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第4讲　数列求和
考向预测 核心素养
通过基本量的运算考查等差、等比数列的求和公式；通过一般数列考查错位相减、裂项相消等方法，可与不等式结合，题目中等偏难. 数学运算、逻辑推理、数学建模
一、知识梳理
数列求和的常用方法
(1)公式法
①等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋.
②等比数列{an}的前n项和Sn＝
(2)分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
(4)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
[提醒]　错位相减法求和时，注意最后一项的符号．
(5)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
常用结论
(1)1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．
(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(4)＝－.
(5)＝.
(6)＝；
＝＋.
(7)＝－.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
A．2 019 B.2 020
C.2 021 D.2 022
2．(人A选择性必修第二册P40练习T1改编)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　)
A．100＋200(1－2－9) B.100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9) D.100(1－2－9)
3．(人A选择性必修第二册P56T11改编 )已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．
参考答案
1解析：选C.由an＝＝－，
得Sn＝＋＋…＋＝＝，则n＝2 021.
2解析：选A.第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)．
3解析：因为an＝n·2n，所以Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
所以2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)
(2)当n≥2时，＝.(　　)
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)
二、易错纠偏
1．(忽略相加后Sn前的系数致误)设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝________．
2．(忽略n的奇偶致误)已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
3．(忽略倒序相加后an前的系数致误)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
1解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1.
因为S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°，
两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，因此，S89＝＝44.5.
答案：44.5
2解析：当n＝2k(k∈N*)时，
Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)]
＝2＋2＋…＋2＝2k＝n；
当n＝2k－1(k∈N*)时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n，
所以Sn＝
所以Sn＝(－1)nn.
答案：(－1)nn
3解析：由f(x)＋f(1－x)＝4，
可得f(0)＋f(1)＝4，…，f＋f＝4，
所以2an＝(f(0)＋f(1))＋＋…＋(f(1)＋f(0))＝4(n＋1)，
即an＝2(n＋1)．
答案：an＝2(n＋1)
考点一　分组求和与并项求和(思维发散)
复习指导：理解分组求和与并项求和的数列的特征，能对相关数列求和．
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
【解】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
本例(2)中，条件不变，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：当n为偶数时，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4＋…－(n－1)＋n]
＝＋
＝2n＋1－2＋.
当n为奇数时，
Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4＋…－(n－2)＋(n－1)－n]
＝2n＋1－2＋－n
＝2n＋1－.
综上，Tn＝
分组求和与并项求和法的应用策略
一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和．如果cn＝(－1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解．
|跟踪训练|
在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4＋…＋(－1)nbn，求Tn.
参考答案
解：(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)由题意知bn＝＝n(n＋1)，
所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn(n＋1)．
因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，
可得，当n为偶数时，
Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)
＝4＋8＋12＋…＋2n
＝
＝；
当n为奇数时，
Tn＝Tn－1＋(－bn)
＝－n(n＋1)
＝－，
所以Tn＝
考点二　错位相减法求和(综合研析)
复习指导：理解错位相减法求和的数列的特征，能对相关数列求和．
(2021·高考全国卷乙)设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1，3a2，9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn<.
【解】　(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1.
因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，故an＝，bn＝.
(2)证明：由(1)知Sn＝＝，Tn＝＋＋＋…＋　①，
Tn＝＋＋＋…＋＋　②，
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，
即Tn＝－＝－，
整理得Tn＝－，
则2Tn－Sn＝2－＝－<0，故Tn<.
错位相减法求和
(1)掌握解题“3步骤”
(2)注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
|跟踪训练|
(2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
解：(1)设{an}的公比为q，
因为a1为a2，a3的等差中项，
所以2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，
所以q2＋q－2＝0，
因为q≠1，所以q＝－2.
(2)设{nan}的前n项和为Sn，a1＝1，由(1)得an＝(－2)n－1，
Sn＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n(－2)n，②
①－②得，3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n
＝－n(－2)n＝，
所以Sn＝，n∈N*.
考点三　裂项相消法求和(综合研析)
复习指导：理解裂项相消法求和的数列的特征，能对相关数列求和．
(链接常用结论（4）)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1.现在给你三个条件．①an＋1＝2an.②Sn＝2an＋t.③Sn＝2n＋k.从上述三个条件中，选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答．
已知________，若bn＝log2an＋1，{bn}的前n项和为Tn.
(1)求Tn；
(2)求证：数列的前n项和An<2.
【解】　若选①.由a1＝1，an＋1＝2an知，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝1×2n－1＝2n－1.
(1)所以bn＝log22n＝n.bn＋1－bn＝n＋1－n＝1.所以{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．所以Tn＝n×1＋×1＝.
(2)证明：An＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝2×
＝<＝2.所以An<2.
若选②.由a1＝1，Sn＝2an＋t得，当n＝1时，1＝2×1＋t，所以t＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．下与选①相同．
若选③.由a1＝1，Sn＝2n＋k知，当n＝1时，1＝21＋k，k＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.下与选①相同．
裂项相消法求和
(1)基本步骤
(2)裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
|跟踪训练|
已知数列{an}，{bn}满足an＝2n－1，bn＝2n－1，对任意n∈N*，都有＋＋…＋＞，求实数λ的取值范围．
解：由题意得＋＋…＋＝＋＋…＋＝
＝＞(－1)n·λ·，
两边同乘以2n＋1－1(n≥1时，2n＋1－1＞0)，
得2n－1＞(－1)n·λ，
所以当n为偶数时，λ＜2n－1恒成立，2n－1≥22－1＝3，故λ＜3；
当 n为奇数时，λ＞1－2n恒成立，1－2n≤1－2＝－1，故λ＞－1.
综上可得－1＜λ＜3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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