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2023 届高考数学一轮复习——不等式
不等式
【知识点讲解】
1.大小比较的方法
（1）作差法 （4）加入中间量
（2）作商法 （5）反证法
（3）构造函数 （6）放缩
1. 1 1例 （填“＞”“＜”或“=”）。
5 2 6 5
【答案】＜
1 1
【详解】分母有理化有 = 5 + 2 , = 6 + 5 ,5 2 6 5 显然 5 + 2 < 6 + 5 ,所以
1 < 1
5 2 6 5 。
1 1
例 2. 已知 + > 0 ，试比较 2 + 与 + 的大小。 2
1 1 2
【详解】 2 + 2 + = 2 +

2 =
1 1 = + 。
2 2 2 2
2
因为 + > 0 2 ≥ 0 + ， ，所以 2 2 ≥ 0
1 1
、所以 2 + 2 ≥ + 。
2. 不等式的性质
（1）对称性：a>b b（2）传递性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c；a>b，c>d a＋c>b＋d．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 acb>0，c>d>0 ac>bd．
（5）可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
n n
（6）可开方性：a>b>0 a> b(n∈N，n≥2)．
（7）分数性质： > > 0 , > 0 ,
+
＜ ， ＞ （ > 0 且 ≠ ）；
+
+
＞ ， ＜ （ > 0 且 ≠ ）
+
1 1 1 1
（8）倒数性质： > , > 0 ＜ ; < , > 0 ＞

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例 3：(多选)已知 a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( )
A．若 a>b，c>d，则 ac>bd B．若 ab>0，bc－ad>0 c d，则 － >0
a b
C．若 a>b，c>d，则 a－d>b－c D．若 a>b，c>d>0 a，则 >b
d c
【答案】BC
【详解】若 a>0>b,0>c>d bc－ad，则 ac0，bc－ad>0，则 >0，化简得
ab
c d
－ >0，故 B正确；若 c>d，则－d>－c，又 a>b，则 a－d>b－c，故 C正确；若 a＝－1，b
a b
2 a b a b＝－ ，c＝2，d＝1，则 ＝－1， ＝－1， ＝ ＝－1，故 D错误．故选 B、C．
d c d c
例 4.（多选） 已知 > > ，则下列不等式一定成立的是( )
A. + > 2 B. >
C. > D. 1 < 1

【答案】AD
【详解】根据 > > ，取 = 1 ， = 0 ， = 1 ，则可排除 BC 。因为 + 2 =
1 1 + > 0 ，所以 + > 2 1 1；因为 = < 0 ，所以 <
3 + 、基本不等式： ≤
2
（1）基本不等式成立的条件： > 0 , > 0 。
（2）等号成立的条件：当且仅当 = 时取等号。
1 2
例 5．已知 a 0，b 0，且 4，则 4a 6b的最小值是
a b
A． 4 3 B． 4 2 3 C 3．8 2 3 D．4
3
【答案】B
1 2 1 1 2
【解析】已知 a 0，b 0，且 4 ，则
a b 4 a b
1，

1 1 2
所以， 4a 6b 4a 6b
1

1 2
2a 3b
1
8
4a 3b

4 a b 2 a b 2 b a
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1 8 2 4a 3b
8 4 3
4 2 3．2 b a 2
3
当且仅当 a b时，等号成立，因此， 4a 6b的最小值是 4 2 3．故选 B．
2
4、几个重要的不等式
（1） 2 + 2 ≥ 2 ， , ∈ ；
（2 ） + ≥ 2 , > 0 ；

3 ≤ +
2
（ ） , , ∈ ；
2
2 2 2
（4 + ） ≥ + ， , ∈ 。
2 2
例 6．《几何原本》卷 2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处
理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也
称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O上，点C在直径 AB上，且OF AB，
设 AC a， BC b，则该图形可以完成的无字证明为
a b
A． ab(a 0,b 0) B． a2 b2 2 ab (a 0,b 0)
2
2ab
C． ab(a 0,b 0) D．
a b
【答案】D
a b a b a b
【解析】由 AC＝a，BC＝b，可得圆 O的半径 r＝ ，又 OC＝OB－BC＝ －b＝ ，
2 2 2
2 2 2 2
则 FC2＝OC2 2
(a b) (a b) a b
＋OF ＝ ＋ ＝ ，
4 4 2
a b a2 b2
再根据题图知 FO≤FC，即 ≤ ，当且仅当 a＝b时取等号．故选 D．
2 2
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5、利用基本不等式求最值问题
已知 > 0 ， > 0 ，则：
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 = 时， + 有最小值是 2
2
2
（ ）如果和 + 是定值 ，那么当且仅当 = 时， 有最大值是
4
a2 4b2
例 7．已知 a 2b ( a、b R )，函数 f (x) ax 2 x 2b的值域为[0， )，则 的
a 2b
最小值为（ ）
A． 2 B． 2 C． 4 D．8
【答案】A
【解析】当 a 0时， f (x) x 2b为一次函数，值域为 R，不符合题意；
当 a 0时， f (x) ax 2 x 2b为二次函数，又值域为 [0， )，则 a 0，
1
由题意可知 12 4a 2b 0，得 ab ，则b 0，
8
1 1
a2 4b2 (a 2b)2则 4ab (a 2b) 2 2 (a 2b) 2 2 ，
a 2b a 2b a 2b a 2b
当且仅当 a 1 2b 时等号成立，故选 A
2
6、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
y ＝ ax2 ＋ bx ＋
c(a>0)的图象
ax2 bx c 有两个相等的实数＋ ＋ ＝ 有两个不相等的实
没有实数根
0(a>0) b的根 数根 x1，x2(x1ax2 ＋ bx ＋ c>0
{x|xx2} |x≠－ R
(a>0)的解集 x 2a
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ax2＋bx＋c<0(a>0)
{x|x1的解集
例 8：已知一元二次不等式 2kx2＋kx 3＋ >0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围是
8
___________．
【答案】{k|03
【详解】因为不等式 2kx2＋kx＋ >0为一元二次不等式，所以 k≠0，又一元二次不等式 2kx2
8
2k>0，
k>0，
＋kx 3＋ >0对一切实数 x都成立，所以有 Δ＝k2 3－4×2k× <0， 解得 0所以实数 k的取值范围是{k|07、柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若 a,b,c,d 都是实数，则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 ，当且仅当 ad bc时，等号成立.
（2）已知 a1,a2 ,a3 , ,an都是实数，bi 0(i 1,2, ,n)则：
a2 a2 a21 2 n (a1 a2 a
2
n
)
b1 b2 bn b1 b2 bn
（3）已知a1,a2,a3, ,an,b1,b2,b3, ,bn同号且不为 0，则：
a1 a2 an (a1 a a )
2
2 n
b1 b2 bn a1b1 a2b2 anbn
例 9．若实数 x 2y 3z 1，则 x2 y2 z2的最小值为（ ）
1 1
A．14 B． C．29 D．
14 29
【答案】B
【解析】根据柯西不等式： x2 y2 z2 1 4 9 2 2y 3z 1，即
x2 y2 z2 1 ，当且仅当 x
1 1 3
， y ， z 时等号成立.
14 14 7 14
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【对点训练】
1．设 a log 3 4 a b b2 ，b log2 ，则 ， ab， 的大小关系为3 2 a
a b b a b b
A．ab B． ab
2 a 2 a
a b b b a b
C． ab D． ab
2 a a 2
2．已知 x 0, y 0，且 2x 9y 6xy 9 ，则 2x 9y的最小值为
A．4 B．6
C．9 D．12
3．已知 a 0，函若数 f x ax3 2x2 4x 9a在 2, 1 总有 f x 8a 6且
x 1,1 , 7ax 4 m，则m取值范围是（ ）
A．[6，+∞) B． 14,
C．[12，+∞) D．(6，12]
m n u
2

4．设正数 m，n，u ， v2 m2 n2 mn，则 的最大值是2 v
1 1
A． B．
4 3
1
C． D．1
2
2 2
5．已知点 F x y1，F2分别为椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左、右焦点，点M 在直线 l : x a上a b
运动，若 F1MF2的最大值为60 ，则椭圆C的离心率是（ ）
1 1 3 3
A． B．
3 2
C． D．
2 3
6．已知正数 a
4a b
、b满足 a b 1，则 的最小值是
1 a 1 b
A．1 B． 2
C．4 D．8
7．已知在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且b 4，点 O 为其外接圆的

圆心．已知CO BA 6，则角 A 的最大值为
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A． B．
6 3

C． D．
4 2
8 ． 材 料 一 ： 已 知 三 角 形 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 则 三 角 形 的 面 积 为
S p p a p b p c p a b c ，其中 ，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；
2
材料二：阿波罗尼奥斯 Apollonius 在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与
两个定点 F1， F2的距离的和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知 ABC中， BC 4， AB AC 8，则 ABC面积的最
大值为
A．2 3 B．3
C．4 3 D．6
9．已知 x y 0， n N *，则下列结论正确的是（ ）
A．sin
y xy

x 2 B．x y2 x
2 y2 xy 1 2x 1的最小值为
2
xn yn n 1 n 1
C． nx 2 y 2 D． x y y x (xy) xy
x y
10．设 a log2 3，b 2log3 2， c 2 log3 2，则 a，b，c 的大小顺序为
A．b c a B． c b a
C．a b c D．b a c
11．已知 a,b,c R ，且 a 4,ab ac 4
2 2 32
，则 的最小值是
a b c a b c
A．8 B．6
C．4 D．2

12．在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为a,b,c，且点D满足CD 2DA,BD 2，
若 cos 1 ABC ，则 2c a的最大值为
4
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12 5 6 5
A． B．
5 5
C． 5 D．3 5
1 m n log m
1 1
13．已知 3 3
， 3
log1 n， p cos , 0, ，则m,n, p的
cos 3 2
大小关系为
A． n p m B． n m p
C．m n p D．m p n
z
14．设正实数 x, y, z满足 x2 3xy 4y2 z 0，则当 取得最小值时， x 2y z的最xy
大值为
9
A． 0 B．
8
9
C． 2 D．
4
二、多选题
15．已知 a b 0，且 a b 1，则．
A． loga b logb a
2 1
B． 6
a b
C．ab ba D． 2a 2b 2 a 2 b
16．若 ln a lnb，则下列不等式成立的是
a b 1 1 a bA． B．
a b 2b a 4
b a 2021C． lga lgb D． lgb lg a 2021b a

ABC AC AD 1

17． 中，D为边 上的一点，且满足 DC，若 P为边 BD上的一点，且满2

足 AP mAB nAC m 0,n 0 ，则下列结论正确的是
A．m 2n 1 B．mn 1的最大值为
12
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4 1 1
C． 的最小值为
m n 6 4 2
D．m2 9n2的最小值为
2
18．设 e

1，e2为单位向量，满足 2e1 e
2 a e 2 ，

1 e2，b 3e1 e2 ，则 a，b的夹角为 ，
则 cos2 的可能取值为（ ）
19 20 28
A． B． C． D．1
20 29 29
三、填空题
a2 b2 3
19．已知 a 0，b 0，则 的最小值为__________．
a 2b
m 3 1
20．已知 a 0,b 0，若不等式 恒成立，则m的最大值为__________．
3a b a b
21．在边长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，球O1同时与以 B为公共顶点的三个面相切，
球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点 E，若球O1，O2半径分别为
1 4
r1， r2，则 r r 的最小值为__________．1 2
1 2 1
22．已知 a，b，c是 ABC 的三边长，关于 x的方程 x bx c a 0的解集中只有一
2 2
个元素，方程3cx 2b 2a的根为 x 0，则 ABC 的形状为________；若 a，b为关于
x2 mx 3m 0的两个实数根，则实数m的值_________．
23．设 a 0，b 0，且5ab b2 1，则a b的最小值为__________．
a c 24．在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为 ，b， ，且点D满足CD 2DA，BD 2 ，
若 cos ABC
1
，则 2c a的最大值为____________.
4
a2 b2 2
25．已知 a 0，b 0， a b c 1，则 的最大值是__________．
c 1
1 1 1
26．已知 x, y均为正实数，且 ，则 x y的最小值为__________．
x 2 y 2 6
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【参考答案】
1、【答案】C
a b a b 2 b
【解析】易知 a 0,b 0， 1，
2 ab 1， ab a 1，显然成立．4 a
a b ab b所以 ．故选 C．
2 a
2、【答案】B
【解析】由 2x 9y 6xy 9 ，得 6xy 9 (2x 9y) ，
2 1
因为 6xy
1 2x 9y 1 2x 9 y 2
3 3
，所以 9 (2x 9y) (2x 9y) ，
2 12
即 (2x 9y)2 12(2x 9y) 108 0，解得 2x 9y 6或 2x 9y 18，
又 2x 9y 0 2x 9y 6
3 1
，所以 ，当且仅当 2x 9y，即 x , y 时取等号．故选 B．
2 3
3、【答案】B
【详解】
f x 8a 6在 2, 1 上恒成立即 a x3 1 2x2 4x 6 0在 2, 1 上恒成立，
2
故 x 1 a x x 1 2x 6 0 在 2, 1 上恒成立，
当 x 1 2时， x 1 a x x 1 2x 6 0 ，
当 2 x 1 2时， x 1 0，故 a x x 1 2x 6 0，
6 2x
所以 a 2 在 2, 1 上恒成立，x x 1
g x 6 2x 2 3 x 2 2 2 令 x x 1 x x 1 3 x 7 5 ，
3 x
7
令 t 3 x，则 4 t 5，而 y t 在 4,5 为增函数，
t
23 t 7 32 3故 ，所以 3 7 7 10 x 5 ，故 g x 8 ，
4 t 5 4 3 x 5 7 3
10 10
所以 g x 在 2, 1 的最小值为 ，故 0 a .
7 7
因为 x 1,1 , 7ax 4 m恒成立，
m 7a 4
故 对于任意0 a
10
恒成立，
m 7a 4 7
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m 14
所以 即m 14 .
m 6
故选：B.
4、【答案】B
m n
【解析】由题意，正数 m，n，u ，
2 v
2 m2 n2 mn，
(m n )2u 1 m2则 ( )2 2 n
2 2mn 1 1 mn

v m2 n2 mn 4 m2 n2 mn 4 4 m2 n2 mn
m
1 1 1 1 1 1 1 1 1
nm m ，4 4 ( )2 1 4 4 m n 1 4 4 2 1 3
n n n m
m n u 2 1当且仅当 时，即m n时，等号成立，所以 的最大值是为 ．故选 B．n m v 3
5、【答案】C
【详解】
由题意知，F1 c, 0 ，F2 c, 0 ，直线 l为 x a，设直线MF1，MF2的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即M a, t ， t 0 tan t，则 ，
c a
tan t .
c a
F1MF2 ，
t t
tan FMF tan tan tan c a c a 2ct 2c 2c 2c c 1 2 1 tan tan 1 t
2 t2 b2 b2 b2 2b b
c2
t
a2 t 2 t t
t b
2 c
当且仅当 ，即 t b时取等号，又 tan F1MF2得最大值为 tan 60 3，t b
c2
c 3b，即 c2 a2 c 3 3，整理得 ，故椭圆C的的离心率是 .
3 a 2 2
故选：C.
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6、【答案】C
【解析】已知正数 a、b满足 a b 1，则
4a b 4 1 b 1 a 4 1
5
1 a 1 b b a b a
4 1
a b
4a b 4a b
5 2 4，
b a b a b a
4a b
当且仅当b 2a时，等号成立，因此， 的最小值是 4．故选 C．
1 a 1 b
7、【答案】A

【解析】取 AB的中点 D，则CO BA (CD DO) BA CD BA，
1
(CA CB) (CA CB) 1 16 a2 6，所以 a 2，2 2
c2 +b2cos A - a
2 c2 12 1
因为 = c
12 3
，2bc 8c 8 c 2

当且仅当 c 2 3时等号成立，所以0 A ．故选 A．6
8、【答案】C
【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式， S p p a p b p c ，其中
p a b c a 4 p 4 8 ，由题意，可知 ，b c 8， 6，且 p a 6 4，
2 2
2
故 S 6 6 4 6 b 6 c 12 6 b 6 c 12 6 b 6 c 4 3；
2
当且仅当6 b 6 c，即b c 4时取等号．
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x2 y2
用材料二：以 BC 的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为 1，
16 12
S 1 BC | y | | y | S 1 A （ A 为 A 到 BC 的距离）， BC | y
1
2 2 A
| 4 2 3 4 3，
2
当且仅当 AB AC时取等号．故选 C．
9、【答案】C
【详解】
tan t t y xy
记 t
y
(0,1)有 tan t t，则 sin t ，易知 x 1时有 sin ，A
x 1 tan2 t 1 t2 x x2 y2
错误；
x 2
2
x2 y2 xy 2 x 1 y 3

x 2 2
1 1
，当且仅当 x
2 2
2y 时取等号，所
2 4 3 3 3 3
1
以最小值为 ，B 错误；
3
y xn yn n 1 n 1 1 n n 1
记 t (0,1)，则 nx 2 y 2 等价于 t 2x x y t
2 n(t 1) 0，
1 n n 1 1 n n 1 n 1 n 1
记 f (t) t 2 t 2 n(t 1)，则 f (t) n t 2 t 2 ，2 2
1 n 3
∴ f (t) n 2 1 1 t n t 2 0 ，即 f (t)单调递增，有 f (t) f (1) 0，
4
∴ f (t)单调递减，则有 f (t) f (1) 0，不等式得证，C正确；
取 x 2， y 1，有 x y y x 2 2 2 (xy) xy ，D错误．
故选：C
10、【答案】A
【解析】由 c 2 log3 2 log3 9 log3 2 log
9
3 log3 4 2log3 2 b，2
a c log2 3 log3 2 2 2 log2 3 log3 2 2 2 2 0 ，
所以 a c，
所以 a c b，故选 A．
11、【答案】A
【解析】因为 a,b,c R ，且 ab ac 4，
2 2 32 2(a b c) 32 a b c 32
所以 8，
a b c a b c a (b c ) a b c 2 a b c
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a b c 32
由 ，可得a b c 8，所以b c 8 a，
2 a b c
代入 ab ac 4，得解得 a 4 2 3，
因为 a 4，所以 a 4 2 3,b c 4 2 3．此时“等号”成立，
故所求最小值为 8．故选 A．
12、【答案】A
2 1
【解析】因为CD 2DA，所以 BD BC 2 BA BD ，所以 BD BA BC，3 3
2 2 4 2 1 2 4
所以 BD 2 BA 1 BC BA BC | BA || BC | cos ABC，
3 3 9 9 9
22 4 c2 1 a2 4所以 ca 1 ，整理得 a2 4c2 ac 18，9 9 9 4
所以 (2c a)2 18 3ac，
2
因为 2c a 2 2c a 2c a ，所以ac ，
8
(2c a)2 18 3 2c a 2所以 ，解得
8 0 2c a
12 5
．
5
2c a 12 5所以 的最大值为 故选 A
5
13、【答案】B
n
1 log n log n 0 1
m

【解析】 1 3 ， log3 m 0， 3 3 3
x
m,n y 1 为 与 y log3 x 的两个交点的横坐标且0 n 1，m >1， n m，
3
如下图所示：
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m 1 1
m
1
由 > 得 ， log3m
1
log 33 3，解得m 3 3，
3 3 3
当 0, 时， 0 cos 1， 2
p cos 1 2 cos 1 2（当且仅当 cos 1时取等号），
cos cos
n m p．故选 B．
14、【答案】C
z x2 3xy 4y2 x 4y x 4y
【解析】 3 2 3 1,当且仅当 x 2y时成立，
xy xy y x y x
因此 z 4y2 6y2 4y2 2y2 ,
所以 x 2y z 4y 2y 2 2(y 1) 2 2 2. y 1时等号成立．故选 C．
15、【答案】ACD
【解析】对于 A中，由 a b 0，且 a b 1，可得0 a 1，0 b 1，
由对数函数性质可知 y loga x， y logb x为单调减函数，
因为 a b 0， logb a logb b 1， loga b logb b 1，所以 loga b logb a，所以 A 正确；
对于 B中，由 a b 0， a b 1，
2 1 2 1 a b 3 2b a可得 3 2 2 ，a b a b a b
2b a
当且仅当 时，即
a b a 2b
时等号成立，因为3 2 2 6，所以 B 错误；
对于 C中，由0 a 1，0 b 1，
因为指数函数性质可知 y a x， y b x 都是单调递减函数， a b 0，
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2023 届高考数学一轮复习——不等式
所以 ab aa ba，所以 C 正确；
x x
对于 D中，令 f x 2 2 ，是单调递增函数，因为 2a 2 a 2b 2 b，所以 D正确．故
选 ACD．
16、【答案】CD
【解析】本题考查利用不等式的性质与函数的性质比较大小．由 ln a lnb，知0 b a，
a b 1 1 a b b a 1则

a b

1
0，
a b ab ab
所以 a 1 1 b ，故 A 不正确；
a b
a b 2 a b因为 2b a 2 b a 22 4，只有 a b时等号成立，
a b a b
a b
但 ，故 2 2b a 2 b a 22 4故 B 不正确；
2021 a
因为 b a 0， lga lgb lg lg1 0，
b
b a 2021所以 lga lgb，故 C 正确；
b
因为0 2021b a 1， lgb lga lg lg1 0，a
所以 lgb lg a 2021b a，故 D 正确．故选 CD．
17、【答案】BD

【解析】对于 A， AP mAB nAC mAB 3nAD，
B,P,D三点共线， m 3n 1，A 错误；
1 2
对于 B， m 3n 1， mn m 3n 1 m 3n 1 （当且仅当m 3n时取等3 3 2 12
号），B 正确；
4 1

4 1 12n m 12n m
对于 C，

m 3n 7 7 2 7 4 3 （当且仅当m n m n m n m n
12n m
，即m 2 3n时取等号），C错误；
m n
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2023 届高考数学一轮复习——不等式
m 3n 2 1
对于 D，m2 9n2 （当且仅当m 3n时取等号），D正确．故选 BD．
2 2
18、【答案】CD
【详解】

设单位向量 e1，e

2的夹角为 ，
2e e 3由 1 2 2 ，两边平方得5 4cos 2，解得 cos 1，4

又 a
e 1 e2，b 3e

1 e2 ，
r ur ur r
| a | (e1 e2)
2 2 2cos ，同理 | b | 10 6cos
r r
且 a b 4 4cos
r r
cos a b 4 4cos 2 2 1 cos
ar
r
b 2 2cos 10 6cos

10 6cos
cos2 4 4cos ，令 2 ，
5 3cos t cos
8
则 t 4 4cos 4 3
5 3cos 3 5 3cos
3 8
Q cos 1 29 ， 5 3cos 8 ， 3 1 32
4 4 ,5 3cos 3 87
8
所以 4
28
3 28 ,1 ，即 cos
2 的取值范围为 ,1
3 5 3cos 29 29


故选：CD
19、【答案】2
【解析】因为 a 0，b 0，所以 a2 1 2a,b2 2 2 2b，
a2 b2 3 a2 1 b2 2 2a 2 2b
2，
a 2b a 2b a 2b
a2 b2 3
当且仅当 a 1,b 2 时等号成立，所以 最小值为 2．
a 2b
故答案为 2．
20、【答案】16
第 17 页 共 20 页
2023 届高考数学一轮复习——不等式
m 3 1
【解析】由题意，不等式 恒成立，且 a 0,b 0 3 1，即为m (3a b)( )
3a b a b a b
3 1
恒成立，即m (3a b)( ) 成立， a b min
由 (3a b)(3 1 ) 10 3a 3b 10 2 3a 3b 16，
a b b a b a
3a 3b
当且仅当 ，即 a b，取得等号，即有m 16，则m的最大值为16．
b a
故答案为16
21、【答案】9 3 3
3
【解析】由已知得 r1 r2 3 r1 r2 3 r1 r2 ，3 1
1 4 3 1 r r 1 4 3 1 5 1 4
r1 r2 3
1 2
r1 r

2 3

r r r r

1 2 1 2
3 1
9 9 3 3 ，故最小值为9 3 3．故答案为9 3 3
3
22、【答案】等边三角形 12
【详解】
x 1 x2 1关于 的方程 bx c a 0的解集中只有一个元素,
2 2
b 2(c 1 a) 0 ,
2
即 a b 2c，
方程3cx 2b 2a的根为 x 0，
a b，
a b c，
故三角形为等边三角形.
a，b为关于 x2 mx 3m 0的两个实数根,
a b m,ab 3m ,
即m2 12m 0，
解得m 12
故答案为：等边三角形； - 12
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2023 届高考数学一轮复习——不等式
4
23、【答案】
5
1 b2 1 b
【解析】因为5ab b2 1，所以a ，
5b 5b 5
a b 1 b b 1 4b所以 2 1 4b 4 ，
5b 5 5b 5 5b 5 5
3 1 4 4
当且仅当 a ，b 时，等号成立，所以a b的最小值为 ．故答案为
10 2 5 5
12 5
24、【答案】
5
【详解】

解：由题意得 BD BA AD,BD BC CD，

所以3BD 2BA BC CD 2AD ,

因为CD 2DA，所以3BD 2BA BC，
2 2 2
两边平方得，9BD 4BA BC 4BA BC，

所以18 4c2 a2 4 BA BC cos ABC ，
得18 4c2 a2 ac，
2 3
所以18 (2c a)2 3ac，即18 (2c a) a 2c，
2
2ac 2c a
2
因为 ，当且仅当a 2c时取等号，
2
2
所以 (2c a) 2 18 3 a 2c 3 2c a ，
2 2 2
2c a t t 2令 ，则 18
3
t 2 ，
8
12 5
因为 t 0，所以得0 t ，
5
12 5
所以当且仅当 a 2c时， 2c a取得最大值 ，
5
12 5
故答案为：
5
25、【答案】 2
【解析】因为 a b c 1，所以 c 1 (a b)，
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2023 届高考数学一轮复习——不等式
a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
代入 中，得 ，
c 1 (a b) a b
a2由 b2 2ab 2a2 2b2 1 2ab a2 b2 a2 b2 (a b)2
2
1
（当且仅当a b 2 2 2时取等号），于是有 a b 2 (a b) 2（当且仅当a b时取等
2
号），
1 2
因为 a 0，b 0 2 2 (a b) 2，所以 a b 0，因此有 a b 2 2 （当且仅当 a b
a b a b
1 (a b)2 2
时取等号）， 2 1 (a b) 2 1 2 2 (a b) 2，
a b 2 a b 2 a b
1
（当 (a b) 2 时取等号，即 a b 2时，取等号），
2 a b
1 2
所以有 a2 b2 2 (a b) 2 2 2（当且仅当 a b 1时取等号），
a b a b
a2 b2 2
即 2（当且仅当a b 1时取等号），
a b
a2 b2 2 2 2
因此有 2（当且仅当 a b 1 a b 2时取等号），所以 的最大值是 2．
a b c 1
故答案为 2
26、【答案】20
1 1 1 1 1
【解析】因为 x, y 均为正实数，且 ，所以 6( ) 1，则
x 2 y 2 6 x 2 y 2
x y x 2 y 2 4 6 1 1 x y 2 x 2 2 y 2 4 6 2 4
x 2 y 2 x 2 y 2
6(2 2 y 2 x 2 ) 4 20 ，当且仅当 x y 10时取等号，则 x y的最小值为 20．
x 2 y 2
故答案为 20．
第 20 页 共 20 页不等式
【知识点讲解】
1.大小比较的方法
（1）作差法
（2）作商法
（3）构造函数
（4）加入中间量
（5）反证法
（6）放缩
例1. （填“＞”“＜”或“=”）。
【答案】＜
【详解】分母有理化有 , ,显然 ,所以 。
例2. 已知 ，试比较 与 的大小。
【详解】 。
因为 ， ，所以 、所以 。
不等式的性质
（1）对称性：a>b b（2）传递性：a>b，b>c a>c．
（3）可加性：a>b a＋c>b＋c；a>b，c>d a＋c>b＋d．
（4）可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 acb>0，c>d>0 ac>bd．
（5）可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
（6）可开方性：a>b>0 > (n∈N，n≥2)．
（7）分数性质： , ,
＜ ， ＞ （ 且 ）；
＞ ， ＜ （ 且 ）
（8）倒数性质： , ＜ ; , ＞
例3：(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则>
【答案】BC
【详解】若a>0>b,0>c>d，则ac0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B正确；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．故选B、C．
例4.（多选） 已知 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【详解】根据 ，取 ， ， ，则可排除 。因为 ，所以 ；因为 ，所以
3、基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件： , 。
（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号。
例5．已知，，且，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知，，且，则，
所以，
．
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是．故选B．
4、几个重要的不等式
（1） ， , ；
（2） , ；
（3） , , ；
（4） ， , 。
例6．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，
再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D．
5、利用基本不等式求最值问题
已知 ， ，则：
（1）如果积 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最小值是
（2）如果和 是定值 ，那么当且仅当 时， 有最大值是
例7．已知()，函数的值域为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；
当时，为二次函数，又值域为，则，
由题意可知，得，则，
则，
当且仅当时等号成立，故选A
6、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1例8：已知一元二次不等式2kx2＋kx＋>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是___________．
【答案】{k|0【详解】因为不等式2kx2＋kx＋>0为一元二次不等式，所以k≠0，又一元二次不等式2kx2＋kx＋>0对一切实数x都成立，所以有解得即0柯西不等式
（1）二维形式的柯西不等式
若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.
（2）已知都是实数，则：
（3）已知同号且不为0，则：
例9．若实数，则的最小值为（ ）
A．14 B． C．29 D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式：，即，当且仅当，，时等号成立.
【对点训练】
1．设，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
2．已知，且，则的最小值为
A．4 B．6
C．9 D．12
3．已知，函若数在总有且 ，则取值范围是（ ）
A．[6，+∞) B．
C．[12，+∞) D．(6，12]
4．设正数m，n，，，则的最大值是
A． B．
C． D．1
5．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知正数、满足，则的最小值是
A． B．
C． D．
7．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．已知，则角A的最大值为
A． B．
C． D．
8．材料一：已知三角形三边长分别为，，，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦-秦九韶公式；
材料二：阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知中，，，则面积的最大值为
A． B．
C． D．
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．
10．设，，，则a，b，c的大小顺序为
A． B．
C． D．
11．已知，且，则的最小值是
A．8 B．6
C．4 D．2
12．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为
A． B．
C． D．
13．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
14．设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为
A． B．
C． D．
二、多选题
15．已知，且，则．
A． B．
C． D．
16．若，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
17．中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
18．设，为单位向量，满足，，，则，的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．1
填空题
19．已知，，则的最小值为__________．
20．已知，若不等式恒成立，则的最大值为__________．
21．在边长为1的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，半径分别为，，则的最小值为__________．
22．已知是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为，则的形状为________；若为关于的两个实数根，则实数的值_________．
23．设，，且，则的最小值为__________．
24．在中，角，，所对的边分别为，，，且点满足，，若，则的最大值为____________.
25．已知，，，则的最大值是__________．
26．已知均为正实数，且，则的最小值为__________．
【参考答案】
1、【答案】C
【解析】易知，，，，显然成立．
所以．故选C．
2、【答案】B
【解析】由，得，
因为，所以，
即，解得或，
又，所以，当且仅当，即时取等号．故选B．
3、【答案】B
【详解】
在上恒成立即在上恒成立，
故在上恒成立，
当时，，
当时，，故，
所以在上恒成立，
令，
令，则，而在为增函数，
故，所以，故，
所以在的最小值为，故.
因为恒成立，
故对于任意恒成立，
所以即.
故选：B.
4、【答案】B
【解析】由题意，正数m，n，，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值是为．故选B．
5、【答案】C
【详解】
由题意知，，，直线为，设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，，则，.
，
当且仅当，即时取等号，又得最大值为，
，即，整理得，故椭圆的的离心率是.
故选：C.
6、【答案】C
【解析】已知正数、满足，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是．故选C．
7、【答案】A
【解析】取的中点D，则，
，所以，
因为，
当且仅当时等号成立，所以．故选A．
8、【答案】C
【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中，由题意，可知，，，且，
故；
当且仅当，即时取等号．
用材料二：以BC的中点为原点，由椭圆的定义易知，椭圆方程为，
（为A到BC的距离），，
当且仅当时取等号．故选C．
9、【答案】C
【详解】
记有，则，易知时有，A错误；
，当且仅当时取等号，所以最小值为，B错误；
记，则等价于，
记，则，
∴，即单调递增，有，
∴单调递减，则有，不等式得证，C正确；
取，，有，D错误．
故选：C
10、【答案】A
【解析】由，
，
所以，
所以，故选A．
11、【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
由，可得，所以，
代入，得解得，
因为，所以．此时“等号”成立，
故所求最小值为8．故选A．
12、【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
所以，
所以，整理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得．
所以的最大值为故选A
13、【答案】B
【解析】，，
为与的两个交点的横坐标且，，，
如下图所示：
由得，，解得，
当时，，
（当且仅当时取等号），
．故选B．
14、【答案】C
【解析】当且仅当时成立，因此
所以时等号成立．故选C．
15、【答案】ACD
【解析】对于A中，由，且，可得，，
由对数函数性质可知，为单调减函数，
因为，，，所以，所以A正确；
对于B中，由，，
可得，
当且仅当时，即时等号成立，因为，所以B错误；
对于C中，由，，
因为指数函数性质可知，都是单调递减函数，，
所以，所以C正确；
对于D中，令，是单调递增函数，因为，所以D正确．故选ACD．
16、【答案】CD
【解析】本题考查利用不等式的性质与函数的性质比较大小．由，知，则，
所以，故A不正确；
因为，只有时等号成立，
但，故故B不正确；
因为，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，故D正确．故选CD．
17、【答案】BD
【解析】对于A，，
三点共线，，A错误；
对于B，，（当且仅当时取等号），B正确；
对于C，（当且仅当，即时取等号），C错误；
对于D，（当且仅当时取等号），D正确．故选BD．
18、【答案】CD
【详解】
设单位向量，的夹角为，
由，两边平方得，解得，
又，，
，同理
且
，令，
则
，，
所以，即的取值范围为
故选：CD
19、【答案】2
【解析】因为，，所以，
，
当且仅当时等号成立，所以最小值为2．
故答案为2．
20、【答案】
【解析】由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，
由，
当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为．
故答案为
21、【答案】
【解析】由已知得，
，故最小值为．故答案为
22、【答案】等边三角形
【详解】
关于的方程的解集中只有一个元素,
,
即，
方程的根为，
，
，
故三角形为等边三角形.
为关于的两个实数根,
,
即，
解得
故答案为：等边三角形；12
23、【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为．故答案为
24、【答案】
【详解】
解：由题意得，
所以,
因为，所以，
两边平方得，，
所以，
得，
所以，即，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
令，则，
因为，所以得，
所以当且仅当时， 取得最大值，
故答案为：
25、【答案】
【解析】因为，所以，
代入中，得，
由
（当且仅当时取等号），于是有（当且仅当时取等号），
因为，，所以，因此有（当且仅当时取等号），，
（当时取等号，即时，取等号），
所以有（当且仅当时取等号），
即（当且仅当时取等号），
因此有（当且仅当时取等号），所以的最大值是．
故答案为
26、【答案】20
【解析】因为均为正实数，且，所以，则，当且仅当时取等号，则的最小值为20．
故答案为20．

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