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第2节　圆与方程
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
1.圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程 标准式 (x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 圆心为(a,b)
半径为r
一般式 x2+y2+Dx+ Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F>0
圆心坐标:(-,-)
半径r=
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)23.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
dr 相离.
(2)代数法:
4.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
方法 位置　　 关系 几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 代数法:联立两圆 方程组成方程 组的解的情况
外离 d>r1+r2 无解
外切 d=r1+r2 一组实数解
方法 位置 关系 几何法:圆心距d与 r1,r2的关系 代数法:联立两圆 方程组成方程 组的解的情况
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+ (y-y1)(y-y2)=0.
2.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
3.圆系方程
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
4.两圆相交时公共弦的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(　A　)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.±1
解析:点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,
所以(1-a)2+(1+a)2<4,
解得-1故选A.
2.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　ABD　)
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
解析:圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.故选ABD.
3.(选择性必修第一册P98习题T1改编)圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为(　D　)
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
解析:因为点P在圆上,且圆心Q的坐标为(2,0),
所以kPQ==-,
所以切线的斜率k=,
所以切线方程为y-=(x-1),
即x-y+2=0.
故选D.
4.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　B　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析:两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d==.
因为3-2所以两圆相交.故选B.
5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是　　　　.
解析:方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0可化为(x+)2+(y+a)2=-a2-a+1.
因为该方程表示圆,
所以-a2-a+1>0,
即3a2+4a-4<0,
所以-2答案:(-2,)
圆的方程
1.半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=2 均相切,则该圆的标准方程为(　C　)
A.(x-1)2+(y+2)2=4
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y+2)2=4
D.(x-2)2+(y+2)2=4
解析:设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线x+y=2的距离d==2,
所以a=2,
所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.
故选C.
2.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上,则圆C的方程为　　　　　　.
解析:法一(几何法)　kAB==-1,
则AB的垂直平分线方程为y-=x-,
即x-y-1=0,
联立方程组
解得
r==,
故圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=13(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心).
法二(待定系数法)　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意可得
解得
故所求圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
答案:(x-3)2+(y-2)2=13
3.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为　　　　　　　.
解析:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意可知,
解得
故所求圆的一般方程为x2+y2-4x-8y-5=0.
答案:x2+y2-4x-8y-5=0
求圆的方程的两种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
与圆有关的最值问题
　利用几何法求最值
(1)在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在两点A,B满足:∠AOB=60°,则实数a的最大值是(　　)
A.5 B.3 C. D.2
(2)已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
①求|MQ|的最大值和最小值;
②求的最大值和最小值;
③求y-x的最大值和最小值.
(1)解析:根据题意,圆C的圆心为(3,a),在直线x=3上,
分析可得,当圆心距离x轴的距离越远,∠AOB越小.
如图,当a>0时,圆心C在x轴上方,若OA,OB为圆的切线且∠AOB=60°,此时a取得最大值,
此时∠AOC=30°,
有|OC|=2|AC|=4,
即(3-0)2+(a-0)2=16,
解得a=,
故实数a的最大值是.
故选C.
(2)解:①由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4,
所以|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
②可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0.
因为直线MQ与圆C有交点,
所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-.
③设y-x=b,则x-y+b=0.
当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值,
所以=2,
解得b=9或1.
所以y-x的最大值为9,最小值为1.
处理与圆有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解,其中以下几类转化较为常见:
(1)形如m=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.
　利用代数法求最值
设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|+|的最大值为　　　　.
解析:由题意,知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),
所以+=(-2x,-2y),
由于点P(x,y)是圆上的点,
故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,
故y2=-(x-3)2+4,
所以|+|==2.
由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,
所以当x=5时,|+|的值最大,最大值为2=10.
答案:10
根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.
[针对训练]
(1)已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=的最大值与最小值分别为　　　　和　　　　.
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　.
解析:(1)由题意,得表示过点A(0,-1)和圆(x-2)2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)的直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则=1,解得k=,
所以zmax=,zmin=.
(2)因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,
故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.
设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(m,n),
故
解得故A′(-4,-2).
连接A′C交圆C于Q,由对称性可知
|PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|≥|A′Q|=|A′C|-r=2.
答案:(1)　　(2)2
直线与圆的位置关系
　位置关系的判断
已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
解析:因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,
所以a2+b2>1,
而圆心O到直线ax+by=1的距离
d==<1,
所以直线与圆相交.
故选B.
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
　弦长问题
若3a2+3b2-4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆O:x2+y2=1所截得的弦长为(　　)
A. B.1 C. D.
解析:因为a2+b2=c2,
所以圆心O(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d==,
所以直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为2=2×=1.故选B.
弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2.
　切线问题
已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.
解:由题意得圆心C(1,2),半径r=2.
(1)因为(+1-1)2+(2--2)2=4,
所以点P在圆C上.
又kPC==-1,
所以切线的斜率k=-=1.
所以过点P的圆C的切线方程是
y-(2-)=x-(+1),
即x-y+1-2=0.
(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,
所以点M在圆C外部.
当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,
即x-3=0.
又点C(1,2)到直线x-3=0的距离
d=3-1=2=r,
即此时满足题意,
所以直线x=3是圆的切线.
当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
则圆心C到切线的距离d==r=2,
解得k=.
所以切线方程为y-1=(x-3),
即3x-4y-5=0.
综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.
因为|MC|==,
所以过点M的圆C的切线长为==1.
圆的切线方程的两种求法
(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
[针对训练]
(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
(2)过点P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为(　　)
A.3x+4y-4=0
B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0
D.y=4或3x+4y-4=0
(3)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,则最短弦所在的直线方程为　　　　.
解析:(1)直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),
因为12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,
所以点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,
直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.故选C.
(2)由题意可知,点P(2,4)在圆外.
当切线的斜率不存在时,直线x=2与圆相切;
当切线的斜率存在时,
设切线方程为y-4=k(x-2),
即kx-y+4-2k=0,
则=1,
解得k=,
即切线方程为4x-3y+4=0,
故切线方程为x=2或4x-3y+4=0.故选C.
(3)设P(3,1),圆心C(2,2),
则|PC|=,半径r=2,
由题意知最短弦过P(3,1)且与PC垂直,kPC=-1,
所以所求直线方程为y-1=x-3,
即x-y-2=0.
答案:(1)C　(2)C　(3)x-y-2=0
圆与圆的位置关系
已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切
(2)m取何值时两圆内切
解:因为两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,
所以两圆的圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为,.
(1)当两圆外切时,由=+,得m=25+10.
(2)当两圆内切时,
因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5,
所以-=5,
解得m=25-10.
解决圆与圆位置关系问题的两大方法
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
[针对训练]
已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
(1)证明:由题意可知,圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,两圆的圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,
所以|r1-r2|所以圆C1和圆C2相交.
(2)解:圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减,整理得4x+3y-23=0,
所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.
圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离d==3,
故公共弦长为2=2.
由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为(　　)
A.1 B.2 C. D.3
解析:切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d==2,故切线长的最小值为=.故选C.
直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP的面积的取值范围是(　　)
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
解析:圆心(2,0)到直线的距离d==2,
所以点P到直线的距离d1∈[,3].
根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为(-2,0),(0,-2),
所以|AB|=2,
所以△ABP的面积S=|AB|d1=d1.
因为d1∈[,3],
所以S∈[2,6],
即△ABP的面积的取值范围是[2,6].
故选A.
过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于(　　)
A. B.- C.± D.-
解析:因为S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤.
当∠AOB=时,△AOB的面积最大.
此时O到AB的距离
d=.
设直线AB的方程为y=k(x-)(k<0),
即kx-y-k=0.
由d==,得k=-(也可k=-tan∠OPH=-).故选B.
已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解:(1)法一　设C(x,y).
因为A,B,C三点不共线,
所以y≠0.
因为AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,
所以kAC·kBC=-1,
又kAC=,kBC=,
所以·=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).
法二　设AB的中点为D,
由中点坐标公式得D(1,0),
由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.
由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x0,y0).
因为B(3,0),M是线段BC的中点,
由中点坐标公式得x=,y=,
所以x0=2x-3,y0=2y.
由(1)知,点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(y≠0),
将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,
即(x-2)2+y2=1.
因此动点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=1(y≠0).
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
圆的方程 1,4
直线与圆的位置关系 2,3,6,7,8,9 11
圆与圆的位置关系 5
综合问题 10,12,13 14,15
1.方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形是(　D　)
A.以(1,-2)为圆心,为半径的圆
B.以(1,2)为圆心,为半径的圆
C.以(-1,-2)为圆心,为半径的圆
D.以(-1,2)为圆心,为半径的圆
解析:由x2+y2+2x-4y-6=0得(x+1)2+(y-2)2=11,故圆心为(-1,2),半径为.故选D.
2.直线y=kx+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　B　)
A.相切 B.相交或相切
C.相交 D.不能确定
解析:因为直线y=kx+1过定点(0,1),
而(0,1)在圆x2+y2=1上.故选B.
3.已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-y+=0截得的弦长为3,则☉O的方程为(　C　)
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
解析:由题意,圆心到直线的距离d==,由几何法可知,l= 2=3,
代入数据可得r2-=,
所以r2=3,
所以圆的标准方程为x2+y2=3.故选C.
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(　B　)
A.x2+(y-2)2=5 B.(x-2)2+y2=5
C.x2+(y+2)2=5 D.(x-1)2+y2=5
解析:因为所求圆的圆心与圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2,0)关于原点(0,0)对称,
所以所求圆的圆心为(2,0),半径为,故所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.故选B.
5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于(　C　)
A.21 B.19 C.9 D.-11
解析:圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.
因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,
所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m<25).从而|C1C2|= =5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.
6.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是(　A　)
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
解析:x2+y2=4,圆心(0,0),半径r=2,
圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5,
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,
最大值为5+2=7,
所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].
故选A.
7.(多选题)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m等于(　AD　)
A.2 B.4 C.6 D.10
解析:圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=6,
因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,
所以圆心到直线的距离为2,
则有d==2,
解得m=2或10.故选AD.
8.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
解析:由x2+y2+2y-3=0,得x2+(y+1)2=4.
所以圆心C(0,-1),半径r=2.
圆心C(0,-1)到直线x-y+1=0的距离d==,
所以|AB|=2=2=2.
答案:2
9.已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线x-ay+1=0平行,则a=　 .
解析:因为点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,
所以过点P(2,2)与圆(x-1)2+y2=5相切的切线方程为(2-1)(x-1)+2y=5,
即x+2y-6=0.
由直线x+2y-6=0与直线x-ay+1=0平行,得a=-2.
答案:-2
10.已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点P(1,k)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则三角形PAB的面积等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因为直线kx+y+4=0是圆C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,
所以直线kx+y+4=0过圆心C(3,-1),
即3k-1+4=0,k=-1,
所以点P(1,-1),|PC|=2,
因为圆C的半径r=1,
所以切线长|PA|=|PB|==,
且在直角三角形中sin∠APC=sin∠BPC==,
所以∠APC=∠BPC=30°,∠APB=60°,
所以三角形PAB的面积
S=|PA|×|PB|sin∠APB=.故选D.
11.圆x2+y2+2x-8=0截直线y=kx+1(k∈R)所得的最短弦长为(　A　)
A.2 B.2 C.4 D.2
解析:直线y=kx+1过定点(0,1),
圆x2+y2+2x-8=0可化为(x+1)2+y2=32,
故圆心为(-1,0),半径为r=3.
因为(0+1)2+12=2<32,
所以点(0,1)在圆x2+y2+2x-8=0内,
又(0,1)和(-1,0)的距离为=,根据圆的几何性质可知,圆x2+y2+2x-8=0截直线y=kx+1(k∈R)所得的最短弦长为2=2.故选A.
12.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)面积的最小值是(　B　)
A. B.2 C.2 D.2
解析:因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,
当点P与圆心的距离最小时,切线长PC,PD最小,此时四边形OCPD的面积最小,
所以圆心到直线3x+4y=15的距离d==3,
所以|PC|=|PD|==2,
所以四边形OCPD的面积S=2×|PC|r=2.故选B.
13.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-3),若圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由题意得圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1的圆心为(a,a-2),半径为1.
设点M的坐标为(x,y),
因为|MA|=2|MO|,
所以=2,
整理得x2+(y-1)2=4,
故点M的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆.
由题意得圆C和点M的轨迹有公共点,
所以1≤≤3,
解得0≤a≤3.
所以实数a的取值范围是[0,3].
答案:[0,3]
14.过圆x2+y2=16上的动点作圆C:x2+y2=4的两条切线,两个切点之间的线段称为切点弦,则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　A　)
A.π B. C.2π D.3π
解析:如图所示,过圆x2+y2=16上一动点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,
则|OP|=4,|OA|=|OB|=2,|PB|=|PA|==2,
则sin∠OPA==,且∠OPA为锐角,
所以∠OPA=30°,同理可得∠OPB=30°,
所以∠APB=60°,则△APB为等边三角形,
连接OP交AB于点M,
因为OP为∠APB的角平分线,则M为AB的中点,
所以OM⊥AB,
且∠OAB=90°-∠PAB=30°,
所以|OM|=|OA|=1,
若圆C内的点不在任何切点弦上,则该点到圆C的圆心的距离应小于|OM|,
即圆C内的这些点构成了以原点为圆心,半径为1的圆的内部,
因此,圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为π×12=π.故选A.
15.过点P(x,y)作圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=1的切线,切点分别为A,B,若|PA|=|PB|,则x2+y2的最小值为(　B　)
A. B.2 C.2 D.8
解析:如图所示,由圆的切线的性质得C1A⊥PA,C2B⊥PB,
在Rt△PAC1,Rt△PBC2中有|PA|2=-1,|PB|2=-1,
由题知|PA|=|PB|,
所以|PC1|=|PC2|,
所以点P在线段C1C2的垂直平分线上;
由题知C1(0,0),C2(2,2),
所以C1与C2的中点Q的坐标为(1,1),
C1与C2所在直线的斜率为k1==1,
所以P,Q所在直线l的斜率为k2==-1,
所以直线l的方程为y=-1×(x-1)+1,
即y=-x+2,
点P(x,y)在直线y=-x+2上,
所以点P的坐标满足y=-x+2,
所以x2+y2=x2+(-x+2)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+2≥2.故选B.

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