资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第3讲　等比数列
考向预测 核心素养
等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题. 数学抽象、逻辑推理、数学运算
一、知识梳理
1．等比数列的概念
(1)定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列与指数函数的关系
(1)当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
(2)等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
(3)等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．
常用结论
1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4．等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当Sk≠0，k∈N*时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk.
二、教材衍化
1．(链接常用结论1)(人A选择性必修第二册P31练习T5改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
2．(人A选择性必修第二册P36例8改编)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q的值为(　　)
A．－ B.
C.2 D.－2
3．(人A选择性必修第二册P37练习T3改编)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，6a1＋a3＝30，则a4＝________．
参考答案
1解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即a＝a3·a9.
2解析：选B.当q＝1时，＝1≠，所以q≠1.
当q≠1时，＝＝q5＝，所以q＝.
3解析：由题意得
解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
答案：54或24
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}的公比q＞1，则该数列单调递增．(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(忽略q＝±1致误)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
A. B.{log2a}
C．{an＋an＋1} D.{an＋an＋1＋an＋2}
2．(忽略q＝1致误)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1 B.－
C．1或－ D.－1或
3．(混淆等比数列的项和等比中项致误)已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　)
A．－2 B.±2
C.2 D.±
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1解析：选AD.当等比数列{an}的通项公式为an＝1时，log2a＝0，数列{log2a}不是等比数列，当等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，由等比数列的定义知和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．
2解析：选C.当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－.
3解析：选C.因为a2a3a4＝1，所以a3＝1，
因为a6a7a8＝64，所以a7＝4，
又a＝a3a7＝4，又a5与a3同号，
所以a5＝2.
考点一　等比数列的基本运算(自主练透)
复习指导：探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式．
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B.8
C.4 D.2
2．(2022·湘东五校联考)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　)
A．2 B.2
C.2 D.2
3．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B.3
C.4 D.5
4．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________．
参考答案
1解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2解析：选C.设此数列的公比为q，则2＝1×q12，解得q4＝.所以a5＝1×q4＝2.
3解析：选C.a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2×2n－1＝2n.
又因为ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
所以＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
所以2k＋1＝25，所以k＋1＝5，所以k＝4.
4解析：若q＝1，则S4＝4，a5－1＝0，等式S4＝a5－1不成立，所以q≠1.由S4＝a5－1，得＝a1q4－1，整理得(q4－1)(2－q)＝0.又q≠1，所以q＝2或q＝－1.
答案：2或－1
解决等比数列有关问题的两种常用思想
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二　等比数列的判定与证明(思维发散)
复习指导：理解等比数列的概念，发现数列的等比关系，体会等比数列与函数的关系．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
1．若本例中的条件不变，试求{an}的通项公式．
解：由例1知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
2．在本例中，若cn＝，证明：数列{cn}为等比数列．
证明：由[思维发散1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.
所以＝＝2，又c1＝＝，
所以数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列．
(1)等比数列的证明方法
①定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
②中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比数列的其他判定方法
①通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
②前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
[提醒]　等比数列的其他判定方法常用于选择题、填空题中的判定．
|跟踪训练|
1．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)
A．－ B.
C.－ D.
2．(2021·新高考八省联考模考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
参考答案
1解析：选A.方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.
方法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k·qn－k，则a＝－，a＝－.
2解：(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an可得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)，　
因为各项都为正数，所以a1＋a2>0，
所以{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)构造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)，整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan，所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，
因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an，
所以{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列．
所以an＝(n∈N*)．
考点三　等比数列的性质及应用(多维探究)
复习指导：能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
角度1　等比数列项的性质应用
(链接常用结论1)(1)(2022·洛阳第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B.－
C. D.－或
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－，所以＝eq \f(a,a9)＝a9＝－.
(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
【答案】　(1)B　(2)5
角度2　等比数列前n项和的性质
(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
【解析】　(1)由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
(2)设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.
【答案】　(1)2　(2)
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口．
[提醒]　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．
|跟踪训练|
1．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B.27
C.36 D.81
2．(链接常用结论1)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
参考答案
1解析：选B.因为a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
所以q2＝9.所以q＝3(q＝－3舍去)，
所以a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2解析：因为＋＝，＋＝，
由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.
答案：－
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑