:如图,O′,O分别是上、下底面的中心,连接OO′,O′B′,OB.在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于点E.
△A′B′C′是边长为2的等边三角形,O′是中心,
所以O′B′=×2×=(cm).
同理OB= cm,
则BE=OB-O′B′=(cm).
在Rt△B′EB中,BB′= cm,BE= cm,
所以B′E= cm,即三棱台的高为 cm,
所以三棱台的体积为V=××(×16+×4+)=(cm3).
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
空间几何体的几何特征、直观图 2,3,4 10
空间几何体的体积与表面积 1,5,6,8,9 12,13
折叠与展开问题 7 11
综合问题 14,15
1.《算术书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　C　)
A. B. C. D.
解析:V=πr2h=π·()2h=l2h.由≈,得π≈.故选C.
2.(多选题)(2021·山东潍坊调研)下列关于空间几何体的叙述正确的是(　CD　)
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
解析: A.当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,不正确;B.当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,不正确;C正确;D正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.故选CD.
3.(多选题)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(　AC　)
A.四棱柱 B.四棱台 C.三棱柱 D.三棱锥
解析:根据题图,因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC.
4.如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(　D　)
A.2+ B.1+
C.4+2 D.8+4
解析:由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形,如图所示.
由于O′D′=2,D′C′=2,
所以OD=4,DC=2,
在题图中过D′作D′H⊥A′B′(图略),易知A′H=2sin 45°=,
所以AB=A′B′=2A′H+DC=2+2,
故平面图形的面积为S=·AD=8+4.故选D.
5.(2021·山东聊城模拟)在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,DA⊥平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是(　C　)
A.96 B.72 C.64 D.58
解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥D-AGE,C-HBF和一个直三棱柱GAD -HBC.
这个羡除的体积为V=2×××2×6×4+×6×4×4=64.故选C.
6.(2021·河南郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱,已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面积为(　D　)
A.3π B. C. D.π
解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=1.
所以圆锥的母线为l===,因此S圆锥侧=πRl=1×π=π.故选D.
7.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1,路线为A→M→N→A1,则蚂蚁爬行的最短路程是(　A　)
A.　　　 B.
C. D.
解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b,宽为a,则其对角线AA1的长为最短路程,因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选A.
8.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是　　　　.
解析:如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,
则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,
所以r·l=2.
又圆锥的侧面展开图为半圆,
所以πl2=2π,
所以l=2,所以r=1.
答案:1
9.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.
解:法一　如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.
所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为V1=×8×6×3=72.
四棱锥D-MNEF的体积为V2=·S梯形MNEF·DN=××(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.
法二　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=·S△ABC·AA′=×24×8=96.
10.(多选题)(2021·山东烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(　ABD　)
A.圆面 B.矩形面
C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面
解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选ABD.
11.(多选题)(2021·湖北武汉模拟)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则(　BC　)
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3
D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2
解析:长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图1所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,如图2所示.
连接AC1,则有AC1==,即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时,A到C1的最短距离是;将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,如图3所示,连接AC1,则有AC1==3,即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是3;将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,如图4所示.
连接AC1,则有AC1==2,即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是2.因为3<2<,所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是3,C正确,D错误.故选BC.
12.(2021·重庆诊断)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,如图,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,
罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8 m,体积0.5 m3,其底部是直径为0.9 m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,气体每立方米1 000元,求气体的费用最少为(　B　)
A.4 500元 B.4 000元
C.2 880元 D.2 380元
解析:因为文物底部是直径为0.9 m的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长最少为0.9+2×0.3=1.5(m).又文物高1.8 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m),则正四棱柱的体积V=1.52×2=4.5(m3).因为文物的体积为0.5 m3,所以罩内气体的体积为4.5-0.5=4(m3).因为气体每立方米1 000元,所以气体的费用最少为4×1 000=4 000(元).故选B.
13.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　cm3.
解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=6××22×sin 60°=6(cm2),正六棱柱的体积为V1=6×2=12(cm3),圆柱的体积为V2=π×0.52×2=(cm3),所以此六角螺帽毛坯的体积为V=V1-V2=(12-)(cm3).
答案:(12-)
14.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则棱锥A-B1CD1与棱锥P-ABCD的体积之比是(　A　)
A.1∶4 B.3∶8 C.1∶2 D.2∶3
解析:如图,棱锥A-B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.
因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,所以棱锥B1-ABC的体积和棱锥D1-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的,棱锥C-PB1D1的体积与棱锥A-PB1D1的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的,则中间剩下的棱锥A-B1CD1的体积=VP-ABCD-3×VP-ABCD=VP-ABCD,则∶VP-ABCD=1∶4.故选A.
15.(2021·广东佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足△SAB为等边三角形,且面积为4,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为　　　　.
解析:设圆锥的母线长为l,由△SAB为等边三角形,且面积为4,所以l2sin =4,解得l=4.
又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.
又r2+h2=16,解得r=h=2,
所以圆锥的侧面积S=πrl=π·2×4=8π.
答案:8π

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