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第1讲　数列的概念及简单表示法
考向预测 核心素养
以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．在高考中以选择题、填空题的形式进行考查，难度为低档. 数学抽象、逻辑推理、数学运算
一、知识梳理
1．数列的有关概念
(1)数列的定义
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列(sequence of number)，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
2．数列的表示法
解析式法、表格法、图象法．
3．数列的单调性
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．
4．数列的通项公式和递推公式
(1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
5．数列的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
常用结论
1．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)，若an最小，则(n≥2)．
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第二册P6例5改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)
A. B.
C. D.
2．(人A选择性必修第二册P8练习T1(1)改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．
3．(链接常用结论1)(人A选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋1，则{an}的通项公式为an＝________．
参考答案
1解析：选D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
2答案：5n－4
3答案：
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)
(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)
(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)
(4)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)
(5)若数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)
二、易错纠偏
1．(数列概念不清致误)下列说法中，正确的是(　　)
A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同数列
C．数列的第k项为1＋
D．数列0，2，4，6，8，…可记作{2n}
2．(数列项的规律不清致误)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．
3．(忽视数列的定义域致误)已知an＝2n＋a(1－n)．若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
1解析：选C.解此题需对数列{an}与集合的含义理解透彻．A项中{1，3，5，7}表示的是集合而不是数列；B项中数列中的各元素是有顺序的；D项中的{2n}并不能准确把前边的数列体现出来．故选C.
2解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.
答案：an＝(－1)n·
3解析：因为an＝2n＋a(1－n)，所以an＝(2－a)n＋a，
因为数列{an}是递减数列，所以2－a<0，解得a>2.
答案：(2，＋∞)
考点一　由Sn与an的关系求an(综合研析)
复习指导：由Sn与an的关系求an.利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式．
(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4＝(　　)
A．27 B.81
C.93 D.243
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________．
【解析】　(1)根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
故选B.
(2)当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，
因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
所以an＝(n≥2)．
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝
【答案】　(1)B　(2)
(1)已知Sn求an注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
|跟踪训练|
1．(2022·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝(　　)
A. B.
C. D.
2．(链接常用结论1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则an＝________．
3．已知在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________．
参考答案
1解析：选A.因为Sn＝，a4＝32，所以S4－S3＝－＝32，所以a1＝.故选A.
2解析：当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.
所以an＝
答案：
3解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1，②
①－②得an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
所以数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列．
所以an＝a1·qn－1＝－2n－1.
答案：－2n－1
考点二　由数列的递推公式求通项公式(思维发散)
复习指导：了解由数列的递推公式求通项公式的累加法、累乘法．
(1)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
(2)已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．
【解析】　(1)因为an＋1－an＝＝－，
所以an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，
…
a2－a1＝1－，
所以以上各式相加得，an－a1＝1－，
所以an＝4－，且a1＝3也适合上式，
所以an＝4－.
(2)因为＝2n，所以＝2n－1，＝2n－2，
…
＝22，＝2，
所以an＝··…···a1
＝2n－1·2n－2·…·22·2·2
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)·2
＝2＋1＝2，所以an＝2.
【答案】　(1)4－　(2)2
1．本例(2)中条件“an＋1＝2nan”改为“an＋1＝an”，其他不变，怎样求解？
解：由已知，可得＝(n≥2)，
所以an＝···…···a1
＝···…·××2＝，(*)
又a1也满足(*)式，所以an＝.
2．本例(2)中条件“an＋1＝2nan”改为“an＋1＝2n＋an”，其他不变，怎样求解？
解：由已知，可得an＝2n－1＋an－1(n≥2)，
所以an－an－1＝2n－1，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋21＋2
＝＋2＝2n，且a1＝2也适合上式．
故an＝2n.
(1)由递推关系求数列的通项公式的常用方法
(2)避免两种失误
①利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立；
②利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
|跟踪训练|
1．已知在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________．
2．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，则an＝________．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，其首项a1＝1，且满足3Sn＝(n＋2)an，则an＝________．
参考答案
1解析：an＝···…···a1
＝×××…×××1＝2n－1·n.
又n＝1时，a1＝1适合上式，所以an＝n·2n－1.
答案：n·2n－1
2解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列{an}的通项公式为an＝(n－1)2.
答案：(n－1)2
3解析：因为3Sn＝(n＋2)an，①
则3Sn－1＝(n＋1)an－1(n≥2)，②
由①－②得，3an＝(n＋2)an－(n＋1)an－1，
即＝，
所以an＝···…··a1＝×××…××1＝.
当n＝1时，满足an＝，所以an＝.
答案：
考点三　数列的性质(多维探究)
复习指导：通过实例，结合函数性质研究数列．
角度1　数列的单调性与最值
(1)已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B.(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D.(0，＋∞)
(2)已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为(　　)
A. B.4－1
C. D.
【解析】　(1)由已知，可得an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，
an＋1－an＝＜0，
所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
(2)由已知，可得an＋1－an＝2n，由累加法可知an＝n2－n＋28，
所以＝n＋－1，
设f(x)＝x＋，可知f(x)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，
又n∈N*，且＝＜＝.
【答案】　(1)D　(2)C
角度2　数列的周期性
(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 022的值为(　　)
A．2 B.－3
C.－ D.
(2)(2022·广元市联考)已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”，已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则{bn}的前2 022 项的和为(　　)
A．0 B.1
C.－5 D.－1
【解析】　(1)a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，…，故{an}是周期为4的周期数列，故a2 022＝a2＝－3.故选B.
(2)因为bn＋2＝bn＋1－bn，b1＝1，b2＝－2，
所以b3＝b2－b1＝－3，
b4＝b3－b2＝－1，
b5＝b4－b3＝2，
b6＝b5－b4＝3，
b7＝b6－b5＝1，
…
所以{bn}是周期为6的周期数列，
且S6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.
所以S2 022＝S337×6＝0.
【答案】　(1)B　(2)A
(1)解决数列的单调性问题的三种方法
①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．
②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)求数列的最大项或最小项的常用方法
①将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大项或最小项．②通过通项公式an研究数列的增减性，确定最大项及最小项．
(3)解决数列周期性问题
根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．
|跟踪训练|
1．等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　)
A．5 B.6
C.5或6 D.6或7
2．(2022·辽宁重点中学协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S18＝(　　)
A．0 B.18
C.10 D.9
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn＋1，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
4．(链接常用结论2)在数列{an}中，an＝(n＋1)，则数列{an}的最大项是第________项．
参考答案
1解析：选C.由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因为d＜0，所以{an}是递减数列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大．故选C.
2解析：选C.因为an＋1－an＝sin，
所以an＋1＝an＋sin.因为a1＝1，
所以a2＝a1＋sin π＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin＝0，a5＝a4＋sin＝1，a6＝a5＋sin＝1，a7＝a6＋sin＝0，a8＝a7＋sin＝0，…，故数列{an}是周期为4的周期数列．
所以S18＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝10.故选C.
3解析：由题意得an＋1＞an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1＞n2－λn＋1.
化简得，λ＜2n＋1，n∈N*，所以λ＜3.
答案：(－∞，3)
4解析：＝＝×.
当an＋1＞an时，n＜6；当an＋1＝an时，n＝6；
当an＋1＜an时，n＞6，所以a6或a7最大．
答案：6或7
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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