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第1节　数列的概念
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1.数列的概念及分类
(1)定义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
项 数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项
表示 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}
(2)分类
①项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
②从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,各项都相等的数列叫做常数列.
(3)数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).另一方面,对于函数y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意义,那么f(1),f(2),…,f(n),…构成了一个数列{f(n)}.
(4)数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.通项公式就是数列的函数解析式,根据通项公式可以写出数列的各项.
3.数列的递推公式与前n项和公式
递推 公式 一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的递推公式
前n项 和定义 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an
前n项 和公式 数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫做这个数列的前n项和公式
4.数列中an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=
1.(选择性必修第二册P8习题4.1T3改编)数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是(　A　)
A.an= B.an=
C.an= D.an=
解析:数列为,,,,,…,其分母为2,分子是首项为1,公差为5的等差数列,故通项公式为an=.故选A.
2.(选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+
(n≥2),则a4=(　B　)
A. B. C. D.
3.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=n2,则an=　　　　;若Sn=n2+1,则an=　　　　.
解析:若Sn=n2,则当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
当n=1时满足上式,所以an=2n-1.
若Sn=n2+1,当n=1时,a1=S1=2.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,
当n=1时不满足上式,
故an=
答案:2n-1　
4.已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　.
解析:因为{an}是递增数列,
所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)
因为n≥1,
所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:(-3,+∞)
5.在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,
n=　　　　.
解析:由题可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,得1≤n≤7(n∈N*),
所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=S7且最大.
答案:6或7
由an与Sn的关系求通项公式
1.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　.
解析:因为Sn=2an+1,
所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),
所以an=2an-1,
所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,
所以an=-2n-1,
所以S6==-63.
答案:-63
2.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=　　　　.
解析:当n=1时,由已知,可得a1=21=2,
因为a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①
故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②
由①-②,得nan=2n-2n-1=2n-1,
所以an=(n≥2).
显然当n=1时不满足上式,
所以an=
答案:
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　.
解析:因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
所以Sn+1-Sn=SnSn+1.
因为Sn≠0,
所以-=1,即-=-1.
又=-1,
所以数列{}是首项为-1,公差为-1的等差数列.
所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,
所以Sn=-.
答案:-
已知Sn求an的常用方法是利用
an=一定要检验a1的情况.
由递推关系求通项公式
　累加法——形如an+1-an=f(n),求an
设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　.
解析:由题意得a2-a1=2,a3-a2=3,…,
所以an-an-1=n(n≥2).
以上各式相加,得
an-a1=2+3+…+n==.
因为a1=1,
所以an=(n≥2).
因为当n=1时也满足此式,
所以an=.
答案:an=
当出现an+1=an+f(n)时,用累加法求解.即利用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1
求解.
　累乘法——形如=f(n),求an
设数列{an}中,a1=2,an+1=an,则an=　　　　.
解析:因为an+1=an,a1=2,
所以an≠0,
所以=.
所以当n≥2时,
an=···…···a1
=···…·×2
=.
a1=2也符合上式,
则an=.
答案:
当出现=f(n)时,用累乘法求解.
即利用an=···…···a1求解.
　构造等差法——形如an+1=(A,B,C为常数),求an
已知数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=　　　　.
解析:因为an+1=,a1=2,
所以an≠0,
所以=+,即-=,
又a1=2,则=,
所以数列{}是以为首项,为公差的等差数列.
所以=+(n-1)×=.
所以an=.
答案:
形如an+1=(A,B,C为常数),将其变形为=·+.
(1)若A=C,则{}是等差数列,且公差为,可直接用公式求通项公式.
(2)若A≠C,则采用待定系数法,构造新数列求解.
　构造等比法——形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0),求an
已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.
解析:因为an+1=3an+2,
所以an+1+1=3(an+1),
所以=3,
所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,
又a1+1=2,
所以an+1=2·3n-1,
所以an=2·3n-1-1.
答案:an=2·3n-1-1
对于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1,B≠0),通常采用待定系数法将其转化为an+1+x=A(an+x),先求出x,再借助等比数列{an+x}求解.
[针对训练]
根据下列条件,求数列{an}的通项公式.
(1)a1=2,an+1=an+ln(1+);
(2)a1=,an=an-1(n≥2);
(3)a1=,an+1=an+()n+1;
(4)a1=1,an=(n≥2).
解:(1)因为an+1=an+ln(1+),
所以an+1-an=ln,
所以an-an-1=ln(n≥2),
an-1-an-2=ln,…,a2-a1=ln(n≥2).
所以an-a1=ln+ln+…+ln=ln n(n≥2),
即an=ln n+2(n≥2).
又a1=2,
所以an=ln n+2.
(2)因为an=an-1(n≥2),
所以当n≥2时,=,
所以=,…,=,=,
以上n-1个式子相乘得··…··=··…·×,
即=·×2×1,
所以an=.
当n=1时,a1==,也与已知a1=相符,
所以数列{an}的通项公式为an=.
(3)在an+1=an+()n+1两边分别乘以2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,
根据待定系数法,得bn+1-3=(bn-3).
所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列.
所以bn-3=-·()n-1,
即bn=3-2()n.
于是,an==3()n-2()n.
(4)取倒数,得==3+(n≥2).
所以数列{}是等差数列,=+3(n-1)=1+3(n-1) an=.
数列的性质及其应用
　数列的周期性
数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.
解析:由an+1=,得an=1-,
因为a8=2,
所以a7=1-=,
a6=1-=-1,a5=1-=2,…,
所以{an}是以3为周期的数列,
所以a1=a7=.
答案:
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
　数列的单调性
已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
解析:因为an+1-an=-=,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1-an=<0,
所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,
所以k∈(0,+∞).故选D.
解决数列单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
　求数列中的最大(小)项
已知数列{an}的通项公式为an=n()n,则数列{an}中的最大项为(　　)
A. B.
C. D.
解析:an+1-an=(n+1)()n+1-n()n=·()n,
当n<2时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=2时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>2时,an+1-an<0,即an+1所以a1a4>a5>…>an,
所以数列{an}中的最大项为a2或a3,
且a2=a3=2×()2=.故选A.
求数列最大项或最小项的方法
(1)可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项.
(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.
[针对训练]
(1)若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 022的值为(　　)
A.2 B.-3 C.- D.
(2)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}中的最大项为(　　)
A.3 B.19
C. D.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且an=2n+λ,若数列{Sn}(n≥7,n∈N*)为递增数列,则实数λ的取值范围为　.
解析:(1)因为a1=2,an+1=,
所以a2==-3,
同理可得a3=-,a4=,a5=2,a6=-3,a7=-,a8=,…,可得an+4=an,
则a2 022=a505×4+2=a2=-3.故选B.
(2)由题意得an=,运用基本不等式得≤=,当且仅当n2=90时等号成立,结合n∈N*,可知a9=a10=最大.故选C.
(3)当n≥7时,数列{Sn}为递增数列,设Sn+1>Sn,即Sn+1-Sn=an+1>0,
所以an+1=2(n+1)+λ>0,则λ>-2n-2.
又因为n≥7,
所以-2n-2≤-16,即λ>-16.
答案:(1)B　(2)C　(3)(-16,+∞)
已知n∈N*,给出4个表达式:①an=②an=,③an=,④an=|sin|,其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是(　　)
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
解析:选A.
已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7=(　　)
A.53 B.54 C.55 D.109
解析:由题意知,a2=a1+2×2,a3=a2+2×3,…,a7=a6+2×7,各式相加得a7=a1+2×(2+3+4+…+7)=55.故选C.
在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17等于(　　)
A.-15×216 B.15×217
C.-16×216 D.16×217
解析:因为an+1=2an-2n,
所以-=-,
所以数列{}是等差数列,公差为-,首项为=,
所以=-(n-1)=,
所以an=(2-n)·2n-1,
所以a17=-15×216.故选A.
若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是(　　)
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
解析:因为Sn=n2-10n,
所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-11;
当n=1时,a1=S1=-9也适合上式.
所以an=2n-11(n∈N*).
记f(n)=nan=n(2n-11)=2n2-11n,
此函数图象的对称轴为直线n=,但n∈N*,
所以当n=3时,f(n)取最小值.
所以数列{nan}中数值最小的项是第3项.
故选B.
知识点、方法 基础巩固练 综合运 用练 应用创新练
由数列的前几项归纳通项公式 1,7
an与Sn的关系 4,8,9
数列的递推关系 2,3 11
数列的性质 5,6 13
综合问题 10,12,14 15
1.若数列的前4项分别是,-,,-,则此数列的一个通项公式为(　A　)
A. B.
C. D.
2.若数列{an}满足a1=1,an+1-an-1=2n,则an等于(　A　)
A.2n+n-2 B.2n-1+n-1
C.2n+1+n-4 D.2n+1+2n-2
解析:因为an+1-an=2n+1,
所以a2-a1=21+1,a3-a2=22+1,a4-a3=23+1,…,an-an-1=2n-1+1(n≥2),
以上各式相加得an-a1=21+…+2n-1+(n-1)=+n-1=2n+n-3.
所以an=2n+n-2.
故选A.
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=-2an+1(n∈N*),则a2 022等于(　B　)
A.1 B.0
C.2 022 D.-2 022
解析:因为a1=1,
所以a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,…,可知数列{an}是以2为周期的数列,
所以a2 022=a2=0.故选B.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),则a10等于(　B　)
A.128 B.256
C.512 D.1 024
解析:因为Sn+1=2Sn-1(n∈N*),
n≥2时,Sn=2Sn-1-1,
所以an+1=2an.
n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.
所以数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.
则a10=a2×28=1×28=256.
故选B.
5.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)()n,则数列{an}中的最大项可以是(　AB　)
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
解析:假设an最大,则有
即
所以
即6≤n≤7,
所以最大项为第6项和第7项.故选AB.
6.设数列{an}的通项公式为an=n2-bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是(　C　)
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.(-∞,3) D.(-∞,]
解析:因为数列{an}是单调递增数列,
所以an+1-an=2n+1-b>0(n∈N*),
所以b<2n+1(n∈N*),
所以b<(2n+1)min=3,
即b<3.故选C.
7.已知数列,,,,,…,根据前3项给出的规律,实数对(m,n)为　　　　.
解析:由数列的前3项的规律可知
解得
故实数对(m,n)为(,).
答案:(,)
8.若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列{an}的通项公式an=　　　　.
解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an=
答案:
9.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,
解得a2=3a1=3.
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=
an-an-1,
整理得=,
因此··…··=··…·×,
化简得an=·a1=,
当n=1时,a1=1满足上式,
所以{an}的通项公式为an=(n∈N*).
10.设数列{an}中a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1与a2n+2-a2n+1=a2n,则数列{an}的前12项的和为(　C　)
A.364 B.728
C.907 D.1 635
解析:数列{an}中a1=a2=1,且满足a2n+1=3a2n-1,
则a3=3a1=3,a5=3a3=9,a7=3a5=27,a9=3a7=81,a11=3a9=243.
由于a2n+2-a2n+1=a2n,
所以a2n+2=a2n+1+a2n,
故a4=a3+a2=4,a6=a5+a4=13,a8=a7+a6=40,a10=a9+a8=121,a12=a11+a10=364,
所以数列{an}的前12项的和为1+1+3+4+9+13+27+40+81+121+243+
364=907.
故选C.
11.已知数列{an}满足=2,a1=20,则的最小值为(　C　)
A.4 B.4-1
C.8 D.9
解析:由an+1-an=2n知a2-a1=2×1,a3-a2=2×2,…,an-an-1=2(n-1),n≥2,
以上各式相加得an-a1=n2-n,n≥2,
所以an=n2-n+20,n≥2,
当n=1时,a1=20符合上式,
所以=n+-1,n∈N*,
所以n≤4时单调递减,n≥5时单调递增,
因为=,
所以的最小值为==8.故选C.
12.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图),其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,记OA1,OA2,OA3,…,OA8的长度构成的数列为{an}(n∈N*,n≤8),则{an}的通项公式an=　　　　.(n∈N*,n≤8)
解析:根据题意OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,
所以=+1(n≥2)且=1,
所以{}是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以=n,an=.
答案:
13.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数 n为何值时,an有最小值 并求出最小值;
(2)若对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
解:(1)由n2-5n+4<0,解得1因为n∈N*,
所以n=2,3,
所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
因为an=n2-5n+4=(n-)2-,
由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.
(2)由an+1>an可得(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,
整理得k>-2n-1,且对任意的n∈N*恒成立,
所以k∈(-3,+∞),
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).
14.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)
an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求实数λ的取值范围.
解:(1)因为2Sn=(n+1)an,
所以2Sn+1=(n+2)an+1,
所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,
即nan+1=(n+1)an,
所以=,
所以==…==1,
所以an=n(n∈N*).
(2)由(1)得,bn=3n-λn2.
bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)
=2·3n-λ(2n+1).
因为数列{bn}为递增数列,
所以2·3n-λ(2n+1)>0,
即λ<.
令cn=,
则=·=>1.
所以数列{cn}为递增数列,
所以λ即实数λ的取值范围为(-∞,2).
15.大衍数列来源于中国古代著作《乾坤谱》中对《易·系辞上》“大衍之数五十”的推论,其前10项为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,通项公式an=如果把这个数列{an}排成如图所示的形状,并记A(m,n)表示第m行中从左向右第n个数,那么A(10,4)的值为　　　　.
解析:由题意可知,前9行共有1+3+…+17==81项,
所以A(10,4)为数列的第85项,
所以A(10,4)的值为=3 612.
答案:3 612

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