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第2讲　等差数列
考向预测 核心素养
等差数列的基本运算、性质，等差数列的证明是考查的热点．选择、填空题难度较低．解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查，中等难度. 数学抽象、逻辑推理、数学运算
一、知识梳理
1．等差数列的概念
(1)定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且a＋b＝2A．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d＞0，则为递增数列，若公差d＜0，则为递减数列．
(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.
常用结论
1．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at.特别地，若p＋q＝2m，则2am＝ap＋aq(p，q，s，t，m∈N*)．
(3)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(4)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(5)数列成等差数列；数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列．
2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
二、教材衍化
1．(人A选择性必修第二册P15练习T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a10＝(　　)
A．18 B.16
C.20 D.17
2．(人A选择性必修第二册P21例6改编)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________．
3．(人A选择性必修第二册P24练习T3改编)设等差数列－4.2，－3.7，－3.2，…的前n项和为Sn，则当n＝________时，Sn取得最小值．
参考答案
1解析：选A.因为a4＋a8＝2a6＝20，所以a6＝10.又a7＝12，所以d＝2，所以a10＝a7＋3d＝12＋6＝18.
2解析：由已知可得解得
所以S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126.
答案：126
3解析：由已知得，a1＝－4.2，d＝0.5，所以a9＝a1＋8d＝－4.2＋4＝－0.2＜0.a10＝－4.2＋4.5＝0.3＞0，所以当n＝9时，Sn取得最小值．
答案：9
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(4)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(不会判断项的符号致误)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d＜0
B．a7＝0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
2．(忽视相邻项的符号致误)首项为30的等差数列{an}，从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
1解析：选ABD.S6＝S5＋a6＞S5，则a6＞0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6＜0，S8＝S7＋a8＜S7，a8＜0.则a7＋a8＜0，S9＝S5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S5＋2(a7＋a8)＜S5.
由a7＝0，a6＞0知S6，S7均是Sn中的最大值．
从而ABD均正确．
2解析：由题意知a1＝30，a8<0，a7≥0.即解得－5≤d<－.
答案：
考点一　等差数列基本量的运算(综合研析)
复习指导：探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
(链接常用结论1)(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求使Sn＞an成立的n的最小值．
【解】　(1)由等差数列的性质可得S5＝5a3，则a3＝5a3，所以a3＝0，
设等差数列的公差为d，从而有a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a3－2d)＋(a3－d)＋a3＋(a3＋d)＝－2d，
从而－d2＝－2d，由于公差不为零，故d＝2，
数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－6.
(2)由数列的通项公式可得a1＝2－6＝－4，则Sn＝n×(－4)＋×2＝n2－5n，
则不等式Sn＞an即n2－5n＞2n－6，整理可得(n－1)·(n－6)＞0，
解得n＜1或n＞6，又n为正整数，故n的最小值为7.
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
|跟踪训练|
1．(2022·福州市质量检测)已知在数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则a9＝(　　)
A. B.
C. D.－
2．(2020·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
参考答案
1解析：选C.因为数列为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列的公差d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a9＝.
2解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.
因为a1＝－2，所以d＝1.
所以S10＝10×(－2)＋×1＝25.
答案：25
考点二　等差数列的判定和证明(综合研析)
复习指导：判定一个数列是否为等差数列，可以根据数列的定义，也可以利用等差中项、等差数列的通项公式、前n项和公式等．
(链接常用结论1)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)设公差为d，因为{an}为等差数列，
所以a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个实数根，又公差d＞0，所以a2＜a4，所以a2＝5，a4＝13.
所以所以所以an＝4n－3.
(2)存在．由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，
假设存在常数k，使数列{}为等差数列．
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
所以＝＝n，
当n≥2时，n－(n－1)＝，则d为常数，
所以数列{}为等差数列．
故存在常数k＝1，使得数列{}为等差数列．
(1)等差数列的判定与证明的常用方法
①定义法：an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)或an－an－1＝d(d是常数，n∈N*，n≥2) {an}为等差数列．
②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列．
③通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列．
④前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数) {an}为等差数列．
(2)根据数列的条件证明或判断等差数列，进而利用等差数列的公式解题，体现了逻辑推理的核心素养．
[提醒]　若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须证明任意n∈N*都满足．
|跟踪训练|
(2021·高考全国卷乙)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以当n≥2时，Sn＝，
代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1时，a1＝S1＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
故an＝
考点三　等差数列的性质及应用(多维探究)
复习指导：了解等差数列与一次函数的关系，并能用等差数列的有关知识解决相应问题．
角度1　等差数列项的性质
(1)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　)
A．－1 B.0
C.1 D.2
(2)(2020·高考北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
【解析】　(1)由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1.
(2)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝－9，a5＝－1，
所以a5＝－9＋4d＝－1，
所以d＝2，所以an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11.
令an＝2n－11≤0，则n≤5.5，
所以n≤5时，an<0；n≥6时，an>0.
所以T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，
T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，
T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，
T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，
当n≥6时，an>0，且an≥1，所以Tn＋1所以Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项．
【答案】　(1)C　(2)B
角度2　等差数列和的性质
中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千五百二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　)
A．71 B.72
C.89 D.90
【解析】　设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为a1，
则由题可知数列是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，
则S19＝19a1＋×＝1 520，解得a1＝89.故选C.
【答案】　C
角度3　等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11.则当n为多少时，Sn最大？
【解】　方法一：设公差为d.由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.所以Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，因为a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．
方法二：易知Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的图象关于直线n＝＝7对称．由方法一可知A＝－＜0.故当n＝7时，Sn最大．
求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法(邻项变号法)：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
|跟踪训练|
1．(多选)(2022·济宁邹城期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是(　　)
A．d<0 B.S2＝S5
C．|a1|>|a9| D.Sn取得最大值时，n＝3
2．(链接常用结论1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023＝(　　)
A．2 023 B.－2 023
C．4 046 D.－4 046
3．(2022·广东韶关一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________．
4．(链接常用结论2)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
参考答案
1解析：选AB.因为数列{an}是等差数列，
所以S9＝a5＋a12 9a1＋36d＝2a1＋15d a1＝－3d.
对于A：因为a1>0，所以d<0，故A对．
对于B：S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝－5d，S5＝－5d，故B对．
对于C: |a9|＝|a1＋8d|＝|a1|，因此|a1|<|a9|，故C错误．
对于D：Sn＝n2－n，当n＝时Sn取到最大值，因为n∈N*，所以n＝3或4，故D错误．
2解析：选C.由题意知为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，所以d′＝1，
首项为＝－2 020，
所以＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
所以S2 023＝2 023×2＝4 046.
3解析：根据{an}为等差数列，且a6＋a7＝1，得S12＝6(a6＋a7)＝6；
若a7＜0，则S13＝＝13a7＜0，
又S12＞0，所以使不等式Sn＜0成立的最小整数n＝13.
答案：6　13
4解析：＋＝＝＝，
又＝＝＝＝.
答案：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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