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第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义.
2.了解可以作为推理依据的基本事实和定理.
3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.四个基本事实
基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.
基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.
基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
2.用集合语言描述点、线、面间的关系
(1)点与平面的位置关系
点A在平面α内,记作 A∈α;点A不在平面α内,记作 A α.
(2)点与直线的位置关系
点A在直线l上,记作 A∈l;点A不在直线l上,记作A l.
(3)直线与平面的位置关系
直线l在平面α内,记作l α;直线l不在平面α内,记作 l α.
(4)平面α与平面β相交于直线a,记作 α∩β=a.
(5)直线l与平面α相交于点A,记作 l∩α=A.
(6)直线a与直线b相交于点A,记作 a∩b=A.
3.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或 夹角).
②范围:(0,].
(3)等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置 关系 图形语言 符号语言 公共点
直 线 与 平 面 相交 a∩α=A 1个
平行 a∥α 0个
在平 面内 a α 无数个
平 面 与 平 面 平行 α∥β 0个
相交 α∩β=l 无数个
1.基本事实的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.异面直线判定的一个方法
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m α,n α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　D　)
A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行
解析:依题意,m∩α=A,n α,所以m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行.故选D.
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(　C　)
A.一定是异面直线
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
解析:由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.故 选C.
3.已知平面α和直线l,则α内至少有一条直线与l(　C　)
A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面
解析:当直线l与平面α斜交时,在平面α内不存在与l平行的直线,所以A错误;当l α时,在平面α内不存在与l异面的直线,所以D错误;当l∥α时,在平面α内不存在与l相交的直线,所以B错误;无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直.故选C.
4.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中 点,则
(1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;
(2)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为正方形.
解析:(1)因为四边形EFGH为菱形,
所以EF=EH,所以AC=BD.
(2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH,因为EF∥AC,EH∥BD,且EF=AC,EH=BD,所以AC=BD且AC⊥BD.
答案:(1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD
平面的基本性质及应用
1.(多选题)下列命题中正确的有(　BCD　)
A.一条直线和一个点可以确定一个平面
B.经过两条相交直线,有且只有一个平面
C.过两条平行直线有且只有一个平面
D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点一定在两个平面的交线上
解析:对于A选项,当这个点在直线上时,无法确定一个平面,故A错误;对于B,C选项,均为基本事实的推论,故B,C正确;对于D选项,交点分别在两条直线上,也分别在两个平面内,必然在交线上,故D正确.故选BCD.
2.下列命题正确的是(　D　)
A.两个平面如果有公共点,那么一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面有3个公共点一定重合
D.过空间任意三点,一定有一个平面
解析:如果两个平面重合,则排除A,B两项;两个平面相交,则有一条交线,交线上任取三个点都是两个平面的公共点,故排除C项;而D项中的三点不论共线还是不共线,则一定能找到一个平面过这三个点.故选D.
3.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.
证明:(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.
在△BCD中,==,所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点 共面.
(2)因为EG∩FH=P,P∈EG,EG 平面ABC,所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC,
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,所以P,A,C三点共线.
1.判断、证明点或线共面问题的两种方法
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
2.判断、证明点共线问题的两种方法
(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上.
3.判断、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
空间两条直线的位置关系
　两条直线位置关系的判定
(1)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(　　)
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
(2)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　(填序号).
解析: (1)如图,取CD的中点F,DF的中点G,连接EF,FN,MG,GB,BD,BE.因为点N为正方形ABCD的中心,所以点N在BD上,且为BD的中点.因为△ECD是正三角形,所以EF⊥CD.因为平面ECD⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,所以EF⊥FN.不妨设AB=2,则FN=1,EF=,所以EN==2,因为M,G分别是ED,DF的中点,所以MG∥EF,所以MG⊥平面ABCD,所以MG⊥BG.MG=EF=,BG== =,所以BM==,所以BM≠EN.因为BM,EN都是△DBE的中线,所以BM,EN必相交.故选B.
(2)①中GH∥MN;③中GM∥HN且GM≠HN,所以直线GH与MN必相交;②④中直线GH与MN是异面直线.
答案:(1)B　(2)②④
在直接判断不好处理的情况下,反证法、模型法(如构造几何体:正方体、空间四边形等)和特例排除法是解决此类问题的三种常用便捷 方法.
　异面直线所成的角
(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2021·山东青岛模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
解析:(1)法一　如图,补上一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1,连接DE1,B1E1.易知AD1∥DE1,则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角(或其补角).因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以DE1===2,DB1==,B1E1===,在△B1DE1中,由余弦定理,得 cos∠B1DE1==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.
法二　如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角(或其补角).因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以AD1==2,DM==,DB1==, 所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.
(2)连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角).连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故cos∠A1BC1==,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步曲:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角;
④其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解.
[针对训练]
1.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的对数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.故选C.
2.正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角的大小是　　　　.
解析:如图所示,连接A1B,可知A1B∥E1D,所以∠A1BC1是异面直线E1D与BC1所成的角(或其补角).连接A1C1,可求得A1C1=C1B=BA1=,所以∠A1BC1=60°,即侧面对角线E1D与BC1所成的角是60°.
答案:60°
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
解析:法一　如图所示,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD- A1B1C1D1,连接AD1,B1D1,则AD1∥BC1,所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.因为∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,所以AB1=,AD1=.在△B1D1C1中,∠B1C1D1=60°,B1C1=1,D1C1=2,所以B1D1==,所以cos∠B1AD1==.故选C.
法二　如图,设M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点,连接MN,NP,MP,则MN∥AB1,NP∥BC1,所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.易知MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中点Q,连接PQ,MQ,可知△PQM为直角三角形,PQ=1,MQ=AC.在△ABC
中,AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+1-2×2×1×(-)=7,所以AC=,MQ=.在
Rt△MQP中,PM==,则在△PMN中,cos∠PNM= ==-,所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.故选C.
如图,三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),设α为异面直线EF和AC所成的角,β为异面直线EF和BD所成的角,试求α+β的值.
解:过点F作MF∥BD,交BC于点M,连接ME,
则CM∶MB=CF∶FD=m,
又因为AE∶EB=CF∶FD=m,
所以CM∶MB=AE∶EB,
所以EM∥AC,
所以α=∠MEF,β=∠MFE,
异面直线AC与BD所成的角为∠EMF,
因为AC⊥BD,所以∠EMF=90°,
所以α+β=90°.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
平面的基本性质及应用 2,3,4,9
空间两条直线的位置关系 1,5,6,7,8
综合问题 10,11,12,13 14,15
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　C　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C为所求的角,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.故选C.
2.a,b,c是两两不同的三条直线,下列四个命题中,真命题是(　C　)
A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面
B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交
C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.
3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或 3个平面.其中正确的序号是(　B　)
A.① B.①④ C.②③ D.③④
解析:①显然正确;②错误,三条平行直线可能确定1个或3个平面;③若三个点共线,则两个平面相交,故③错误;④显然正确.故选B.
4.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是(　C　)
A.直线AC B.直线AB
C.直线CD D.直线BC
解析:由题意知,D∈l,l β,所以D∈β,
又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,
所以点D在平面ABC与平面β的交线上.
又因为C∈平面ABC,C∈β,
所以点C在平面β与平面ABC的交线上,
所以平面ABC∩平面β=CD.故选C.
5. (2021·甘肃兰州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为BC的中点,点F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　B　)
A. B.
C. D.
解析:不妨设正方体的棱长为1,取A1D1的中点G,连接AG,FG(图略),易知GA∥C1E,则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角.在△AFG中,AG==,AF==,FG=1,于是 cos∠FAG==.故选B.
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,O为CD上的动点,恒为定值,且 △PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是　　　　.
解析:因为为定值,所以S△ABO为定值,即O到AB的距离为定值.
因为O为CD上的动点,所以CD∥AB,
所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角.
因为△PDC为正三角形,所以∠PDC=60°.
所以直线PD与直线AB所成的角为60°.
答案:60°
7.已知AE是长方体ABCD-EFGH的一条棱,则在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱共有　　　　条.
解析:如图,作出长方体ABCD-EFGH.
在这个长方体的十二条棱中,与AE异面且垂直的棱有GH,GF,BC,CD,共4条.
答案:4
8.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点.若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成角的大小为　　　　.
解析:如图,设G为AD的中点,连接GF,GE,则GF,GE分别为△ABD, △ACD的中位线.
由此可得GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2,
所以∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角.
又因为EF⊥AB,GF∥AB,所以EF⊥GF,
因此,在Rt△EFG中,GF=1,GE=2,
sin∠FEG==,可得∠FEG=30°,
所以EF与CD所成角的大小为30°.
答案:30°
9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点. 求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥A1B.
又因为A1B∥CD1,
所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE 平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.
10.(多选题)(2021·北京通州区一模)设点B为圆O上任意一点,AO垂直于圆O所在的平面,且AO=OB,对于圆O所在平面内任意两条相互垂直的直线a,b,有下列结论,正确的有(　BC　)
A.当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角
B.当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角
C.直线AB与a所成角的最小值为45°
D.直线AB与a所成角的最小值为60°
解析:如图,AO=OB,直线a⊥b,点D,M分别为BC,AC的中点,则∠ABC为直线AB与a所成的角,∠MDO为直线AB与b所成的角.设AO=OB=1,若∠ABC=60°,则OM=OD=MD,所以∠MDO=60°,故B正确,A不正确;因为AB与圆O所在平面所成的角为45°,即直线AB与平面内所有直线所成的角中的最小角为45°,所以直线a与AB所成角的最小值为45°,故C正确,D不正确.故选BC.
11.四面体ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,则EF的长为　　　　.
解析:如图,取BC的中点O,连接OE,OF,因为OE∥AC,OF∥BD,
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角,而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=.
当∠EOF=120°时,取EF的中点M,则OM⊥EF,
EF=2EM=2×=.
答案:或
12.如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角的大小.
(1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以点A,B,C,D在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线.
(2)解:取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,
所以相交直线EF与EG所成的角(或其补角),即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD,则FG⊥EG.
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,
求得∠FEG=45°,
即EF与BD所成的角为45°.
13.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.
(1)证明:E,F,G,H四点共面;
(2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形
(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD.试证明:
EG=FH.
(1)证明:因为AE∶EB=AH∶HD,
所以EH∥BD.
又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD.
所以EH∥FG,
所以E,F,G,H四点共面.
(2)解:当EH∥FG,且EH=FG时,四边形EFGH为平行四边形.
因为==,所以EH=BD.
同理可得FG=BD,由EH=FG,得m=n,
故当m=n时,四边形EFGH是平行四边形.
(3)证明:当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又EH∥BD,所以 ∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角),因为AC⊥BD,所以∠FEH=90°,从而平行四边形EFGH为矩形,所以EG=FH.
14.(多选题)(2021·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是线段BC1上的动点,则下列说法正确的是(　ABC　)
A.无论点F在线段BC1上怎么移动,都有A1F⊥B1D
B.当F为BC1的中点时,才有A1F与B1D相交于一点,记为点E,且=2
C.无论点F在线段BC1上怎么移动,异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°
D.当F为BC1的中点时,直线A1F与平面BDC1所成的角最大,且为60°
解析:对于A选项,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C1,A1B(图略),易知B1D⊥平面A1BC1,又A1F 平面A1BC1,所以A1F⊥B1D,故A正确;对于B选项,如图,当F为BC1的中点时,连接B1C,A1D,B1C与BC1交于点F,
A1F与B1D共面于平面A1B1CD,且必相交,交点为E,易知△A1DE∽△FB1E,所以==2,故B正确;对于C选项,点F从点B移至点C1,异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大,当F为BC1的中点时,异面直线A1F与CD所成的角最小,此时该角的正切值为,最小角大于30°,故C正确;对于D选项,点F从点B移至点C1,直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小,当F为BC1的中点时,设点O为A1在平面BDC1上的射影,连接OF(图略),则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为==,则最大角大于60°,故D错误.故选ABC.
15.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面 为什么
(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GHAD.又BCAD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)解:因为BEFA,G为FA的中点,所以BEFG,
所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.
由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.

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