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构造新数列
对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．
类型一　形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
(1)若c＝1，数列{an}为等差数列；
(2)若d＝0，数列{an}为等比数列；
(3)若c≠1且d≠0，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则通项公式an＝________．
【解析】　因为Sn＋1－2Sn＝1，
所以Sn＋1＝2Sn＋1.
因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2.
因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，
所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，
故an＝2n－1(n∈N*)．
【答案】　2n－1(n∈N*)
设an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，
与题设an＋1＝can＋d比较系数得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即构成以为首项，c为公比的等比数列．
类型二　形如an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)型
(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则a5的值为________．
(2)在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则通项公式bn＝________．
【解析】　(1)由递推关系及a1＝1可得an≠0，anan＋1＋2an＋1＝2an，即anan＋1＝2an－2an＋1，据此有－＝，又＝1，
故数列是首项为1，公差为的等差数列，则＝1＋×(5－1)＝3，故a5＝.
(2)递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，
得＝，即＝2·＋3，
因此＋3＝2·，＋3＝2，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，
于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝(n∈N*)．
【答案】　(1)　(2)(n∈N*)
an＋1＝(r，p，q为常数，r>0，p，q，an≠0)的求解方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式bn＝Abn－1＋B(n≥2，A，B是常数)，进而求解．
类型三　形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)型
在数列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式an＝________．
【解析】　递推式的两边同时除以3n＋1，
得到＝－·＋1.
令bn＝，则bn＋1＝－bn＋1.
显然有bn＋1－＝－，b1－＝－，
故是以－为首项，－为公比的等比数列．
因此bn－＝－·，
可得an＝－·(－2)n－1＋·3n＋1(n∈N*)．
【答案】　－×(－2)n－1＋×3n＋1(n∈N*)
an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)的求解方法是等式两边同时除以pn＋1，即得－＝q，则数列为等差数列．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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