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第2节　等差数列及其前n项和
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数.
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a与b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于d的一次函数.
(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.当d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn=n2+(a1-)n是关于n的二次函数(没有常数项).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d.
(1)若{an}为等差数列,则m+n=p+q是am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)的充分不必要条件.
(2)等差数列的前n项和为Sn,当公差d=0时,Sn=na1不是关于n的二次函数.
1.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
2.若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则=.
3.若{an}是等差数列,则{}也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的.
4.若等差数列{an}的项数为偶数2n,则
(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
(2)S偶-S奇=nd,=.
5.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则
(1)S2n+1=(2n+1)an+1;
(2)=.
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a5=10,则a6=(　B　)
A.8 B.12 C.14 D.16
解析:a5=a2+3d,
所以d=2,
所以a6=a2+4d=12.
故选B.
2.已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　D　)
A.-3 B.-2 C.-1 D.-4
解析:设等差数列的公差为d,由题意得
解得d=-4.故选D.
3.在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　A　)
A.S15 B.S16
C.S15或S16 D.S17
解析:因为a1=29,S10=S20,
所以10a1+d=20a1+d,
解得d=-2,
所以Sn=29n+×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.
所以当n=15时,Sn取得最大值.
故选A.
4.(选择性必修第二册P15练习T4改编)在等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差d=　　　　.
解析:由a4+a8=2a6=10,得a6=5,
所以4d=a10-a6=1,
解得d=.
答案:
5.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=　 .
答案:88
等差数列的基本量运算
1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　A　)
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
解析:由等差数列性质可得
解得故故选A.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a3=6,S10=100,则a5=(　B　)
A.8 B.9 C.10 D.11
解析:设等差数列的公差为d.
因为a1+a3=6,S10=100,
所以
解得a1=1,d=2,
因此a5=a1+4d=9.
故选B.
3.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=(　C　)
A.23 B.32 C.35 D.38
解析:由题意可知年龄构成的数列为等差数列,其公差为-3,则9a1+×(-3)=207,解得a1=35.故选C.
4.已知等差数列{an}的通项公式为an=11-n,则|a1|+|a2|+…+|a20|=
　　　　.
解析:设Sn是数列{an}的前n项和,
|a1|+|a2|+…+|a20|=(a1+a2+…+a11)-(a12+a13+…+a20)=S11-(S20-S11)=
2S11-S20,
而S11==55,
S20=20×10+×(-1)=10,
所以|a1|+|a2|+…+|a20|=100.
答案:100
(1)等差数列的通项公式及其前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
等差数列的判断与证明
在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.
(1)求证:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
(1)证明:因为an是1与anan+1的等差中项,
所以2an=1+anan+1,
所以an+1=,
所以an+1-1=-1=,
所以==1+,
因为=1,
所以数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,
所以=1+(n-1)=n,
所以an=.
(2)解:由(1)得==-,
所以Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差
数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
[针对训练]
若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:{}成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2.
又==2,
故{}是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解:由(1)可得=2n,所以Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-==-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故an=
等差数列的性质及其应用
　等差数列项的性质
在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则a2+a14的值为(　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
解析:由等差数列的性质可得,a1+3a8+a15=5a8=120,
所以a8=24,
所以a2+a14=2a8=48.
故选D.
如果{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件.
　等差数列前n项和的性质
(1)(2021·漳州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5=7,S10=21,则S15等于(　　)
A.35 B.42 C.49 D.63
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018,-=6,则S2 020=　　　　.
解析:(1)在等差数列{an}中,
S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,
即7,14,S15-21成等差数列,
所以7+(S15-21)=2×14,
解得S15=42.故选B.
(2)由等差数列的性质可得{}也为等差数列.
设其公差为d,则-=6d=6,
所以d=1.
故=+2 019d=-2 018+2 019=1,
所以S2 020=1×2 020=2 020.
答案:(1)B　(2)2 020
等差数列前n项和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
　等差数列前n项和的最值
(多选题)(2021·青岛一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列选项正确的是(　　)
A.a1=22
B.d=-2
C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值
D.当Sn>0时,n的最大值为20
解析:因为S6=90,
所以6a1+d=90,
即2a1+5d=30,①
又因为a7是a3与a9的等比中项,
所以=a3a9,
所以(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),
整理得a1=-10d,②
由①②解得a1=20,d=-2,故A错误,B正确;
所以Sn=20n+×(-2)=-n2+21n=
-(n-)2+,
又n∈N*,
所以当n=10或n=11时,Sn取得最大值,故C正确;
令Sn=-n2+21n>0,解得0又n∈N*,
所以n的最大值为20,故D正确.
故选BCD.
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助函数图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
[针对训练]
(1)已知等差数列{an}的前10项和为30,它的前30项和为210,则其前20项和为(　　)
A.100 B.120
C.390 D.540
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=1,S16=0,当Sn取最大值时n的值为(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
(3)已知等差数列{an}的公差d=-2,a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9
+…+a99的值是　　　　.
解析:(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,则S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,
所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20).
又等差数列{an}的前10项和为30,前30项和为210,
所以2(S20-30)=30+(210-S20),
解得S20=100.故选A.
(2)因为{an}是等差数列,
所以S16=8(a1+a16)=8(a8+a9)=0,则a9=-a8=-1,即数列{an}的前8项是正数,从第9项开始是负数,
所以(Sn)max=S8.故选B.
(3)因为a1+a4+a7+…+a97=50,公差d=-2,
所以a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+a7+…+a97)+33×2d=50+66×(-2)=-82.
答案:(1)A　(2)B　(3)-82
设等差数列{an}的前n项和为Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,则m=(　　)
A.9 B.10 C.11 D.15
解析:设等差数列{an}的公差为d,依题意得
解得
所以am=a1+(m-1)d=7m-40=30,
所以m=10.故选B.
设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
解析:由{an}是等差数列,
得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得S9-S6=2S6-3S3=45.
故选B.
(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　.
解析:设等差数列{an}的公差为d,
由a1+d=3a1,得d=2a1,
==4.
答案:4
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
等差数列的基本量运算 1,6
等差数列的判定与证明 2,4 14
等差数列的性质 3,7
等差数列前n项和的最值 5 10,12 15
等差数列的综合应用 8 9,11,13
1.已知等差数列{an}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{an}的公差为(　D　)
A.-3 B.- C.-2 D.-4
2.若等差数列{an}的公差为d,则数列{a2n-1}是(　B　)
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为nd的等差数列
D.非等差数列
解析:数列{a2n-1}其实就是a1,a3,a5,a7,…,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.故选B.
3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　A　)
A.1 B.-1 C.2 D.
解析:===1.故选A.
4.已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=
(　C　)
A.72 B.88 C.92 D.98
解析:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列.
又a4+a5=23,
所以2a1+7d=2a1+21=23,
所以a1=1,
所以S8=8a1+d=92.故选C.
5.在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1,S2,…,S9中最小的是(　A　)
A.S5 B.S6 C.S7 D.S8
解析:在等差数列{an}中,S9==9a5<0,
所以a5<0.又a3+a8=a5+a6>0,
所以a6>0,所以数列从第6项开始大于零,前5项都小于零,所以S5最小.故选A.
6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,满足S2=S6,-=2,则a1=　　　　,公差d=　　　　.
解析:由{an}为等差数列,得数列{}是公差为的等差数列.
因为-=2,
所以=2 d=4.
又S2=S6 2a1+4=6a1+×4 a1=-14.
答案:-14　4
7.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=　　　　.
解析:因为S100=(a1+a100)=45,
所以a1+a100=,
则a1+a99=a1+a100-d=,
则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.
答案:10
8.已知数列{an}是等差数列.
(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;
(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和
项数.
解:(1)由已知得a1+a2+a3+a4=21,an-3+an-2+an-1+an=67,
所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88,
所以a1+an==22.
因为Sn=286,
所以=286,
所以11n=286,
所以n=26.
(2)法一　设项数为2k+1,则
a1+a3+…+a2k+1=44=(a1+a2k+1),
a2+a4+…+a2k=33=(a2+a2k),
又因为a1+a2k+1=a2+a2k,
所以=,
所以k=3,项数为7,
所以中间项为=11.
法二　记等差数列{an}的中间项为a中,奇数项和为S奇,偶数项和为
S偶,前n项和为Sn.
根据题意得所以Sn=77,a中=11,
又na中=Sn,
所以n=7.
9.(多选题)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,则下列选项正确的有(　AC　)
A.a10=0 B.S10最小
C.S7=S12 D.S20=0
解析:根据题意,数列{an}是等差数列,若a1+5a3=S8,
即a1+5a1+10d=8a1+28d,变形可得a1=-9d.
又由an=a1+(n-1)d=(n-10)d,则有a10=0,故A一定正确;不能确定a1和d的符号,不能确定S10最小,故B不正确;
又由Sn=na1+=-9nd+=×(n2-19n),则有S7=S12,故C一定正确;则S20=20a1+d=-180d+190d=10d.
因为d≠0,
所以S20≠0,则D不正确.故选AC.
10.(2021·宁夏吴忠高三一模)数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且a1<0,a2 020+a2 021<0,a2 020·a2 021<0,则使Sn<0成立的最大正整数n是(　C　)
A.2 020 B.2 021
C.4 040 D.4 041
解析:设数列{an}的公差为d,由a1<0,a2 020+a2 021<0,a2 020·a2 021<0,
可知a2 020<0,a2 021>0,
所以d>0,数列{an}为递增数列,
S4 041==4 041a2 021>0,
S4 040=2 020(a1+a4 040)=2 020(a2 020+a2 021)<0,
所以可知使Sn<0成立的n的最大值为4 040.
故选C.
11.等差数列{an},{bn}满足:对任意的n∈N*,都有=,则+
=　　　　.
解析:由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6.
所以+=====1.
答案:1
12.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,则d的取值范围是　　　　.
解析:因为当且仅当n=8时,Sn有最大值,
所以即
解得-1答案:(-1,-)
13.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
解:(1)设{an}的公差为d.
由S9=-a5得a1+4d=0.
由a3=4,得a1+2d=4.
于是a1=8,d=-2.
因此{an}的通项公式为an=10-2n.
(2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn=.
由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于n2-11n+10≤0,
解得1≤n≤10.
所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
14.已知数列{an}的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(n∈N*).
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)设bn=anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<.
证明:(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,
显然anan+1≠0,
所以两边同除以anan+1可得,-=2,
所以数列{}是以1为首项,2为公差的等差数列.
(2)由(1)知,=1+(n-1)×2=2n-1,
所以an=.
所以bn=anan+1==(-),
所以Sn=[(1-)+(-)+…+(-)] =(1-)<.
15.(2021·湖南永州高三二模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则下列说法不正确的是(　C　)
A.小寒比大寒的晷长长一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.小雪的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长长
解析:由题意可知,夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a1=
15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10;
同理可知,由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1=135,末项b13=15,公差d=-10(单位都为寸).
故小寒与大寒相邻,小寒比大寒的晷长长10寸,即一尺,A正确;
因为春分的晷长为b7,
所以b7=b1+6d=135-60=75,
因为秋分的晷长为a7,
所以a7=a1+6d=15+60=75,故春分和秋分两个节气的晷长相同,B正确;
因为小雪的晷长为a11,
所以a11=a1+10d=15+100=115,115寸即一丈一尺五寸,故小雪的晷长为一丈一尺五寸,C错误;
因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,
所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,
所以b4>a4,
故立春的晷长比立秋的晷长长,D正确.故选C.

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