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第1节　直线与方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算 公式.
2.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
5.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).
2.斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α(α≠90°),则斜率k=tan α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和 直线y=y1(y1≠y2)
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0, A2+B2≠0 平面内所有直线都适用
(1)“截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断,截距是否为0,若不确定,则需分类讨论.
(2)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
4.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2 k1=k2.
(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2 k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点坐标
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
5.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.
(1)应用点到直线的距离公式时应将方程化为最简的一般形式.
(2)应用两条平行线间的距离公式时应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R且m≠C).
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).
(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括l2.
2.两直线平行的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要条件是A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.
3.两直线垂直的充要条件
直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.
1.经过点A(8,-2),斜率为-的直线方程为(　D　)
A.x-2y-12=0 B.x+2y+4=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y-4=0
解析:由题意,直线过点A(8,-2),
且斜率为-,
根据直线的点斜式方程,
可得y-(-2)=-(x-8),
即x+2y-4=0.故选D.
2.(选择性必修第一册P57习题T3改编)直线l:xsin 30°+ycos 150°+a=0的斜率为(　A　)
A. B. C.- D.-
解析:cos 150°=-,sin 30°=,
所以k=-=.故选A.
3.已知直线l平分圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的周长,且直线l不经过第三象限,则直线l的倾斜角θ的取值范围为(　A　)
A.[90°,135°] B.[90°,120°]
C.[60°,135°] D.[90°,150°]
解析:圆C:x2+y2-6x+6y+2=0的标准方程为(x-3)2+(y+3)2=16,
故直线l过圆C的圆心(3,-3).
因为直线l不经过第三象限,
结合图象可知,tan θ≤-1,θ∈[90°,135°].故选A.
4.(选择性必修第一册P72练习T2改编)直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m=　　　　;若l1⊥l2,则m=　　　　.
解析:若l1∥l2,则有=≠,
故m=2或-3.
若l1⊥l2,2m+(m+1)×3=0,
解得m=-.
答案:2或-3　-
5.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是　　　　.
解析:先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,
则两平行线间的距离为d==.
答案:
直线的倾斜角与斜率
1.直线xsin α+y+2=0的倾斜角的取值范围是(　B　)
A.[0,π) B.[0,]∪[,π)
C.[0,] D.[0,]∪(,π)
解析:设直线的倾斜角为θ,则有tan θ=-sin α.
因为sin α∈[-1,1],
所以-1≤tan θ≤1.
又θ∈[0,π),
所以0≤θ≤或≤θ<π.
故选B.
2. 若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则(　D　)
A.k1B.k3C.k3D.k1解析:因为l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以03.若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为　　　　.
解析:因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,
所以a-3=1,即a=4.
答案:4
4.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　　　.
解析:如图,因为kAP==1,
kBP==-,
所以直线l的斜率k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
答案:(-∞,-]∪[1,+∞)
1.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调性,当α取值在[0,),即由0增大到(α≠)时,k由0增大到+∞,当α取值在(,π),即由(α≠)增大到π(α≠π)时,k由-∞增大到0.
2.斜率的两种求法
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
直线方程
(1)(多选题)若直线l过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为(　　)
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
(2)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是(　　)
A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0
(3)经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量v=(-3,2)的直线方程为　　　　　　　.
解析:(1)当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0.综上,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.故选ABC.
(2)设直线l的倾斜角为α,则tan α=k=2,
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°,
所得直线的斜率k′=tan(α+)==-3.
又点M(2,0),
所以y=-3(x-2),即3x+y-6=0.故选D.
(3)联立解得x=1,y=1,
又直线的方向向量v=(-3,2),
所以直线的斜率k=-,
则直线方程为y-1=-(x-1),
即2x+3y-5=0.
答案:(1)ABC　(2)D　(3)2x+3y-5=0
在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况(或者直接设为x-x0= m(y-y0),m∈R).
[针对训练]
根据所给条件求直线的方程:
(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
(2)直线过点(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;
(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5;
(4)直线过点(2,1)和(-2,3).
解:(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sin α=(0<α<π),
从而cos α=±,
则k=tan α=±.
故所求直线方程为y=±(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a.
若a=0,即l过(0,0)及(4,1)两点,
所以l的方程为y=x,
即x-4y=0.
若a≠0,则设l的方程为+=1,
因为l过点(4,1),
所以+=1,
所以a=5,
所以l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;
当斜率存在时,设其为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式,得=5,
解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
(4)由两点式得直线方程为=,
即x+2y-4=0.
两条直线的平行与垂直
1.已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于(　D　)
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
解析:法一　因为直线l1:(a-1)x+2y+1=0的斜率存在,且l1∥l2,
所以=-,
所以a=-1或a=2.
又因为两条直线在y轴上的截距不相等,
所以a=-1或a=2时满足两条直线平行.
法二　由A1B2-A2B1=0得,(a-1)a-2×1=0,
解得a=-1或a=2.
由A1C2-A2C1≠0,得(a-1)×3-1×1≠0,即a≠.
所以a=-1或a=2.
故选D.
2.已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1⊥l2,则a等于(　B　)
A.2或 B.或-1
C. D.-1
解析:因为直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1⊥l2,
所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,
解得a=或a=-1.故选B.
3.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　.
解析:由方程组
解得
即交点为(-,),
因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,
所以所求直线的斜率为k=.
由点斜式得所求直线方程为y-=(x+),
即4x-3y+9=0.
答案:4x-3y+9=0
1.当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.
2.在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
距离问题
(1)若两平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny-6=0之间的距离是,则2m+n等于(　　)
A.0 B.1 C.-2 D.-1
(2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为　　　　.
解析:(1)因为l1∥l2,
所以1×n=2×(-2),1×(-6)≠2m,
解得n=-4,m≠-3,
所以l2:x-2y-3=0.
又l1,l2之间距离是,
所以=,
解得m=2或m=-8(舍去),
所以2m+n=0.
故选A.
(2)当AB∥l时,有k=kAB=-,
直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4),
所以直线l的方程为x=-1.
故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
答案:(1)A　(2)x+3y-5=0或x=-1
1.点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式.
2.两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两平行线间的距离公式.
[针对训练]
(1)(2021·山西太原期中)已知直线l1:mx+y-3=0与直线l2:x-y-m=0平行,则它们之间的距离是(　　)
A.2 B.4
C. D.2
(2)已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是　　　　.
解析:(1)因为直线l1:mx+y-3=0与直线l2:x-y-m=0平行,
所以=≠,
解得m=-1.
所以直线l1的方程为x-y+3=0,直线l2的方程为x-y+1=0.
由平行直线间的距离公式,得d===.故选C.
(2)由题意得,点P到直线的距离为
=.
又≤3,
即|15-3a|≤15,
解得0≤a≤10,
所以a的取值范围是[0,10].
答案:(1)C　(2)[0,10]
对称问题(应用性)
(1)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为(　　)
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
(2)直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则点M关于直线2x+3y-6=0对称的点N的坐标为　　　　.
(3)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为　　　　.
(4)直线l与直线2x+y+3=0关于y轴对称,则直线l的方程为　 　.
解析:(1)由ax+y+3a-1=0,
可得a(x+3)+(y-1)=0,
令可得x=-3,y=1,
所以点M(-3,1)不在直线2x+3y-6=0上.
设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+C=0(C≠-6),
则=,
解得C=12或C=-6(舍去),
所以所求直线方程为2x+3y+12=0.故选D.
(2)直线ax+2y+3a-1=0化为a(x+3)+y-1=0,
所以该直线恒过定点M(-3,1).
设点M关于直线2x+3y-6=0的对称点N的坐标为(x0,y0),
则有
解得故点N的坐标为(-,).
(3)设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,
所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.
(4)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y),
所以直线2x+y+3=0关于y轴对称的直线l:2x-y-3=0.
答案:(1)D　(2)(-,)　(3)x+4y-4=0　(4)2x-y-3=0
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中点在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.
[针对训练]
(1)直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是(　　)
A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0
C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0
(2)如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是(　　)
A.3 B.6
C.2 D.2
解析:(1)设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由
得
由点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,
则2(y-2)-(x+2)+3=0,
即x-2y+3=0.
故选A.
(2)直线AB的方程为x+y=4,点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线经过的路程为|CD|= =2.故选C.
直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.[0,] B.[,π)
C.[0,]∪(,π) D.[,)∪[,π)
解析:依题意,直线的斜率k=-∈[-1,0),因此其倾斜角的取值范围是[,π).故选B.
若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y等于(　　)
A.-1 B.-3 C.0 D.2
解析:由k==tan=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.
已知直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直,垂足为(t,1),则n的值为(　　)
A.7 B.9 C.11 D.-7
解析:由直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直得,20-2m=0,即m=10.
直线4x+10y-6=0过点(t,1),
所以4t+10-6=0,即t=-1.
点(-1,1)又在直线5x-2y+n=0上,
所以-5-2+n=0,即n=7.故选A.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
直线的倾斜角与斜率 1,2
直线方程 5,8,9
两条直线的位置关系 3,4,6 11 15
距离问题 7 10,12,14
对称问题 13
1.直线x+y+1=0的倾斜角是(　D　)
A. B.
C. D.
解析:由直线的方程得直线的斜率为k=-,
设倾斜角为α,则tan α=-.
又α∈[0,π),
所以α=.
故选D.
2.若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于(　A　)
A.1±或0 B.或0
C. D.或0
解析:由题意知kAB=kAC,
即=,
即a(a2-2a-1)=0,
解得a=0或a=1±.
故选A.
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是(　B　)
解析:由题意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.故选B.
4.(2021·福建漳州高三模拟)已知a2-3a+2=0,则直线l1: ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为(　D　)
A.垂直或平行 B.垂直或相交
C.平行或相交 D.垂直或重合
解析:因为a2-3a+2=0,
所以a=1或a=2.
当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,
k1=-,k2=2,
所以k1·k2=-1,则两直线垂直;
当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,则两直线重合.故选D.
5.若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　C　)
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:将(1,1)代入直线+=1,
得+=1,a>0,b>0,
故a+b=(a+b)(+)=2++≥2+2=4,等号当且仅当a=b时取到.故选C.
6.(多选题)(2021·山东模拟)若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0, l3:x+y+a=0不能围成三角形,则(　ABC　)
A.a=1 B.a=-1
C.a=-2 D.a=2
解析:①当a=1时,直线l1,l2,l3重合,不能构成三角形,符合题意.
②当a≠1时,若三条直线交于一点,则也不能构成三角形.由得直线l2,l3的交点坐标为(-a-1,1).代入直线l1的方程ax+y+1=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去),符合题意.
③三条直线中有两条平行或重合,若l1和l3平行或重合,则a=1;若l2和l3平行或重合,则a=1;若l1和l2平行或重合,则-a=-,得a=±1,符合题意.综上,可得实数a所有可能的值为-1,1,-2.故选ABC.
7.已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为(　B　)
A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0
C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0
解析:设A(x0,y0),依题意可得
解得即A(-1,1).
设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,
当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB.
又-=,
所以直线l2的方程为y-1=(x+1),
即3x-2y+5=0.
故选B.
8.已知直线l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点　　　　.
解析:直线l的方程变形为a(x+y)-2x+y+6=0,
由
解得x=2,y=-2,
所以直线l恒过定点(2,-2).
答案:(2,-2)
9.菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
(1)AD边所在直线的方程;
(2)对角线BD所在直线的方程.
解:(1)kBC==2,
因为AD∥BC,
所以kAD=2.
所以AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),
即2x-y+15=0.
(2)kAC==-,
因为菱形的对角线互相垂直,
所以BD⊥AC,
所以kBD=.
因为AC的中点(1,1),也是BD的中点,
所以对角线BD所在直线的方程为
y-1=(x-1),
即5x-6y+1=0.
10.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(　A　)
A. B. C.2 D.2
解析:联立解得x=1,y=2,
把(1,2)代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,
即m=-5-2n.
点(m,n)到原点距离d===≥.
当n=-2,m=-1时取“=”.故选A.
11.与直线x-2y+3=0平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是　　　　.
解析:设所求直线方程为x-2y+λ=0,令x=0,得y=;令y=0,得x=-λ,由题意得×||·|-λ|=4,解得λ=±4.
答案:x-2y±4=0
12.两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是　　　　.
解析:因为l1∥l2,且P∈l1,Q∈l2,
所以l1,l2间的最大距离为
|PQ|==5.
又l1与l2不重合,
所以l1,l2之间距离的取值范围是(0,5].
答案:(0,5]
13.已知直线l:3x-y+3=0,求:
(1)点P(4,5)关于l的对称点;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程;
(3)直线l关于点(1,2)对称的直线方程.
解:(1)设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P′(x′,y′).
因为kPP′·kl=-1,即×3=-1.①
又PP′的中点在直线3x-y+3=0上,
所以3×-+3=0.②
由①②得
把x=4,y=5代入③④得x′=-2,y′=7,
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(-2,7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x,y,
得关于l对称的直线方程为--2=0,
化简得7x+y+22=0.
(3)在直线l:3x-y+3=0上取点M(0,3),
关于(1,2)的对称点M′(x′,y′),
所以=1,x′=2,=2,y′=1,
所以M′(2,1).
直线l关于点(1,2)的对称直线平行于l,
所以k=3,
所以对称直线方程为y-1=3×(x-2),
即3x-y-5=0.
14.已知点P(2,-1).
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程;
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,并求出最大距离;
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知得=2,
解得k=.
此时直线l的方程为3x-4y-10=0.
综上可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.
由l⊥OP,得kl·kOP=-1,
因为kOP=-,
所以kl=-=2.
由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),
即2x-y-5=0.
所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.
(3)由(2)可知,过点P不存在到原点的距离超过的直线,因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.
15.如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y=(x+1)上从左向右依次取点Ak,Bk(k=1,2,…,其中A1是坐标原点),使△AkBkAk+1是等边三角形,则△A10B10A11的边长是　　　　.
解析:直线y=(x+1)的倾斜角为30°,与x轴的交点为P(-1,0).
又△A1B1A2是等边三角形,
所以∠PB1A2=90°,
所以等边△A1B1A2的边长为1,
且A2B1∥A3B2∥…∥A10B9,A2B1与直线y=(x+1)垂直,故△A2B1B2, △A3B2B3,△A4B3B4,…,△A10B9B10均为直角三角形,且依次得到A2B2=2, A3B3=4,A4B4=8,A5B5=16,A6B6=32,A7B7=64,A8B8=128,A9B9=256,A10B10=512,
故△A10B10A11的边长是512.
答案:512

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