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第5节　抛物线
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的 准线.
当定点在直线上时,它的轨迹是过定点与此直线垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点 坐标 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 坐标 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
离心率 e=1
准线 方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点为M(x0,y0),|AB|=l,则:
(1)x1x2=.
(2)y1y2=-p2.
(3)l=x1+x2+p,因为x1+x2≥2=p,所以当x1=x2时,l取得最小值,最小值为2p,此时弦AB垂直于x轴,所以抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短.
(4)l=(θ为弦AB的倾斜角).
(5)+为定值.
(6)以AB为直径的圆与准线相切.
(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(8)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=(θ为弦AB的倾斜角).
(9)S△AOB=(θ为弦AB的倾斜角).
(10)过焦点弦的端点的切线互相垂直,且交点在准线上.
1.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离为(　D　)
A.2 B.1
C. D.
解析:由y=4x2,有x2=y,
所以2p=,p=,即抛物线的焦点到准线的距离为.故选D.
2.抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为(　C　)
A.(8,8) B.(8,-8)
C.(8,±8) D.(-8,±8)
解析:由抛物线的标准方程可得其准线方程为x=-2,设点P的坐标为P(xP,yP),由抛物线的定义有xP-(-2)=10,所以xP=8,结合抛物线方程可得yP=±=±8,据此可得点P的坐标为(8,±8).故选C.
3.(选择性必修第一册P136练习T3改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　B　)
A.9 B.8 C.7 D.6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.
4.顶点在原点,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是　　　　　　　　　　.
解析:设抛物线的标准方程是y2=kx或x2=my,代入点P(-2,3),
解得k=-,m=,
所以y2=-x或x2=y.
答案:y2=-x或x2=y
5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是　　　　.
解析:由题意得,Q(-2,0),当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
由Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,
解得-1≤k≤1.
答案:[-1,1]
抛物线的定义及应用
1.设抛物线C:y=x2的焦点为F,直线l交抛物线C于A,B两点,|AF|=3,线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,则|BF|=(　B　)
A. B.5
C.4 D.3
解析:抛物线C的方程可化为x2=4y,
由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4,可得|AF|+|BF|=8.
又|AF|=3,所以|BF|=5.故选B.
2.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　B　)
A. B.2
C. D.3
解析:由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.故选B.
3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　　　.
解析:由y2=8x可得F(2,0),FM的斜率一定存在,设为k,
则直线FM的方程为y=k(x-2),
令x=0可得N(0,-2k),
又M为FN中点,
所以M(1,-k),代入y2=8x得k2=8,
所以|FN|====6.
答案:6
应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+或|PF|=|y0|+.
抛物线的标准方程与几何性质
　求抛物线的标准方程
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B(点A在第一象限),交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(　　)
A.y2=x B.y2=9x
C.y2=x D.y2=3x
解析:分别过点A,B作AA1⊥l,BB1⊥l,且垂足分别为A1,B1(图略),
由已知条件|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BB1|,
所以∠BCB1=30°.
又|AA1|=|AF|=3,
所以|AC|=2|AA1|=6,
所以|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,
所以F为线段AC的中点.
故点F到准线的距离为p=|AA1|=,
故抛物线的方程为y2=3x.
故选D.
求抛物线的标准方程的方法
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.
(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
　抛物线的几何性质
抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,当= 时,△AMF的面积为(　　)
A.1 B. C.2 D.2
解析:过M作MP垂直于准线,垂足为P(图略),
则===,
则cos∠AMP=.
又0°<∠AMP<180°,
则∠AMP=45°,此时△AMP是等腰直角三角形,
设M(m,),
则由|MP|=|PA|得|m+1|=,
解得m=1,M(1,2),
所以△AMF的面积为×2×2=2.
故选C.
抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.
(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.
[针对训练]
(1)在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|=　　　　.
(2)设点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过抛物线上一点P作其准线的垂线,垂足为Q,已知直线FQ交y轴于点A(0,2)且△PQF的面积为10,则该抛物线的方程为　　　　　　　　.
解析:(1)法一　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为直线AF的倾斜角为120°,
所以∠AFO=60°.
又tan 60°=,
所以yA=2.
因为PA⊥l,
所以yP=yA=2.
将其代入y2=4x,得xP=3,
所以|PF|=|PA|=3-(-1)=4.
法二　抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为PA⊥l,
所以|PA|=|PF|.
又因为直线AF的倾斜角为120°,
所以∠AFO=60°,
所以∠PAF=60°,
所以△PAF为等边三角形,
所以|PF|=|AF|==4.
(2)根据题意作出如图所示的图象.
其中,F(,0),直线QE为抛物线的准线,且准线方程为x=-,PQ⊥QE,A(0,2).
设P(x0,y0),则Q(-,y0),|PQ|=x0+.
在△QEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,
即|QE|=4,y0=4.
因为△PQF的面积为10,
所以(x0+)×4=10,
即x0=5-.
因为=2px0,
所以42=2p(5-),
即p2-10p+16=0.
所以p=2或p=8,
所以该抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
答案:(1)4　(2)y2=4x或y2=16x
直线与抛物线的位置关系
　直线与抛物线的综合
(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解:设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F(,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-=,得t=-,
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=,故|AB|=.
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
　焦点弦问题
过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于(　　)
A.4 B. C.5 D.6
解析:法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方,设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E(图略),
设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,
则|AB|=3m,
由抛物线的定义知
|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,
所以cos θ==,
所以tan θ=2,则sin 2θ=8cos 2θ,
所以sin 2θ=.
又y2=4x,知2p=4,
故利用弦长公式|AB|==.
法二　因为|AF|=2|BF|,+=+===1,
解得|BF|=,|AF|=3,
故|AB|=|AF|+|BF|=.
故选B.
1.有关直线与抛物线相交的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=|xA|+|xB|+p或|AB|=|yA|+|yB|+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.
2.涉及焦点将线段分成为线段比的问题,常用数形结合求解.涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
[针对训练]
(1)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为(　　)
A.5 B.6 C. D.
(2)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点,与抛物线的准线交于M,且=3,则|FP|等于(　　)
A. B. C. D.
(3)如图所示,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A,B两点.
①若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;
②若线段|AB|=20,求直线l的方程.
(1)解析:因为F是AC的中点,且|AF|=4,所以p=|AF|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AF|=x1+=x1+1=4,
所以x1=3.
又x1x2==1,
所以x2=,
所以|AB|=x1+x2+p=3++2=.
故选C.
(2)解析:设直线l的倾斜角为θ,
过点P作PN垂直准线于点N(图略),
由抛物线定义知
|PN|=|PF|.
因为|FM|=3|FP|,
所以|FM|=3|PN|,
即|PM|=2|PN|.
在Rt△MNP中,cos∠MPN=.
因为PN∥x轴,
所以cos θ=,
由抛物线焦半径的性质可得
|PF|===,
即|FP|=.
故选C.
(3)解:①由已知,得抛物线的焦点为F(1,0).
因为线段AB的中点在直线y=2上,
所以直线l的斜率存在,
设直线l的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
所以2y0k=4.
又y0=2,
所以k=1,故直线l的方程是y=x-1.
②设直线l的方程为x=my+1,与抛物线的方程联立得
消去x,得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16(m2+1)>0.
|AB|=|y1-y2|
=·
=·
=4(m2+1),
所以4(m2+1)=20,
解得m=±2,
所以直线l的方程是x=±2y+1,
即x±2y-1=0.
与抛物线有关的最值问题
　到焦点与到定点距离之和最小问题
(1)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)
A.(0,0) B.(,1)
C.(1,) D.(2,2)
(2)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是　　　　.
解析:(1)过点M作准线的垂线,垂足为N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).故选D.
(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到直线y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
答案:(1)D　(2)5
　到定直线的距离最小问题
已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)
A. B.2
C. D.3
解析:由题意可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,如图所示,所以最小值是=2.故选B.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
[针对训练]
(1)在抛物线y=2x2上有一点P,它到点A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是(　　)
A.(-2,1) B.(1,2)
C.(2,1) D.(-1,2)
(2)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B. C.2 D.-1
解析:(1)设直线l为抛物线y=2x2的准线,F为其焦点,作PN⊥l于点N,AN1⊥l于点N1(图略),由抛物线的定义,知|PF|=|PN|,
所以|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,即当且仅当A,P,N三点共线时,取等号,
所以点P的横坐标与点A的横坐标相同,即为1,则可排除A,C,D.故选B.
(2)由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d+|PF|-1.易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.故选D.
若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍,则p等于(　　)
A. B.1 C. D.2
解析:由题意得3x0=x0+,
即x0=,即A(,),
代入抛物线方程,得=2,
因为p>0,所以p=2.
故选D.
已知直线l过抛物线y2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是(　　)
A.y2=-12x B.y2=-8x
C.y2=-6x D.y2=-4x
解析:过点A,B分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为A1,B1(图略),
由抛物线定义知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
则|AA1|+|BB1|=2(2+)=8,
解得p=4,
所以此抛物线的方程是y2=-8x.
故选B.
设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·等于(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:设M(x1,y1),N(x2,y2).
由已知可得直线的方程为y=(x+2),
即x=y-2,由
得y2-6y+8=0.
由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,
所以x1+x2=(y1+y2)-4=5,
x1x2==4,
因为F(1,0),
所以·=(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.
故选D.
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
抛物线的定义 2,5,6,7
抛物线的标准方程 3,8
抛物线的几何性质 1,4 11
直线与抛物线的综合 9 10,12,13,14 15
1.抛物线y=8x2的焦点坐标是(　A　)
A.(0,) B.(0,) C.(0,2) D.(0,4)
解析:因为抛物线的标准方程为x2=y,
所以焦点坐标为(0,).
故选A.
2.若抛物线x2=16y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的 3倍,则y0等于(　D　)
A. B. C.1 D.2
解析:抛物线x2=16y上一点(x0,y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍,可得y0+=3y0,所以y0===2.故选D.
3.点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是(　D　)
A.y=12x2
B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2
D.y=x2或y=-x2
解析:分两类a>0,a<0,可得y=x2或y=-x2.故选D.
4.已知P为抛物线y=x2上的动点,点P在x轴上的射影为点M,点A的坐标是(6,),则|PA|+|PM|的最小值是(　B　)
A.8 B. C.10 D.
解析:依题意可知焦点F(0,),准线方程为y=-,延长PM交准线于点H(图略).
则|PF|=|PH|,|PM|=|PF|-,
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-,
即求|PF|+|PA|的最小值.
因为|PF|+|PA|≥|FA|,
又|FA|==10.
所以|PM|+|PA|≥10-=.
故选B.
5.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　C　)
A.2 B.2 C.2 D.4
解析:设P(xP,yP)(yP>0),
由抛物线定义知,xP+=4,
所以xP=3,yP==2,
因此S△POF=×2×=2.
故选C.
6.(2021·广西名校模拟)已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为(　B　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:过M作MP垂直于准线,垂足为P(图略),利用抛物线的定义知|MP|=|MF|,
当M,A,P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小,且最小值为|CP|-r= |CP|-1.
因为抛物线的准线方程y=-1,圆心C(1,4)
所以|CP|=4+1=5,
所以(|MA|+|MF|)min=5-1=4.
故选B.
7.已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　C　)
A.2 B.3 C. D.4
解析:设直线AB的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
由 y2-2my-2t=0 y1y2=-2t,
由OA⊥OB x1x2+y1y2=+y1y2=0 y1y2=-4,
所以t=2,即直线AB过定点(2,0).
所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2-=.故选C.
8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽　　　　m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
由题意将点A(2,-2)代入x2=-2py,得p=1,
故x2=-2y.
设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,
故水面宽为2m.
答案:2
9.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,且直线l与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
解析:因为F是抛物线C:y2=16x的焦点,
所以F(4,0).
又过F的直线l与直线x+y-1=0垂直,
所以直线l的方程为y=(x-4),
代入抛物线C:y2=16x,
易得3x2-40x+48=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=,x1x2=16,
|AB|=·=.
答案:
10.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　ABC　)
A.p=2 B.F为AD中点
C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2
解析:由题意F(,0),直线l的斜率为,
则直线方程为y=(x-),
联立
得12x2-20px+3p2=0.
解得xA=p,xB=p,
由|AF|=p+=2p=4,得p=2.
所以抛物线的方程为y2=4x.
所以xB=p=,则|BF|=+1=,
|BD|===,
所以|BD|=2|BF|.
又|BD|+|BF|=+=4,
则F为AD中点.
所以运算结论正确的是ABC.故选ABC.
11.(2021·江苏常州高三一模)过抛物线y2=2x上一点P作圆C:x2+(y-6)2=1的切线,切点为A,B,则当四边形PACB的面积最小时,P点的坐标是(　C　)
A.(1,) B.(,)
C.(2,2) D.(,)
解析:由题意可设P(a2,a),
当四边形PACB的面积最小时,
点P到圆心C(0,6)的距离最小,
即|PC|2=+(6-a)2=a4+a2-12a+36,
可令f(a)=a4+a2-12a+36,
则f′(a)=a3+2a-12=(a-2)(a2+2a+6),
则当f′(a)=0时,a=2,
此时取得最小值,四边形PACB的面积为
2××1×==,所以P(2,2).故选C.
12.在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=2p1x(p1>0)与x2=2p2y(p2>0)在第一象限的交点为A,若OA的斜率为2,则=　　　　.
解析:设A(x,y),
由y2=2p1x =,
x2=2p2y =,
则kOA=2==
故得A(4p2,p1),
代入抛物线得=2p1·4p2 =.
答案:
13.设F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,若|AF|-|BF|=4,则|AB|=　　　　.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2>0),则
|AF|-|BF|=(x1+)-(x2+)=x1-x2=4.
直线AB的方程为y=(x-),
由
得3x2-5px+p2=0,
所以x1+x2=p,x1x2=p2,
所以=-4x1x2=p2=42,
因为p>0,
所以p=3,
所以|AB|=x1+x2+p=p=8,
答案:8
14.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在抛物线C上,若|AO|=|AF|=.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l与抛物线C交于P,Q两点,若线段PQ的中点的纵坐标为1,求△OPQ的面积的最大值.
解:(1)因为点A在抛物线C上,|AO|=|AF|=,所以点A的纵坐标为,
所以+=,
所以p=2,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)由题意知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+b(b>0),
代入抛物线方程,可得x2-4kx-4b=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=-4b,
所以y1+y2=4k2+2b,
因为线段PQ的中点的纵坐标为1,
所以2k2+b=1,
即2k2=1-b≥0,
所以0S△OPQ=b|x1-x2|
=b
=b
=b
=·(0设y=b3+b2,y′=3b2+2b>0,函数单调递增,
所以当b=1时,△OPQ的面积最大,最大值为2.
15.(2021·辽宁沈阳高三一模)已知抛物线x2=4y,点M(t,-2),t∈[-1,1],过M作抛物线的两条切线MA,MB,其中A,B为切点,直线AB与y轴交于点P,则的取值范围是　　　　.
解析:设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线y=x2,y′=x,
所以切线MA:x1x=2y1+2y,
同理切线MB:x2x=2y2+2y,
又点M是两条切线的交点,
所以x1t=2y1-4,x2t=2y2-4.
所以直线AB的方程为tx=-4+2y,
即y-2=.
此直线恒过P(0,2),则===-.
联立消去y,得x2-2tx-8=0,
所以x1+x2=2t,x1x2=-8,
所以=++2=-.
因为t∈[-1,1],
所以-∈[-,0],
即-≤++2≤0,
令m=,则-≤m++2≤0,
即
解得-2≤m≤-,
所以∈[-2,-],
即=-∈[,2].
答案:[,2]

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