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第4节　双曲线
1.了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且c>a>0.
(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时,点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.
(2)若2a=2c,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>2c,则轨迹不存在;若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤-a, y∈R x∈R,y≤-a或y≥a
对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±x y=±x
离心率 e=,e∈(1,+∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c 的关系 c2=a2+b2
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
2.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为-=t(t≠0).
3.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
5.焦点三角形的面积:P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2的面积为.
1.设P是双曲线 -=1上一点,F1,F2分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(　B　)
A.1 B.17
C.1或17 D.8
解析:由题意知|PF1|=9所以P点在双曲线的左支,
则有|PF2|-|PF1|=2a=8,
故|PF2|=|PF1|+8=17.
故选B.
2.若双曲线 -=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为(　A　)
A. B.5 C. D.2
解析:由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为±=0,
即bx±ay=0,
所以2a==b.
又a2+b2=c2,
所以5a2=c2,
所以e2==5,
所以e=.故选A.
3.若双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为3x+2y=0,则实数m=(　A　)
A. B. C. D.
解析:双曲线C的渐近线方程为-y2=0,
即±y=0,
则=,m=.
故选A.
4.已知方程 -=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　A　)
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
解析:因为方程-=1表示双曲线,
所以(m2+n)·(3m2-n)>0,
解得-m2由双曲线性质,知c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2(其中c是半焦距),
所以焦距2c=2×2|m|=4,
解得|m|=1,
所以-15.(选择性必修第一册P124练习T2改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为　　　　.
解析:设双曲线的方程为-=±1(a>0),
把点A(3,-1)代入,得a2=8(舍负),
故所求方程为-=1.
答案:-=1
双曲线的定义及应用
(1)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(　　)
A. B. C. D.
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　.
解析:(1)由双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,
所以|PF1|=2|PF2|=4,
则cos∠F1PF2==
=.故选C.
(2) 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
答案:(1)C　(2)x2-=1(x≤-1)
1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.
2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.
[针对训练]
(1)(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
(2)(2021·广西一模)已知双曲线 -=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且斜率为- 的直线与双曲线在第一象限的交点为A,且 ·=0,若a=-1,则F2的坐标为(　　)
A.(1,0) B.(,0)
C.(2,0) D.(+1,0)
解析:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n,P为双曲线右支上一点,则=mn=4,m-n=2a,m2+n2=4c2,又e==,所以a=1,故选A.
(2)因为·=0,
所以AF1⊥AF2.
又因为=-,
所以∠AF1F2=,
则AF1=c,AF2=c.
根据双曲线的定义可得 c-c=2a,
则c==2,则F2的坐标为(2,0).
故选C.
双曲线的标准方程及性质
　双曲线的离心率(或范围)
(1)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)
A.(1,) B.(,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
(2)(2019·全国 Ⅰ 卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　　　.
解析:(1)双曲线的渐近线方程为y=±x,由极限思想,设过F1且与一条渐近线平行的直线l的方程为y=(x+c),即bx-ay+bc=0.
依题意,若在双曲线右支上存在点P,使得点F2到直线PF1的距离为a,则点F2到直线l距离大于a,
即d=>a,
所以2b>a,
所以>,e===>=,即e∈(,+∞).故选B.
(2)不妨设点B(m,m)(m>0),
故=(-c-m,-m),=(c-m,-m).
由·=0,
可得m2-c2+m2=0,解得m=a,故B(a,b).
又=,
故A(,),代入直线y=-x可得=-·,解得c=2a,故离心率为2.
答案:(1)B　(2)2
求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.
　双曲线的渐近线方程
双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
解析:法一(直接法)　由题意知,e==,
所以c=a,
所以b==a,
即=,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
法二(公式法)　由e===,
得=,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
故选A.
求渐近线方程时,利用c2=a2+b2转化为关于a,b的方程.双曲线的渐近线的斜率与离心率的关系:k=±=±=±=±.
　由几何性质确定标准方程
已知双曲线 -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:由d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.
因为双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
所以=2,
所以=4,
所以=4,解得a2=3.
所以双曲线的方程为-=1.
故选C.
求双曲线的方程时,将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a,b,c的关系式,结合c2=a2+b2,列出未知参数的方程,解方程后即可求出双曲线的方程.
[针对训练]
(1)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(3)以椭圆+y2=1的焦点为顶点,长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是　　　　.
(4)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　.
(5)已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同的两点,则k的取值范围是　　　　.
解析:(1)由题意知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可得点A的坐标为(a,b).
设右焦点为F(c,0),由已知可得c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,
所以有(c-a)2+b2=c2.
又c2=a2+b2,则c=2a,即a==2,
所以b2=c2-a2=42-22=12,
故双曲线的方程为-=1.故选A.
(2)由题意得=,c2=a2+b2=25,
所以a=4,b=3,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.故选B.
(3)由题意可知所求双曲线方程可设为-=1(a>0,b>0),则a==,c=2,
所以b2=c2-a2=4-3=1,
故所求渐近线方程为y=±x.
(4)如图,由题意知|AB|=,|BC|=2c.
又2|AB|=3|BC|,
所以2×=3×2c,
即2b2=3ac,
所以2(c2-a2)=3ac,
两边同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,
解得e=2(负值舍去).
(5)由直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1联立方程组,消y得(1-k2)x2+2kx-2=0,
因为该方程有两个不等且都大于1的根,
所以
解得1答案:(1)A　(2)B　(3)y=±x　(4)2　
(5)(1,)
直线与双曲线的位置关系
已知双曲线-=1的左焦点为F1,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则直线l斜率的取值范围为(　　)
A.(-,)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(-,)
D.(-∞,-)∪(,+∞)
解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,当直线l与渐近线平行时,直线l与双曲线只有一个交点.当直线l的斜率大于零时,要使直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则需直线l的斜率k>;当直线l的斜率小于零时,要使直线l与双曲线的左支交于A,B两点,则需直线l的斜率k<-.又当直线l的斜率k=0时,不满足题意,故直线l斜率的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).故选B.
解决与直线与双曲线的位置关系有关的问题时,有时利用数形结合思想,有时利用方程思想.根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
[针对训练]
(1)已知F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,直线l:+=1与C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线与x轴交于点T(-5c,0),则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l有(　　)
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
解析:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为S(x0,y0),则b2-a2=a2b2,b2-a2=a2b2,两式相减可得b2(-)=a2(-),可得b2(x1-x2)(x1+x2)=a2(y1-y2)(y1+y2),即2b2(x1-x2)x0=2a2(y1-y2)y0,所以kMN=-==,即-·=.①
由kMN·kST=-1,可得-·=-1.②
由①②可得x0=-,y0=5b,即S(-,5b).
又点S在直线MN上,所以-+5=1,解得e==.故选D.
(2)当直线l的倾斜角为90°时,|AB|==6,故当直线l与双曲线的右支交于A,B两点时,满足题意的直线l有1条;当直线l的倾斜角为0°时,|AB|=2<6,故当直线l与双曲线的左、右两支分别交于一点时,还可作出2条直线l,使得|AB|=6,故满足题意的直线l有3条.故 选B.
已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右焦点分别为F1,F2,点A在双曲线C上,若△AF1F2的周长为10a,则△AF1F2的面积为(　　)
A.2a2 B.a2 C.30a2 D.15a2
解析:由双曲线的对称性不妨设点A在双曲线的右支上,由e==2,得c=2a,
所以△AF1F2的周长为|AF1|+|AF2|+|F1F2|=|AF1|+|AF2|+4a.
又△AF1F2的周长为10a,
所以|AF1|+|AF2|=6a.
又因为|AF1|-|AF2|=2a,
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,
在△AF1F2中,|F1F2|=4a,
所以cos∠F1AF2===.
又0<∠F1AF2<π,
所以sin∠F1AF2=,
所以=|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2=×4a×2a×=a2.故选B.
已知双曲线-=1上存在两点P,Q关于直线y=x+b对称,且PQ的中点M在抛物线y2=9x上,则实数b的值为(　　)
A.0或-10 B.0或-2
C.-2 D.-10
解析:因为点P,Q关于直线y=x+b对称,
所以PQ的垂直平分线为y=x+b,
所以直线PQ的斜率为-1.
设直线PQ的方程为y=-x+m,
由得x2+4mx-2m2-6=0,
所以xP+xQ=-4m,
所以xM=-2m,
所以M(-2m,3m).
因为PQ的中点M在抛物线y2=9x上,
所以9m2=9·(-2m),
解得m=0或m=-2,
又PQ的中点M也在直线y=x+b上,
得b=5m,
所以b=0或-10.故选A.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
双曲线的定义及应用 3,4
双曲线的标准方程 8,9
双曲线的几何性质 1,2,5,6 12,13 14
综合问题 7 10,11 15
1.经过点M(2,2)且与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程是(　D　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:设所求双曲线的方程为-=λ,
将点M(2,2)代入得-=λ,
解得λ=-6,
所以双曲线方程为-=1.
故选D.
2.若实数k满足0A.离心率相等 B.虚半轴长相等
C.实半轴长相等 D.焦距相等
解析:由03.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=4b,且双曲线的焦距为2,则该双曲线的方程为(　A　)
A.-y2=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-=1
解析:由题意可得
解得则该双曲线的方程为-y2=1.
故选A.
4.已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为(　A　)
A.1 B. C. D.
解析:在双曲线-y2=1中,a=,b=1,c=2.不妨设P点在双曲线的右 支上,
则有|PF1|-|PF2|=2a=2,
又|PF1|+|PF2|=2,
所以|PF1|=+,|PF2|=-.
又|F1F2|=2c=4,
而|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以PF1⊥PF2,
所以=×|PF1|×|PF2|=×(+)×(-)=1.故选A.
5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则双曲线C的离心率为(　A　)
A. B. C. D.2
解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),
以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.
若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为bcos 30°=b,
可得=b,
即=,
可得离心率为e=.
故选A.
6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A(A在第一象限内),以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B,若BF∥OA,则双曲线C的离心率为(　A　)
A. B. C. D.2
解析:因为AF⊥OF,
所以点F在圆上.
又BF∥OA,
所以∠AOF=∠OFB,
而∠AOF=∠BOF,
所以△OBF是等腰三角形,
所以∠OAB=∠BAF=∠BOF=∠AOF.
又因为∠OAB+∠BAF+∠AOF=90°,
所以∠AOF=30°,
所以=tan 30°=,
所以e====.故选A.
7.(多选题)(2021·广东深圳一模)设F1,F2分别是双曲线C: -=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有(　AC　)
A.m=2
B.当n=0时,双曲线C的离心率是2
C.F1到渐近线的距离随着n的增大而减小
D.当n=1时,双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍
解析:对于选项A,由双曲线的方程可得a2=m+n,b2=m-n,
所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,
因为2c=4,
所以c=2,
所以c2=2m=4,可得m=2,故选项A正确;
对于选项B,当n=0时,双曲线C:-=1,此时a2=b2=2,c2=4,
所以离心率e==,故选项B不正确;
对于选项C,在双曲线C:-=1中,由选项A知,m=2,a2=2+n, b2=2-n,且双曲线的渐近线方程为y=±x,
不妨取焦点F1(-2,0),则F1到渐近线的距离d==b=,
所以F1到渐近线的距离随着n的增大而减小,故选项C正确;
对于选项D,当n=1时,a==,b==1,
所以实轴长为2,虚轴长为2,不满足双曲线C的实轴长是虚轴长的两倍,故选项D不正确.
故选AC.
8.(2021·广东汕头高三一模)写一个焦点在y轴上且离心率为 的双曲线的标准方程　.
解析:取c=,则e==,可得a=1,
所以b==,
因此,符合条件的双曲线的标准方程为y2-=1.
答案:y2-=1(答案不唯一,符合要求就可以)
9.(2021·辽宁铁岭高三一模)已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的方程为　.
解析:由题意得椭圆焦点为(±,0),
所以c=,
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则=,
由解得
所以双曲线的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
10.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点F(-1,0),过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的面积为,则下列结论正确的有(　ABD　)
A.双曲线C的方程为4x2-=1
B.双曲线C的两条渐近线所成的锐角为60°
C.F到双曲线C的渐近线的距离为
D.双曲线C的离心率为2
解析:因为双曲线的左焦点为F(-1,0),
所以c=1,
又因为过F与x轴垂直的直线与双曲线交于A(-1,),B(-1,-),
所以△AOB的面积为S=×1×=,
即=,
又a2+b2=c2=1,
所以a=,b2=,
所以双曲线C的方程为4x2-=1,故A正确;
则双曲线C的渐近线方程为y=±x,
所以两渐近线的夹角为60°,故B正确;
F到双曲线C的渐近线的距离为d=,故C错误;
双曲线C的离心率为e===2,故D正确.故选ABD.
11.(多选题)已知双曲线C:-=1的左、右两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是(　AC　)
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2<90°
C.直线BE的斜率为
D.∠PAB>90°
解析:如图,双曲线C关于原点对称,
又直线y=kx过原点,
所以A,B关于原点对称,
由|OA|=|OB|,|OF1|=|OF2|得四边形AF1BF2为平行四边形,A正确;
当k→0,P点趋近于右顶点,此时∠F1PF2趋近于平角,因此不可能有 ∠F1PF2<90°,B错误;
设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),
由AE⊥x轴知E(x0,0),k=,
而kBE===k,C正确;
△APB中,∠APB>∠AEB>∠AEO=90°,
因此∠PAB<90°,D错误.故选AC.
12.已知点F为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx(k>0)与E交于不同象限内的M,N两点,若MF⊥NF,设∠MNF=β,且β∈[,],则该双曲线的离心率的取值范围是(　D　)
A.[,+] B.[2,+1]
C.[2,+] D.[,+1]
解析:如图,设左焦点为F′,连接MF′,NF′,
令|MF|=r1,|MF′|=r2,
则|NF|=|MF′|=r2,
由双曲线定义可知r2-r1=2a,①
因为点M与点N关于原点对称,且MF⊥NF,
所以|OM|=|ON|=|OF|=c,
所以+=4c2,②
由①②得r1r2=2(c2-a2).
又知S△MNF=2S△MOF,
所以r1r2=2·c2·sin 2β,
所以c2-a2=c2·sin 2β,
所以e2=.
又因为β∈[,],
所以sin 2β∈[,],
所以e2=∈[2,(+1)2].
又e>1,
所以e∈[,+1].
故选D.
13.(2021·广东广州高三一模)已知圆(x-1)2+y2=4与双曲线C:-=1的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则C的离心率为　　　　.
解析:设k=,渐近线方程是y=±kx,由对称性可设M(x1,kx1),N(x1,-kx1),P(x2,kx2),Q(x2,-kx2),
则|MN|=2kx1,|PQ|=-2kx2,
所以2kx1=2×(-2kx2),x1=-2x2.①
由
得(1+k2)x2-2x-3=0,
x1+x2=,②
x1x2=-,③
①代入②得x2=-,x1=,
代入③得-=-,
解得1+k2=,
所以e====.
答案:
14.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆M: x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为该圆的圆心,则双曲线C的离心率为(　C　)
A. B. C. D.
解析:双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
圆M:x2+y2-6x+5=0化为标准方程(x-3)2+y2=4,
所以M(3,0),半径为2.
因为双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆M:x2+y2-6x+5=0 相切,
所以=2,
所以9b2=4b2+4a2,
所以5b2=4a2.
因为b2=c2-a2,
所以5(c2-a2)=4a2,
所以9a2=5c2,
所以e==,
所以双曲线的离心率为.故选C.
15.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当△APF的周长最小时,则点P的坐标为　　　　.
解析:如图,设E为双曲线的左焦点,由双曲线C的方程可知a2=1,b2=8,
所以c2=a2+b2=1+8=9,
所以c=3,
所以左焦点E(-3,0),
右焦点F(3,0),
因为|AF|==15,
所以当△APF的周长最小时,|PA|+|PF|最小.
由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2,
所以|PF|=|PE|+2,
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15,当且仅当A,P,E三点共线且点P在线段AE上时,等号成立,
所以△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32.
直线AE的方程为y=2x+6,将其代入双曲线的方程得x2+9x+14=0,
解得x=-7(舍)或x=-2,
由x=-2,得y=2(负值已舍),
所以点P的坐标为(-2,2).
答案:(-2,2)

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