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第6节　圆锥曲线的综合问题
1.掌握解决直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系的思想方法.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
3.理解数形结合的思想.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程.
例:由消去y,得ax2+bx+c=0.
(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则
Δ>0 直线与圆锥曲线C相交;
Δ=0 直线与圆锥曲线C相切;
Δ<0 直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,
若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;
若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|x1-x2|=
·
或|AB|=·|y1-y2|=·.
1.(1)过抛物线内(焦点所在区域)一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条与对称轴平行或重合的直线;
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线;
(3)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线.
2.(1)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两条与渐近线平行的直线;
(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线和两条与渐近线平行的直线;
(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条与渐近线平行的直线.
第一课时　最值、范围问题
最值问题
　利用目标函数求最值
已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1,F2,点P(-1,-1)且F1F2⊥OP(O为坐标原点).
(1)求抛物线C2的方程;
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求△PMN面积的最小值.
解:(1)因为F1(1,0),F2(0,),
所以=(-1,),
·=(-1,)·(-1,-1)=1-=0,
所以p=2,
所以抛物线C2的方程为x2=4y.
(2)设过点O的直线MN的方程为y=kx(k<0),
联立得(kx)2=4x,解得M(,),
联立得N(4k,4k2),
从而|MN|=|-4k|=
(-4k),
点P到直线MN的距离d=,
所以S△PMN=··(-4k)
=
=
=2(k+-2)(k++1),
令t=k+(t≤-2).
则S△PMN=2(t-2)(t+1),
当t=-2,即k=-1时,S△PMN取得最小值,最小值为8.
即当过原点的直线方程为y=-x时,
△PMN的面积取得最小值8.
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
　利用基本不等式求最值
已知椭圆M:+=1(a>0)的一个焦点为F(-1,0),左、右顶点分别为A,B,经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.
(1)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;
(2)设△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.
解:(1)由题意得,c=1,b2=3,
所以a2=4,
所以椭圆M的方程为+=1,
易求直线l的方程为y=x+1,
联立方程,得
消去y,得7x2+8x-8=0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),Δ=288,
x1+x2=-,x1x2=-,
所以|CD|=|x1-x2|=
·=.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1,
此时△ABD与△ABC的面积相等,|S1-S2|=0;
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),
联立方程,得
消去y,整理得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
Δ>0,且x1+x2=-,x1x2=,
此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y2+y1|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=,
因为k≠0,
所以上式=≤==(当且仅当k=±时,等号成立),
所以|S1-S2|的最大值为.
1.基本不等式不但可以直接解决和与积的不等问题,而且通过结合不等式性质、函数单调性等还可以解决其他形式的不等式.如:和与平方和、和与倒数和、和与根式和、和与两数之积的和等.
2.分析问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要求最值的变量设为函数.
3.利用基本不等式求函数的最值时,关键在于将函数变形为两项和或积的形式,然后用基本不等式求出最值.
[针对训练]
1.(1)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB的面积的最大值(O为坐标原点).
解:(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.
由
消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,
所以Δ=-2b2+2+>0,①
将AB的中点M(,)代入直线方程y=mx+,
解得b=-,②
由①②得m<-或m>.
故m的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
(2)令t=∈(-,0)∪(0,),
则t2∈(0,).
则|AB|=·,
且O到直线AB的距离为d=.
设△AOB的面积为S(t),所以
S(t)=|AB|·d=≤,
当且仅当t2=时,等号成立,此时满足t2∈(0,).
故△AOB面积的最大值为.
2.已知A,B分别为椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点,|AB|=4,且点(1,)在椭圆M上.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)若点P(x0,y0)(y0≠0)为直线x=4上任意一点,PA,PB分别交椭圆M于C,D两点,求四边形ACBD面积的最大值.
解:(1)由题意得a=2,
将点(1,)代入椭圆M的方程可得
+=1,
解得b2=2,
所以椭圆M的标准方程为+=1.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),
由题知A(-2,0),B(2,0),P(4,y0)(不妨设y0>0),则直线AP的方程为y=(x+2),
即x=-2,代入椭圆M的方程化简,
得y2-y=0,
得y1=,
同理可得y2=.
S四边形ACBD=S△ACB+S△ADB=|AB|·|y1-y2|
=2(+)
=32·
=32·
=32·.
令u=y0+≥2,当且仅当y0=时,等号成立,则S四边形ACBD==,
令g(u)=,易得g(u)在[2,+∞)上单调递减,
故g(u)有最大值,其最大值为g(2)=2,
所以四边形ACBD面积的最大值为2.
范围问题
已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(2,3)为其上一点,且|PF1|+|PF2|=8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx-4交椭圆C于A,B两点,且原点O在以线段AB为直径的圆的外部,试求实数k的取值范围.
解:(1)由题意可得解得
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得
(4k2+3)x2-32kx+16=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
由Δ>0,得(-32k)2-4×16(4k2+3)>0,
解得k>或k<-.①
原点O在以线段AB为直径的圆的外部,
则·>0,
所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-4)·(kx2-4)=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16=(k2+1)·-4k·+16=>0,
解得-由①②得实数k的取值范围是(-,-)∪(,).
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
[针对训练]
如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(1)设AB的中点为M,证明:PM垂直于y轴;
(2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
(1)证明:设P(x0,y0),A(,y1),B(,y2).
因为PA,PB的中点在抛物线上,
所以y1,y2为方程()2=4·,即y2-2y0y+8x0-=0的两个不同的实根.
所以y1+y2=2y0,
所以PM垂直于y轴.
(2)解:由(1)可知
所以|PM|=(+)-x0=-3x0,
|y1-y2|=2.
所以△PAB的面积
S△PAB=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.
因为+=1(-1≤x0<0),
所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5],
所以△PAB面积的取值范围是[6,].
知识点、方法 基础巩固练 综合运用练 应用创新练
最值问题 1,2
范围问题 3,4
1.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|+|BF|=1+2x0.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若x1x2+y1y2=-1,求的最小值.
解:(1)根据抛物线的定义知,|AF|+|BF|=x1+x2+p,x1+x2=2x0,
因为|AF|+|BF|=1+2x0,
所以p=1,
所以y2=2x.
(2)设直线l的方程为x=my+b,
代入抛物线的方程,得y2-2my-2b=0,
所以y1+y2=2m.
因为x1x2+y1y2=-1,
即+y1y2=-1,
所以y1y2=-2.
|AB|=|y1-y2|
=·
=2·,
x0===[(y1+y2)2-2y1y2]=m2+1,
所以=,
令t=m2+1,t∈[1,+∞],
则==≥.
即的最小值为.
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,-),A,B是椭圆C上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:x=8,且AA1⊥l,垂足为A1,BB1⊥l,垂足为B1,若D(3,0),且△A1B1D的面积是△ABD面积的5倍,求△ABD面积的最大值.
解:(1)依题意
解得
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线AB与x轴相交于点R(r,0),
S△ABD=|r-3|·|yA-yB|,
=×5×|-|,
由于=5S△ABD且|-|=|yA-yB|,
得5=5×|r-3|,r=4(舍去)或r=2,
即直线AB经过点F(2,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的直线方程为
x=my+2,
由
即(3m2+4)y2+12my-36=0,
y1+y2=,y1y2=,
S△ABD=|y1-y2|==12=,
令t=≥1,
所以S△ABD==,
因为3t+=3(t+),
所以3t+在[,+∞)上单调递增,
因为t在[1,+∞)上单调递增,
所以3t+≥4,
所以S△ABD≤3(当且仅当t==1,即m=0时等号成立),
故S△ABD的最大值为3.
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,原点到直线+=1的距离等于.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点Q(0,3),若椭圆C上总存在两个点A,B关于直线y=x+m对称,且3·<28,求实数m的取值范围.
解:(1)因为椭圆的离心率是,原点到直线+=1的距离等于,
所以
解得a2=4,b2=2,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)根据题意可设直线AB的方程为y=-x+n,联立
整理得3x2-4nx+2(n2-2)=0,
由Δ=(-4n)2-4×3×2(n2-2)>0,得n2<6.
设A(x1,-x1+n),B(x2,-x2+n),
则x1+x2=,x1x2=.
又设AB的中点为M(x0,-x0+n),
则x0==,-x0+n=.
由于点M在直线y=x+m上,
所以=+m,得n=-3m代入n2<6,
得9m2<6,
所以-因为=(x1,-x1+n-3),
=(x2,-x2+n-3),
所以·=2x1x2-(n-3)(x1+x2)+(n-3)2=-+(n-3)2= .
由3·<28,得3n2-6n+19<28,
即-1所以-1<-3m<3,即-1所以
解得-所以实数m的取值范围为(-,).
4.已知M为椭圆C:+=1上的动点,过点M作x轴的垂线,垂足为D,点P满足=.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若A,B两点分别为椭圆C的左、右顶点,F为椭圆C的左焦点,直线PB与椭圆C交于点Q,直线QF,PA的斜率分别为kQF,kPA,求的取值范围.
解:(1)设P(x,y),M(m,n),
依题意知D(m,0),且y≠0.
由=,得(m-x,-y)=(0,-n),
则有
又M(m,n)为椭圆C:+=1上的点,
所以+=1,
即x2+y2=25,
故动点P的轨迹E的方程为x2+y2=25(y≠0).
(2)依题意知A(-5,0),B(5,0),F(-4,0),
设Q(x0,y0).
因为线段AB为圆E的直径,
所以AP⊥BP,
设直线PB的斜率为kPB,
则==-kQFkPB=-kQFkQB=-·=-= -= ==(1+),
因为点P不同于A,B两点且直线QF的斜率存在,
所以-5又y=在(-5,-4)和(-4,5)上都是减函数,
所以(1+)∈(-∞,0)∪(,+∞),
故的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).

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