资源简介

第3节　椭　圆
1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c为常数.
上述表达式中,若a=c,则集合P为线段.
若a2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
性 质 范 围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a
对称 性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
离心 率 e=,且e∈(0,1)
a,b,c 的关系 c2=a2-b2
1.焦点弦:焦点弦中以过焦点与长轴垂直的弦最短,弦长lmin=.
2.AB为椭圆+=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点
M(x0,y0),则
(1)弦长l=|x1-x2|=|y1-y2|;
(2)直线AB的斜率kAB=-,即kAB·kOM=-为定值.
3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆+=1(a>b>0)中,
(1)当r1=r2时,即点P的位置为短轴端点时,θ最大.
(2)S=b2tan=c|y0|,当|y0|=b时,即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.
(3)△PF1F2的周长为2(a+c).
1.(选择性必修第一册P108例3改编)设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(　D　)
A.4 B.5 C.8 D.10
解析:依椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2×5=10.故选D.
2.椭圆+=1的焦距为2,则m的值为(　C　)
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析:当m>4时,m-4=1,所以m=5;
当0故m的值为5或3.故选C.
3.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为,则椭圆的标准方程为　　　　.
解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,所以解得故椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
4.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为　.
解析:设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为(,),且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,
得=-×=-2×=3,
所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
椭圆的定义及其应用
(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
(2)(多选题)已知P是椭圆+=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=,则(　　)
A.△PF1F2的周长为12
B.=2
C.点P到x轴距离为
D.·=2
解析:(1)设圆M的半径为r,
则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,
故所求的轨迹方程为+=1.故选D.
(2)由椭圆方程知a=3,b=2,
所以c=,所以|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,
得△PF1F2的周长为6+2,A错;
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2| cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2,
解得|PF1||PF2|=6,所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=2,B 正确.
设点P到x轴距离为d,则=|F1F2|d=×2d=2,
解得d=,C正确.
·=||||cos∠F1PF2=2,D正确.故选BCD.
1.椭圆定义的应用主要有:判断平面内动点的轨迹是否为椭圆,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
2.通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
[针对训练]
(1)已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(　　)
A.2 B.6
C.4 D.12
(2)F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(　　)
A.7 B.
C. D.
解析:(1)由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+ |CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a= 4.故选C.
(2)由题意得a=3,b=,c=,
所以|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6.
因为|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|·cos 45°=|AF1|2- 4|AF1|+8,
所以(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
所以|AF1|=,
所以△AF1F2的面积S=××2×=.故选C.
椭圆的标准方程
(1)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.
(2)已知椭圆C:+=1(a>b>0),A为右顶点.过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点,线段AP的中点为M,直线QM交x轴于N(2,0),椭圆C的离心率为,则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　.
解析:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由点P(2,)在椭圆上知+=1.
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
即2a=2×2c,=,
又c2=a2-b2,
联立得a2=8,b2=6,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),Q(-x0,-y0),A(a,0),所以
M(,),由于Q,N,M三点共线,所以=,解得a=6.由于椭圆离心率=,所以c=4,所以b2=a2-c2=20.所以椭圆的标准方程为+=1.
答案:(1)+=1　(2)+=1
求椭圆方程的方法
(1)定义法.定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法.待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),再用待定系数法求出m,n的值即可.
[针对训练]
(1)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则该椭圆的方程为　　　　　　　　　.
解析:(1)由题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),将A(c,y1)代入椭圆方程得+=1,由此求得=,所以|AB|=3=,又c=1,a2-b2=c2,可解得a=2,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.故选C.
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n).因为椭圆经过P1,P2两点,所以点P1,P2的坐标满足椭圆方程,
则解得
所以所求椭圆的方程为+=1.
答案:(1)C　(2)+=1
椭圆的几何性质
(1)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
(2)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若·=0,且|BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(3)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.(0,]
解析:(1)因为椭圆+=1的长轴在x轴上,所以解得6(2)因为·=0,所以∠ABF2=90°.
由|BF2|,|AB|,|AF2|成等差数列,
设|BF2|=x,|AB|=x+d,|AF2|=x+2d,
在Rt△ABF2中,x2+(x+d)2=(x+2d)2,解得x=3d,
即|BF2|=3d,|AB|=4d,|AF2|=5d,
由椭圆的定义得△ABF2的周长为
|BF1|+|BF2|+|AF1|+|AF2|=2a+2a=4a,
即3d+4d+5d=4a,a=3d,
在直角三角形BF1F2中,|BF2|=a=|BF1|,
|F1F2|=2c,则a2+a2=(2c)2,故a=c,
即e==.故选A.
(3)如图所示,因为线段PF1的中垂线经过F2,所以|PF2|=|F1F2|=2c,
即椭圆上存在一点P,使得|PF2|=2c,所以a-c≤2c1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.
2.求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种常用方法:
(1)求出a,c,代入公式e=.
(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值或取值范围.
[针对训练]
(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
(2)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为(　　)
A.1- B.2-
C. D.-1
解析:(1)设a,b,c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,
依题意知,当三角形的高为b时面积最大,
所以×2cb=1,bc=1,
而2a=2≥2=2(当且仅当b=c=1时取等号),即长轴长2a的最小值为2.故选D.
(2)在Rt△PF1F2中,∠PF2F1=60°,
不妨设椭圆焦点在x轴上,且焦距|F1F2|=2,
则|PF2|=1,|PF1|=,
由椭圆的定义可知,方程+=1中,
2a=1+,2c=2,得a=,c=1,
所以离心率e===-1.故选D.
直线与椭圆
　直线与椭圆的位置关系
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)分别过F1,F2作l1,l2满足l1∥l2,设l1,l2与C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.
解: (1)易知椭圆过点(,1),
所以+=1,①
又=,②a2=b2+c2,③
由①②③得a2=4,b2=3,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
设直线l1:x=my-1,它与椭圆C的另一个交点为D.
与椭圆C的方程联立,消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0,y1+y2=,y1y2=,
则Δ=144(m2+1)>0,
所以|AD|=·,
又F2到l1的距离为d=,
所以=|AD|·d=.
令t=≥1,则=,
因为y=3t+在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1时,取得最大值3.
又=(|BF2|+|AF1|)·d=
(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|·d=,
所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
　椭圆中的弦长问题
斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(　　)
A.2 B. C. D.
解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
直线l的方程为y=x+t,
由消去y,
得5x2+8tx+4(t2-1)=0,
则x1+x2=-t,x1x2=.
所以|AB|=|x1-x2|=
·=
·=·,
当t=0时,|AB|max=.故选C.
解决椭圆中的弦长问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程求解.
　椭圆中的中点弦问题
已知椭圆+y2=1.
(1)过A(2,1)的直线l与椭圆相交,求l被截得的弦的中点轨迹方程;
(2)求过点P(,)且被P点平分的弦所在直线的方程.
解:(1)设弦的端点为N(x1,y1),Q(x2,y2),其中点是M(x,y),则x2+x1=2x,y2+y1=2y,由于点N,Q在椭圆上,
则有
①-②得=-=-,
所以-=,
化简得x2-2x+2y2-2y=0(包含在椭圆+y2=1内部的部分).
(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k=-=-,
因此所求直线方程是y-=-(x-),化简得2x+4y-3=0.
处理中点弦问题常用的求解方法
[针对训练]
(1)过椭圆+=1内一点P(3,1),且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)
A.4x+3y-13=0 B.3x+4y-13=0
C.4x-3y+5=0 D.3x-4y+5=0
(2)已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为(　　)
A.±1 B.± C. D.±
(3)椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为(　　)
A. B. C. D.
解析:(1)设所求直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=0.
因为P(3,1)是A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=2,故kAB==-,
直线AB的方程为y-1=-(x-3),
即3x+4y-13=0.故选B.
(2)由消去y并整理,
得3x2+4mx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
由题意,得|AB|==
=,解得m=±1.故选A.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则a+b=1,a+b=1,
两式相减得a-a=-(b-b),
即=-1,
所以×(-1)×=-1,
所以=.故选B.
若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
解析:设点P(x0,y0),则+=1,即=3-.因为点F(-1,0),所以·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2,2],所以(·)max=6.故选C.
已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
解析:以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,该圆与直线bx-ay+2ab=0相切,
所以=a,即2b=,
所以a2=3b2,
因为a2=b2+c2,
所以=,所以e==.故选A.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
椭圆的定义及其应用 3,4,5
椭圆的标准方程 2,7,9
椭圆的几何性质 1,8 10,12,13
直线和椭圆的位置关系 6 11
综合问题 14,15 16
1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:因为a2=4+22=8,所以a=2,
所以e===.故选C.
2.“2A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若方程+=1表示椭圆,
则有所以2故“23.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为(　C　)
A. B.3 C. D.
解析:由题意知
从而|PF1||PF2|=18.
因为=×18=×2h(其中h为点P到x轴的距离),所以h=.故选C.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)
A.13 B.12 C.9 D.6
解析:由题a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=6,
所以|MF1|·|MF2|≤()2=9(当且仅当|MF1|=|MF2|=3时, 取“=”).
故选C.
5.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若│AF2│=2│F2B│,│AB│=│BF1│,则C的方程为(　B　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析:不妨设|F2B|=m,
故|F1B|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m.
由椭圆定义得|F1B|+|F2B|=2a=4m,
故|F2B|=a,|BF1|=a,
|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.
在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得
由二角互补可得=-,解得a2=3,故b2=2,方程为+=1.故选B.
6.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是(　A　)
A. B. C. D.
解析:设A(x1,y2),B(x1,y2),则+=1,+=1,作差得+ =0,即
+=0,两边同时除以x1-x2即得+·=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,=-,代入得+=0,所以=,e=.故选A.
7.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为　　　　　　　　.
解析:由题意知,|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,①又由椭圆的定义知|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,②
联立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=a,|AF1|=|BF1|=a,
所以=|AB|·|AF2|sin 60°=4,
所以a=3,|F1F2|=|AB|=2,
所以c=,所以b2=a2-c2=6,
所以椭圆C的方程为+=1.
答案:+=1
8.椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率为　　　　.
解析:由y=(x+c)知直线的倾斜角为60°,
所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°.
所以|MF1|=c,|MF2|=c.
又|MF1|+|MF2|=2a,
所以c+c=2a,即e==-1.
答案:-1
9.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)与椭圆+=1有相同的离心率且经过点(2,-);
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.
解:(1)由题意,设所求椭圆的方程为+=t1或+=t2(t1,t2>0),
因为椭圆过点(2,-),
所以t1=+=2或t2=+=.
故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),
由已知条件得
解得a=4,c=2,所以b2=12.
故椭圆方程为+=1或+=1.
10.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是(　C　)
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.[,1)
解析:从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A,P′B,则两切线形成的∠AP′B最小.
若椭圆C1上存在点P,所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需 ∠AP′B≤90°,
即α=∠AP′O≤45°,
所以sin α=≤sin 45°=.
又b2=a2-c2,
所以a2≤2c2,所以e2≥,即e≥.
又0所以≤e<1,即e∈[,1).故选C.
11.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　A　)
A. B. C. D.
解析: 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N(0,),由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,
即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.
12.(多选题)(2021·广东韶关高三一模)设P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c>0),若∠F1PF2是直角,则(　ABC　)
A.|OP|=c(O为原点)
B.=b2
C.△F1PF2的内切圆半径r=a-c
D.=a+c
解析:Rt△F1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=|F1F2|=c,故A正确;
设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,
m+n=2a,
所以mn=[(m+n)2-(m2+n2)]=2b2,
所以=mn=b2,故B正确;
=(m+n+2c)·r=b2,r====a-c,故C正确;
|PF1|=a+c,当且仅当P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2不构成三角形,故D错误.
故选ABC.
13.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上,直线l平行于OM且在y轴上的截距为m,直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点.下面结论正确的有(　ABC　)
A.椭圆C的方程为+=1
B.kOM=
C.-2D.m≤-2或m≥2
解析:由题意,得解得
故椭圆C的方程为+=1,A正确;由于kOM==,B正确;因为直线l的斜率k=kOM=,又l在y轴上截距为m,所以l的方程为y=x+m.
由得x2+2mx+2m2-4=0.
因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以Δ= (2m)2-4(2m2-4)>0,解得-214.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
解析:因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,
所以四边形PF1QF2为矩形,
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=8,m2+n2=48,
所以64=(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn,
所以mn=8.
答案:8
15.椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=|BF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
解:(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,4a2+4b2=5a2, 4a2+4(a2-c2)=5a2,所以3a2=4c2.
所以e==.
(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:+=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由消去y,
得x2+4(2x+2)2-4b2=0,
即17x2+32x+16-4b2=0.
Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>.
x1+x2=-,x1x2=.
因为OP⊥OQ,所以·=0,
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,
5x1x2+4(x1+x2)+4=0.
从而-+4=0,
解得b=1,满足b>.
所以椭圆C的方程为+y2=1.
综上可知,直线l的方程为2x-y+2=0,
椭圆C的方程为+y2=1.
16.已知椭圆C的方程为+=1,斜率为k(k≠0)的直线与C相交于M,N两点.
(1)若G为MN的中点,且kOG=-,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,若Р是椭圆C的左顶点,kPM·kPN=-,F是椭圆的左焦点,要使F在以MN为直径的圆内,求k的取值范围.
解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点G(x0,y0),代入椭圆方程得
①-②得
+=0,
可得kMN==-·=-·=-·=k,
因为kOG=-=,所以-·(-)=k,
所以a2=4,
椭圆C的方程为+=1.
(2)设MN方程为y=kx+m,
则
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·()+2m=,
y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·+km()+m2
=,
kPM·kPN=·==
==-,
解得m=2k(舍去)或m=-k,
若F在以MN为直径的圆内,则·<0,
即·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2<0,
-++1<0,
即4k2-12+8k2+3k2-12k2+3+4k2<0,
即7k2-9<0,且k≠0,解得-所以k的取值范围为(-,0)∪(0,).

展开更多......

收起↑