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2023 届高考数学一轮复习——导数
导数
目录
【知识点讲解】
一、导数的概念及运算——————————————————2
二、导数与函数的单调性、极值、最值———————————5
三、导数的综合应用
1、导数与切线————————————————9
（1）求切线方程
（2）切线转化——距离问题
（3）公切线
2、切线放缩—————————————————11
3、端点效应—————————————————13
4、同构———————————————————14
5、对数平均不等式——————————————14
6、隐零点——————————————————16
7、数列不等式————————————————17
8、极值点偏移————————————————17
9、多元不等式————————————————19
10、割线放缩—————————————————20
11、凹凸性反转————————————————21
【对点训练】
选填————————————————————————23
解答题———————————————————————29
【参考答案】————————————————————————37
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2023 届高考数学一轮复习——导数
【知识点讲解】
一、导数的概念及运算
1．平均变化率
Δy f x2 －f x(1)定义式： ＝ 1 ；
Δx x2－x1
(2)几何意义：已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数 y＝f(x)的图象上两点，
Δy f x －f x
则 ＝ 2 1 ，平均变化率表示割线 P1P2的斜率．
Δx x2－x1
2．瞬时变化率
对于函数 y＝f(x)，设自变量 x 从 x0变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y 就
从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)，这时，x 的变化量为Δx，y 的变化量为Δy＝f(x0
Δy
＋Δx)－f(x0)，如果当Δx→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，则
Δx
li m Δy li m
称这个值为 y＝ f(x) 在 x＝ x0 处的瞬时变化率，记作 Δx→0 ＝ Δx→0
Δx
f x0＋Δx －f x0 ．
Δx
3.导数的概念
Δ
（1）函数 = 在 = 0 处的导数：如果当Δ → 0 时，平均变化率 无限Δ
Δ
趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 = 在 = 0 处可导，并把这个Δ
确定的值叫做 = 在 = 0 处的导数（也称为瞬时变化率）
1。记作 ′ 0
或 ′| ′ 0+ 0 = 0 ，即 0 = lim = lim 。 →0 →0
4.导数的几何意义：函数 在 = 0 处的导数 ′ 0 的几何意义是曲线
= 在点 0, 0 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 对时间
的导数）。相应地，切线方程为 0 = ′ 0
2
0 。
例 1．若直线 y x a和曲线 y ln x 2 相切，则实数 a的值为
1 3
A． B．2 C．1 D．
2 2
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【答案】C
【解析】因为 y f (x)= ln x 2，所以 f (x)
1

x，
1
设切点坐标为 (x0 , x0 a)，所以 f (x0 ) =1, x0 1x ．0
所以 f (x0 )= ln1 2=2=x0 a 1 a, a 1．故选 C
5.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
= （ 为常数）
′ = 0
= （ ∈ 且 ≠ 0 ）
′ = 1
= sin
′ = cos
= cos
′ = sin
= （( > 0 ，且 ≠ 1 ）
′ = ln
= e
′ = e
= log （ > 0 ，且 ≠ 1 ） 1 ′ =
ln
= ln 1
′ =

1 3
例 2．已知函数 f x x 2x，则曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线的斜率
3
3
是（ ） A． B．1 C． 3 D． 1
3
【答案】D
1
【解析】设切线的斜率为 k，由 f x x3 2x 2，则 f x x 2，
3
则有 k f 1 1．故选 D．
6.导数的运算法则
（1）[ ± ]′ = ′ ± ′ 。
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（2）[ ]′ = ′ + ′ 。
[ ]′ =
′ ′
（3） ≠ 0 。
[ ]2
7.复合函数的导数（重点）
复合函数 = 的导数和函数 = , = 的导数间的关系
′ = ′ ′为 ,即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积。
例 3．已知函数 f x e ln x 2 ，若关于 x的方程[ f (x)]2 mf (x)
1
0有 4个不同
x 8
的实数根，则实数m的取值范围为

A． 0,
3 2 2 3 2
B．
4
0, C． , D．2
,1
2 4 2
【答案】C
e
x2 2xe ln x
【解析】依题意，求导 f (x) x e(1 2ln x) ，令 f
x 0 ，解得
x4 x3
x e，
当 x (0, e)时， f x 0， f x 单调递增；当 x ( e, ) ， f x 0，函数
e ln e 1
单调递减，且 f (x)max f ( e) ，e 2
又 x 0时， f (x) ；又 x 时， f (x) 0；
1
设 f (x) t

，显然当 t 0, 时，方程 f (x) t2 有两个实数根，
1 1
则要使方程[ f (x)]2 mf (x) 0有 4 个不同的实数根等价于方程 t2 mt 0
8 8
t 0, 1 在 2 上有两个不同的实数根，
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0 m2 1 0
(t 1
2
1 )(t
1
2 ) 0 1 m 1 2 3
故 2 2 ， 0，解得m , ．故选 C．
0 t t 1 8 2 4
2 4
1 2 0 m 1
t1t2 0
二、导数与函数的单调性、极值、最值
1.函数 在某个区间 , 上的单调性与 ′ 的关系 1
（1）若 ′ > 0 ，则 在这个区间上单调递增。
（2）若 ′ < 0 ，则 在这个区间上单调递减。
（3）若 ′ = 0 ，则 在这个区间内是常数。
例 4．若函数 f (x) ln x ax
1
在 1, 上是单调减函数，则 a的取值范围是
x
1 1 1 1
A． , B． ,

4 4 C．
, ,
2
D．
2
【答案】A
1 1
【解析】由题意得， f (x) a
x x2
，
因为 f x ln x ax 1 在[1，+∞）上是单调减函数，
x
所以 f (x) ≤0在[1，+∞）上恒成立，
1 1
当 f (x) ≤0时，则 a 2 0在[1，+∞）上恒成立，x x
1 1 1 1 (1 1 1即 a 2 ，设 g（x） )
2
2 ，x x x x x 2 4
1
因为 x∈[1，+∞），所以 ∈（0，1]，
x
1 1 1 1
当 时，g（x）取到最大值是 ，所以 a ，
x 2 4 4
1
所以数 a的取值范围是（﹣∞， ]故选 A
4
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2.利用导数关系构造函数的一些常见结构
（1）对于不等式 ′ + ′ > 0 ，构造函数 = + 。
（2）对于不等式 ′ ′ > 0 ，构造函数 = 。
特别地，对于不等式 ′ > ，构造函数 = 。
（3）对于不等式 ′ + ′ > 0 ，构造函数 = 。
（4）对于不等式 ′ ′ > 0 ，构造函数 = 。

（5）对于不等式 ′ + > 0 ，构造函数 = 。
（6）对于不等式 ′ + > 0 ，构造函数 = e 。
（7）对于不等式 ′ + > 0 ，构造函数 = e 。
例 5．已知 f (x) 是定义在 (0, ) 上的函数，且 f 1 1，导函数 f (x) 满足
f (x) f (x) f (x) 1恒成立，则不等式 x 的解集为e e
1 1
A． (1, ) B． 0, 2 C． ,1 2
D． (0,1)

【答案】A
F x f (x) f (x) e
x ex f x f (x) f x
【解析】令 x ，则F e x

，
e2x ex
因为导函数 f (x) 满足 f (x) f (x)恒成立且 ex 0，所以F x 0，
f (x) f (1) 1
所以F x x 在 (0, )单调递减，因为 F 1 ，e e e
f (x) 1
所以不等式 F x Fx 等价于 1 ，e e
f (x)
因为所以F x x 在 (0, )单调递减，所以 x 1，e
f (x) 1
所以不等式 x 的解集为 (1, )，故选 Ae e
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3.函数的极值
①设函数 在点 0 附近有定义，如果对 0 附近的所有的点，都有 ＜
0 ，那么 0 是函数 的一个极大值，记作 极大值 = 0 ；如果对 0
附近的所有的点，都有 ＞ 0 ，那么 0 是函数 的一个极小值，
记作 极小值 = 0 。极大值与极小值统称为极值。
②当函数 在 0 处连续时，判断 0 是极大（小）值的方法：
如果 < 有 ′0 ＞0 , > 0 有 ′ ＜0 ,那么 0 是极大值；
如果 < 有 ′ ＜0 , > 有 ′0 0 ＞0 ,那么 0 是极小值。
例 6．对任意的 x∈R，函数 f(x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是
A．0≤a≤21 B．a＝0 或 a＝21
C．a<0 或 a>21 D．0【答案】A
2
【解析】因为函数 f(x)＝x3＋ax2＋7ax，所以 f x 3x 2ax 7a，
2
因为函数 f(x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点，所以 f x 3x 2ax 7a 0恒
成立，
所以 4a2 84a 0，解得0≤ a≤ 21，
所以函数 f(x)＝x3＋ax2＋7ax 不存在极值点的充要条件是 0≤a≤21，故选 A
例 7．已知函数 f(x)的导数 f (x) a(x 1)(x a)，且 f(x)在 x＝a 处取得极大值，
则实数 a的取值范围是
A． a 1 B． 1 a 0 C．0 a 1 D． a 1
【答案】B
【解析】（1）当 a 0时，当 1 x a时， f (x) 0 ，当 x a时， f (x) 0，
则 f (x) 在 x a处取到极小值，不符合题意；
（2）当a 0时，函数 f (x) 无极值，不符合题意；
（3）当 1 a 0时，当 1 x a时， f (x) 0，当 x a时， f (x) 0 ，
则 f (x) 在 x a处取到极大值，符合题意；
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（4）当a 1时， f (x) 0，函数 f (x) 无极值，不符合题意；
（5）当 a 1时，当 x a时， f (x) 0 ，当a x 1时， f (x) 0，
则 f (x) 在 x a处取到极小值，不符合题意；
综上所述 1 a 0，故选 B．
4.函数的最值
设函数 = 在[ , ] 上连续，在 , 内可导，函数 在区间[ , ]
上一切函数值中的最大（最小）值，叫做函数 = 的最大（最小）值 2。
例 8．直线 x t(t 0) 与函数 f (x) x2 1, g(x) ln x的图象分别交于 A B 两点，
当|AB|最小时， t为
2 1 3
A．1 B． C． D．
2 2 3
【答案】B
【解析】令 h(x) f (x) g(x) x 2 ln x 1 ， (x 0)
2
则 h (x) 2x 1 2x 1 ，易知 x (0, 2 )， h (x) 0， h(x) 单减；
x x 2
x 2 ( , )，h (x) 0，h(x) 单增；则 h(x) h( 2 ) 1 2 ln 1 3 ln 2 0；
2 2 2 2 2
则直线 x t与函数 f (x), g(x)的交点间距离 AB h(x) h( 2 )，
2
2
当且仅当 t 时，AB 最小．故选 B．
2
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三、导数的综合应用
1、导数与切线
（1）求切线方程
例 9．若函数 y ax b为函数 f (x)
1
ln x 图象的一条切线，则2a b的最小值
x
1
为 A． ln 2 B． ln 2 C．1 D．2
2
【答案】B
1
【解析】设点 x0 , ln x0 是函数 f x 图象上任一点，其中 xx 0 0， 0
f ' x 1 1 , f ' x 1 1
x x2 0

x x 2 ，0 0

所以过点 x0 , ln x
1
0 的切线方程为 y ln x
1 1 1
x 0

x
2 x x0 ，
0 0 x0 x0
1 1 2 1 1 2
即 y x 1 ln x0 ，故 a 2 ,b 1 ln xx x 2 0 0 x0 x
0 ，
0 x0 x0
2a b 2 2 1 ln x0 x 0 x 0 ，0
2 x 2 x 2
构造函数 g x 2 2 1 ln x x 0 ,g ' x
4 1 x 4

x x3 x x3 x3
，
所以 g x 在区间 0,2 上 g ' x 0，g x 递减，在区间 2, '上 g x 0，g x
递 增 ， 所 以 g x 在 区 间 0, 上 的 极 小 值 也 即 是 最 小 值 为
g 2 2 2 1 ln 2
1
ln 2
2 2 ，
即2a
1
b的最小值为 ln 2 ．故选 B
2
（2）切线转化——距离问题
例 10．已知 ln x1 x1 y1 2 0 ， x2 2y2 4 2ln 2 0 ，记
M x1 x
2 2
2 y1 y2 ，则
4
A．M 的最小值为 B．当M 最小时， x2 45
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M 2 5C． 的最小值为 D．当M 最小时， x
5 1
2
【答案】CD
【解析】由 ln x1 x1 y1 2 0 ，得 y1 ln x1 x1 2，
2 2
所以M x1 x2 y1 y2 的最小值转化为函数 y ln x x 2 图象的点到
直线 x 2y 4 2ln 2 0
1
上的点的距离的最小值，由 y ln x x 2，得 y ' 1，
x
因为与直线 x 2y 4 2ln 2 0
1
平行的直线的斜率为 ，
2
1 1
所以 1 ，解得 x 2，则切线点坐标为 2, ln 2 ，
x 2
所以 2, ln 2 到直线 x 2y 4 2ln 2 0的距离为
d | 2 2ln 2 4 2ln 2 | 2 5 ，
5 5
2 2 2 5
所以M x1 x2 y1 y2 的最小值为 ，此时 x1 2，所以 CD 正确，A5
错误，
又过 2, ln 2 且与直线 x 2y 4 2ln 2 0 的直线为 y ln2 2(x 2) ，即
x 2y 4 2ln 2 0
2x y 4 ln 2 0 x 12，由 2x y 4 ln 2 0 ，解得 ，即当M 最小时， 5
x 122 ，5
所以 B错误，故选 CD
（3）公切线
例 11．已知曲线 f (x) aex 2(a 0)与曲线 g(x) x2 m(m 0)有公共点，且在第
一象限内的公共点处的切线相同(e 是自然对数的底数)，则当 m变化时，实数 a
取以下哪些值能满足以上要求
A．1 B．e C．2e D． e2
【答案】AB
【解析】设公切点为 (x0 , y0 )， x0 0 ，则 y0 aex0 2 x20 m，
求导得， f (x) ae x 2 ， g (x) 2x，
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由切线相同知， f (x0 ) g (x )
x 2
0 ，即 ae 0 2x0 ，
则 x20 m 2x0 m x
2 2x 0 x 2 2x0 0 0 ， a 0 ，ex0 2
令 h(x)
2x
x 2 ， x 2 ，e
h (x) 2 2x x 2 ，在 x 2时， h (x) 0， h(x) 单调递减， h(x) h(2) 4；e
故函数 h(x) 的值域为 (0, 4) ，即只需 a (0, 4)均可满足条件．
易知， a 1或 e时均满足， a 2e或 e2时不满足；故选 AB．
例 12．若函数 f (x) x2 1与函数 g(x) alnx 1的图象存在公切线，则正实数 a的取值范围
是（ ）
A． (0,e) B． (0 ， e] C． (0,2e) D． (0 ， 2e]
【解析】解： f (x) 2x， g (x) a 设与曲线 f (x) x2 1相切的切点为 (m,n) ，
x
与 g(x) alnx 1相切的切点为 (s， t)(s 0) a n t则有公共切线斜率为 2m ，
s m s
又 t alns 1， n m2 1可得 n t m2 alns 2m2 2ms a，m ，
2s
2
即有m2 2ms alns a，即 a alns可得 a 4s2 4s22 lns ， s 0 ，4s
设 h(s) 4s2 4s2lns， s 0 h (s) 8s 4(2slns s) 4s 8slns 4s(1 2lns) ，
可得 0 s e时， h (s) 0 ， h(s) 递增，当 s e 时， h (s) 0 ， h(s) 递减，
可得 s e 处 h(s) 取得极大值，且为最大值 2e则 0 a 2e，故选：D．
2、切线放缩
1
例 13．设函数 f (x) x2 ax 2lnx,a R，已知 f (x) 在 x 1处有极值．
2
（1）求实数 a的值；
（2 1）当 x [ ,e]（其中 e是自然对数的底数）时，证明： e(e x)(e x 6) 4 x4 ；
e
2n3 1 5 31（ ）证明：对任意的 n 1， n N *，不等式 ln n3 n 2 n 恒成立．
n! 12 8 24
1
【解析】解：（1）由题意函数 f (x) x2 ax 2lnx,a R，已知 f (x) 在 x 1处有极值，
2
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所以 f （1） 0 1 a 2 0 解得： a 3 ．
（2） f (x) 1 x2 ax 2lnx,a R， (x 0)
2
2
f (x) x 3x 2 (x 1)(x 2) (x 0) ，
x x
x 1
x 2
由 f x 0 解得 :x 2或0 x 1，
x
x 1 x 2
f x 0 解得 :1 x 2 ，
x
x [1 ,e] 函数 f (x) 1的单调递增区间为 ( ,1) (2, e) ． (2,e) ，单调的减区间为 (1,2)，
e e
1 5 1
x ,e 当 时, f x 的极大值f 1 ，又 f （e） e
2 3e 2 ，
e 2 2
f e 1 9 1（ ） f （1） e2 3e (e 3)2 0
2 2 2
1 1当x ,e 时, f x 2
e max
f e e 3e 2
2
1
e2 3e 2 f (x) 1 x2 3x 2lnx
2 2
即： e2 6e 4 x2 6x 4lnx
即： e2 x2 6x 6e 4 4lnx (e x)(e x 6) 4 4lnx
4
e(e x)(e x 6) 4 eln
x
e(e x )(e x 6) 4 x4 ；
2
（3） f (x) x 3x 2 (x 1) ，函数 f (x) 的单调递减区间为 (1,2)，单调递增区间为
x
(2,e) ，
当 x (1, ) 时，函数 f (x) 在 x 2处取得最小值 2ln2 4 ，
f (x) 1 x2 3x 2lnx 2ln2 4 (x 1)
2
即 : 1 x2 3x 4 2lb2 2lnx (x 1)
2
ln2 lnx 1 3 x 2 x 2 (x 1) ，
4 2
ln2 ln2 1 22 3 2 2
4 2
ln2 ln3 1 32 3 3 2
4 2

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ln2 lnn 1 n2 3 n 2
4 2
由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：
nln2 ln(1 1 2 n) (12 2 2 n 2) 3 (1 2 n) 2(n 1) ln2 1 3
4 2 4 2
2n 1 1 3 n n 1 n n 1
即 : ln n n 1 2n 1 2n ln2 3 1 1 n n 1 2n 1 3 2n ( ln2 3 0) 1 n3 5 n2 31 n
n! 4 6 2 2 4 4 6 2 2 4 12 8 24
n
n 1,n N , ln 2 1 n 3 5n 2 31 对于任意 不等式 n恒成立．
n! 12 8 24
3、端点效应
例 14．已知函数 f (x) (x 1)lnx a(x 1) ．
（1）当 a 4求曲线 y f (x) 在 (1， f （1） )处的切线方程；
（2）若 x 1时， f (x) 0 ，求 a的取值范围．
【解析】解：（1）当 a 4时， f (x) (x 1)lnx 4x 4 ， x 0 1， f (x) lnx 3 ，
x
f 1 （1） ln1 3 2，又 f （1） 0 ，
1
曲线 y f (x) 在 (1， f （1） )处的切线方程为： y 0 2(x 1) ，即 2x y 2 0．
（2）令 g(x) f (x) lnx 1 1 a g (x) 1 1 x 1 ，则 2 ，x x x x2
当 x (1, ) 时， g (x) 0 恒成立，即 f (x) 在 (1, )上单调递增， f （1） 2 a，
①当 a 2时， f （1） 0，故 f （a）在 (1, )上单调递增，且 f （1） 0 ，此时 a 2符合
题意；
②当 a 2时，由 f （1） 0 及 f (x) 在 (1, )上单调递增，知 x0 1，
使得 f (x0 ) 0 ，即 f (x0 ) 0，不符合题意，
综上， a的取值范围是 ( ， 2]．
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4、同构
x
例 15. 已知函数 f x e 4 k ln x，当 x 1时，不等式 f x x 1恒成立，则 kx
的取值范围是（ ）
A. , e B. , 4 C. , e2 D.
, 0
【答案】B
【详解】因为 x 1，所以 ln x 0，则当 x 1时，不等式 f x x 1恒成立等价
ex
4 x 1 x 4ln x g x ex x 1 g x ex于 1k e x 1 x ．设 ，则 ．当 x 0时，
ln x ln x
g x 0 ， g x 单调递增；当 x 0 时， g x 0 ， g x 单调递减．则
g x g 0 0，即 ex x 1 0 ，即 e x x 1，当且仅当 x 0时，等号成立．设
h x x 4ln x 4 x 4，则 h x 1 ．由 h x 0，得 x 4；由 h x 0，
x x
得 0 x 4 ．则 h x 在 0,4 上单调递减，在 4, 上单调递增．因为
h 4 4 4ln 4 0，h e4 e4 16 0，所以h x 0有解，则ex 4ln x x 4ln x 1，
x 4ln x
当且仅当 x 4ln x 0 e x 1 x 4ln x 1 x 1时，等号成立，从而 4，
ln x ln x
故 k 4．
故选：B
5、对数平均不等式
例 16．已知函数 f (x) lnx ax．
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 x1 ， x2 ， (x1 x2 ) 是 f (x) 的两个零点．证明：
2 2 1 ea
（ⅰ） x1 x2 ；（ⅱ） x2 x1 ．a a
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1 f (x) 1 1 ax【解答】解：（ ）函数 的定义域为 (0, ) ， f (x) a ，
x x
当 a 0 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 上单调递增．
1
当 a 0时，令 g(x) 1 ax，所以在 (0, ) 上， g(x) 0 ， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，
a
1
在 ( ， ) 上， g(x) 0 ， f (x) 0 ， f (x) 单调递减，
a
综上，当 a 0 时， f (x) 在 (0, ) 上单调递增．
当 a 0 1 1时，在 (0, ) 上 f (x) 单调递增，在 ( ， ) 上 f (x) 单调递减．
a a
（2）证明：(i) 由（1）可知，要使由函数 f (x) 有两个零点，需 a 0，且 f (x)max f (
1 ) 0 ，
a
则 0 a 1 ，
e
又 x1 x
1 1 2 1
2 ，故 0 x1 , x2 ，则 x ，a a a 1 a
2
令 g(x) f (2 x) f (x)(0 x 1) g (x) 1 1 2(ax 1) ，则 a a 0 ，
a a 2 2 x x ax( x)
a a
g(x) 在 (0, 1 ) 上单减， g(x1) g(
1 ) 0，又 f (x
a a 1
) 0，
2
f ( x1) ln(
2
x1) a(
2
x1) f (x1) g(x1) 0 ， 又 f (x2 ) 0
2
， x2 x1 ， 即a a a a
x1 x
2
2 ；a
(ii) x x 2 1 ea 1 x 2 2 1 ea要证 2 1 ，由（ ）可知，只需证a 1
x2 x2 x1 ，即证a a
x 1 1 ea 12 ，a a
f (x 1 1 ea 1 1 ea又 2 ) lnx2 ax2 0 ， 只需证 f ( ) 0 ，即证 ln (1 1 ea ) 0 ，a a
t 1 1 (t 1)
2 1
令 1 ea，则 a ， 0 a ， 1 t 2 ，
e e
et
所以上述不等式等价于 ln 2 t 0 ，即 ln
e
t 0 ，亦即 ln(2 t) t 1 ，
1 (t 1) 2 t
令 (t) ln(2 t) 1 1 t t，则 (t) 1 0(t (1,2)) ，
2 t 2 t
(t)在 (1,2)上单调递减，即 (t) （1） 1，即得证．
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6、隐零点
例 17．设函数 f (x) ex ax 2 ．
（Ⅰ）求函数 f (x) ex ax 2 的图象在点 A(0, 1)处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅲ）若 a 1， k为整数，且当 x 0 时， (x k) f (x) x 1 0 ，求 k的最大值．
【解析】解：（Ⅰ） f (x) ex ax 2， x R， f (x) ex a， x R， f (0) 1 a，
函数 f (x) ex ax 2 的图象在点 A(0, 1)处的切线方程为 y (1 a)x 1．
（Ⅱ） f (x) ex a， x R．
若 a 0 ，则 f (x) 0 恒成立，所以， f (x) 在区间 ( , ) 上单调递增．
若 a 0，则当 x ( ,lna) 时， f (x) 0 ，当 x (lna, ) 时， f (x) 0 ，
所以， f (x) 在区间 ( , lna) 上单调递减，在 (lna, ) 上单调递增．
( III )由于 a 1，所以， (x k) f (x) x 1 (x k)(ex 1) x 1．
x 0 (x k) f / (x) x 1 0 k x 1故当 时， x x(x 0) ．①e 1
x 1 x x x
令 g(x) x x，则 g / (x)
xe 1 e (e x 2)
1 ．
e 1 (ex 1)2 (ex 1)2
函数 h(x) ex x 2在 (0, ) 上单调递增，而 h（1） 0 ， h（2） 0 ．
所以 h(x) 在 (0, ) 上存在唯一的零点，故 g (x)在 (0, ) 上存在唯一的零点．
设此零点为 ，则 (1,2)．当 x (0, )时， g (x) 0 ；当 x ( , ) 时， g (x) 0 ；
所以， g(x) 在 (0, ) 上的最小值为 g( ) ．由 g ( ) 0 ，可得 e 2 ，
所以， g( ) 1 (2 ， 3) ．由于①式等价于 k g( ) ．
故整数 k的最大值为 2．
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7、数列不等式
2, ln 2
ln 3 ln n 2n2 n 1
例 18．求证: (n 2) .2 3 n 2(n 1)
【详解】构造函数 f ( x) ln x f (x)
1 ln x
，则 ，
x x2
∴ 当 x e时， f (x) 0，函数 f (x) 在 (e, )上为减函数，又 n 2 ， 2，

2 ln n ln n
2
∴ n n e，∴ f (n ) f (n 2) ，即 ，n n2
设 g(x) ln x x，则 g (x)
1 1 x
1 ，
x x
当 x 1时， g (x) 0，函数 g(x)在[1, )上为减函数，
又 n 2 时， n2 1∴ g(n2 ) g(1)，即 ln n2 n2 1，
ln n2 1 1
∴ 2 1 n n2
1 (n 2)
n n +1 ，
ln 2 ln 2 2 1 1 ln 3
ln 32 1 ln n ln n2
∴ ， 1 ，…， 1
1
，
2 2 2 2 3 3 32 3 4 n n2 n (n+1)
ln 2 ln 3 ln n 1 1 1
∴
2
n 1 ，3 n 2 3 3 4 n( n+1)
ln 2 ln 3
∴
ln n
n 1 (
1 1 1 1 1 1
)=n 1 n 1 ，
2 3 n 2 3 3 4 n n+1 2(n 1)
ln 2 ln 3 ln n 2n2 n 1∴ (n 2)
2 3 n 2(n 1)
8、极值点偏移
例 19．已知函数 f x x 1 ln x .
（1）讨论 f x 的单调性；
a 1 1（2）设 ，b为两个不相等的正数，且 b ln a a lnb a b ，证明： 2 e .
a b
【答案】（1） f x 的递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,+ ；（2）证明见解析.
b ln a 1 a lnb+1 ln a 1 lnb+1【详解】（2）因为b ln a a lnb a b ，故 ，即 ，
a b
f 1 1 1 1故 f ，设 x1, x2 ，由（1）可知不妨设0 x1 1, x 1 . a b a b 2
因为 x 0,1 时， f x x 1 ln x 0， x e, 时， f x x 1 ln x 0，
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故1 x2 e .先证： x1 x2 2，若 x2 2， x1 x2 2必成立.
若 x2 2， 要证： x1 x2 2，即证 x1 2 x2，而0 2 x2 1，
故即证 f x1 f 2 x2 ，即证： f x2 f 2 x2 ，其中1 x2 2 .
设 g x f x f 2 x ,1 x 2，
则 g x f x f 2 x ln x ln 2 x ln x 2 x ，
因为1 x 2 ，故0 x 2 x 1，故 ln x 2 x 0，
所以 g x 0 ，故 g x 在 1,2 为增函数，所以 g x g 1 0，
故 f x f 2 x ，即 f x2 f 2 x2 成立，所以 x1 x2 2成立，
综上， x1 x2 2成立.设 x2 tx1 ，则 t 1，
ln a 1 lnb+1 1 1
结合 ， x , x 可得： x 1 ln x x 1 ln x ，
a b a 1 b 2 1 1 2 2
即：1 ln x1 t 1 ln t ln x1 ，故 ln x
t 1 t ln t
1 ，t 1
要证： x1 x2 e，即证 t 1 x1 e，即证 ln t 1 ln x1 1，
t 1 t ln t
即证： ln t 1 1，即证： t 1 ln t 1 t ln t 0，
t 1
令 S t t 1 ln t 1 t ln t, t 1，
则 S t ln t 1 t 1 1 ln t ln 1 1 2
t 1
，
t t 1
先证明一个不等式： ln x 1 x .
设u x ln x 1 x，则u x 1 1 x ，
x 1 x 1
当 1 x 0时，u x 0；当 x 0时，u x 0，
故 u x 在 1,0 上为增函数，在 0, + 上为减函数，故u x max u 0 0，
故 ln x 1 1 x 1 2成立 由上述不等式可得当 t 1时， ln 1 ，故 S t 0恒成立，
t t t 1
故 S t 在 1, 上为减函数，故 S t S 1 0，
故 t 1 ln t 1 t ln t 0成立，即 x1 x
1 1
2 e成立.综上所述， 2 e .a b
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9、多元不等式
f x e
x
例 20．已知函数 ax aln x，其中 a 0 .
x
（1）若函数 f x 在 1, 上单调递增，求实数 a的取值范围；
1 1 1
（2）若函数 g x f x a 1 ln x

有三个极值点 x1， x2 ， x3 ，求证： 2 .
x x1 x2 x3
【答案】（1）0 a e；（2）证明见解析.
ex
【详解】（2）由 g x ax 2a lnx a ，则
x x
x 1 ex 2 1 x 1 x e a x 1 g x 2 a 1 x x x2 x2
.
由题意则 g x 0 x有三个根，则e a x 1 0有两个零点 x1、x2，且 x1、x2 1, ，
由 x 1 0有一个零点，则 x3 1，
令 p x ex a x 1 p x ex，则 a，
∴当 x ln a时 p x 取极值， x ln a, 时 p x 单调递增，
∴ p ln a a a ln a 1 0，则 a e2时ex a x 1 0有两零点 x1, x2 ，且1 x1 ln a x2 ，
1 1 1
要证： 2x1 x2 x
，
3
即证 x1x2 x1x3 x2x3 2x1x2x3 （其中 x3 1），即证：x1 x2 x1x2，即 x1 1 x2 1 1，
ex由 1 a x 1 ex2 a x x1 x2 21 ， 2 1 ，则e a x1 1 x2 1 ，
x x 2
即证： e 1 2 a x1 1 x2 1 a2；等价于 x1 x2 2 ln a，等价于 x2 2ln a x1，
由 p x 在 ln a, 上单调递增，即证： p x2 p 2ln a x1 ，
又 p x1 p x2 ，则证 p x1 p 2ln a x1 0，
令G x p x p 2ln a x ，1 x ln a，
G x ex a x 1 e2lna x∴ a 2ln a x 1 ex 2ax 2a ln a .
∴G x ex 2a 0恒成立，则G x 为增函数，∴当1 x ln a时，G x G ln a 0，
∴ x1x2 x1x3 x2x3 2x1x2x3 ，∴原结论成立.
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10、割线放缩
例 21．已知函数 f x e x ln x（ e为自然对数的底数）.
（1）求函数 f x 的零点，以及曲线 y f x 在其零点处的切线方程；
em
（2）若方程 f x m m 0 有两个实数根 x1, x2 ，求证： x1 x2 e 1 .e 1
【答案】（1）零点为1,e； y e 1 x 1 ； y x e；（2）见解析.
【详解】（2）证明：因为函数 f x 的定义为 0, ， f x e ln x 1，
x
e
令 p x ln x 1 x 0 1 e，则 p x 2 0 ，所以 p x 即 f x 单调递减，x x x
由 f 1 e 1 0， f e 1 0，
所以存在 x0 1,e ，使得 f x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 , 上单调递减；
不妨设 x1 x0 x2 ，且 x1 1， x2 e，
令 g x e 1 x 1 x 0 ， h x x e x 0 ，
记m x e 1 x 1 e x ln x m x ln x e，则 e，
x
q x ln x e令 e x 0 1 e ，则 q x
x x x2
0，
所以m x 单调递增，且m 1 0，故m x 在 0,1 单调递减，m x 在 1, 单调递增，
所以m x m 1 0，即 e x ln x e 1 x 1 ；
n x x e e x lnx n x ln x e记 ，则 ，
x
所以 n x 单调递增，且 n e 0，故 n x 在 0,e 单减，m x 在 e, 单增.
则 n x n e 0 ，即 e x ln x x e；不妨设 g x3 f x1 f x2 h x4 m，
因为 g x1 f x1 m g x3 ，且 g x e 1 x 1 为增函数，所以 x1 x3 .
由 g x3 e 1 x 1 m x
m
3 ，得 3 1；e 1
m
同理 x4 x2， x4 e m；所以 1 x3 x1 x x e m .e 1 2 4
m
所以 x1 x2 x4 x3 e m 1 e 1
em
，所以 x x e 1
em
.
e 1 e 1 1 2 e 1
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11、凹凸性反转
例 22．设函数 f (x) lnx e1 x， g(x) a(x2 1) 1 ．
x
（1）判断函数 y f (x) 零点的个数，并说明理由；
x
（2）记 h(x) g(x) f (x) e ex
xex
，讨论 h(x) 的单调性；
（3）若 f (x) g(x) 在 (1, )恒成立，求实数 a的取值范围．
1 e
【解析】解：（1）由题意得： x 0 ， f (x) 0 ，
x ex
f (x) (0, ) f 1 1 f e 1 e1 e 1 e故 在 递增；又 （ ） ， （ ）
ee
0 ，
故函数 y f (x) 在 (1,e) 内存在零点， y f (x) 的零点个数是 1；
（2 1） h(x) a(x2 1) lnx e1 x 1 e x ax
2 a lnx，
x x e
h 1 2ax
2 1
(x) 2ax (x 0)，当 a 0 时， h (x) 0 ， h(x)在 (0, ) 递减，
x x
1
当 a 0时，由 h (x) 0 ，解得： x （舍取负值），
2a
x (0, 1 )时， h (x) 0 ， h(x) 1递减， x ( ， ) 时， h (x) 0 ， h(x) 递增，
2a 2a
综上， a 0 时， h(x) 在 (0, ) h(x) 1 1递减， a 0 时， 在 (0, )递减，在 ( ， ) 递增；
2a 2a
3 e 1 1 e（ ）由题意得：lnx x a(x
2 1) ，问题等价于 a(x2 1) lnx x 在 (1, )恒成立，e x x e
k(x) 1 e e
x ex
设 ，若记 k (x) ex ex，则 k (x) ex e， x 1时， k x x 1 1 1 (x) 0，x e xe
k1(x) 在 (1, )递增， k1(x) k1（1） 0 ，即 k(x) 0 ，若 a 0 ，由于 x 1，
故 a(x2 1) lnx 0，故 f (x) g(x) ，即当 f (x) g(x) 在 (1, )恒成立时，必有 a 0 ，
当 a 0时，设 h(x) a(x2 1) lnx，
1
①若 1，即 0 a 1 1 1 时，由（2）得 x (1, ) ，h(x) 递减，x ( ， ) ，h(x) 递
2a 2 2a 2a
增，
故 h( 1 ) h 1 1 （1） 0 ，而 k( ) 0 ，即存在 x 1，使得 f (x) g(x) ，
2a 2a 2a
0 1故 a 时， f (x) g(x) 不恒成立；
2
1 1 a 1 1 e 1 1 e②若 ，即 时，设 s(x) a(x2 1) lnx x ， s (x) 2ax ，2a 2 x e x x2 ex
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由于 2ax x，且 k (x) ex ex 0 e 1 e 11 ，即 x ，故 ，e x ex x
1 1 1 x2 2 1 (x 1)2
因此 s (x) x 2 0，x x x x2 x2
故 s(x)在 (1, )递增，故 s(x) s（1） 0 ，
即 a 1 时， f (x) g(x) 在 (1, )恒成立，
2
综上， a [1 ， ) 时， f (x) g(x) 在 (1, )恒成立．
2
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【对点训练】
一、单选题
f
1 2 f 1 ．已知函数 f x 在 R上可导，其部分图象如图所示，设 a，则下列
2 1
不等式正确的是 ( )
A． f ' 1 f ' 2 a B． f ' 1 a f ' 2
C． f 2 f 1 a D．a f ' 1 f ' 2
2 2．函数 y f x 2x 1在区间 1,1 x y上的平均变化率 x等于（ ）．
A 2．4 B．4 2 x C． 4 2 x D． 4x
3．函数 f (x) x2 sin x在[0，π]上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C．π D． 2
4．设函数 f (x) x2 1，当自变量 x由 1 变到 1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
5．设函数 f (x)在 x 1处存在导数为 2，则 lim
f (1 x) f (1)
.
x 0 3 x
1
A 2． 3 B．6 C． 3 D
1
． 2
f 2 x f 2 x
6 ．设 lim 2，则曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线的倾斜
x 0 x
角是（ ）
3
A B C D 2 ． 4 ． 3 ． 4 ． 3
7．已知函数 f (x)
3 x2 2 f ( x) 2 f (0) 2ex，则 lim （ ）
2 x 0 x
A．4 B．2 C．-2 D．-4
f x x f x8 ．已知函数 y f x 在 x x0处的导数为 1，则 lim 0 0 （ ）
x 0 2 x
A 1．0 B． 2 C．1 D．2
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f (x) x f x x f x 3x9 ．设 在 0 可导，则 lim 0 0 等于（ ）
x 0 x
A． 2 f x0 B． f x0 C．3 f x0 D．4 f x0
10．设函数 f x x3 a 1 x2 ax．若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0，0 处
的切线方程为( )
A． y 2x B． y x C． y 2x D． y x
1
11．若直线 l 与曲线 y= x和 x2+y2= l5都相切，则 的方程为（ ）
A y=2x+1 B y=2x+ 1 C y= 1 x+1 D y= 1． ． 2 ． 2 ． 2 x+
1
2
12．若过点 a,b 可以作曲线 y ex的两条切线，则（ ）
A． eb a B． ea b
C．0 a eb D．0 b ea
b
13．当 x 1时，函数 f (x) a ln x 取得最大值 2，则 f (2) （ ）
x
1
A 1． 1 B． C D 12 ． 2 ．
14．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足关系式 f x x2 3xf 2 ex，则 f 2
的值等于
e2A 2 B 2 C e
2 e2
． ． ． D． 2
2 2 2
15．下列求导运算中错误的是（ ）

A． (3x ) 3x ln 3 B． ln x 1 ln x x

x2
C． x 1
1
1 D． (sin x cos x) cos 2x
x x 2
16．曲线 y xex 1在点 0,1 处的切线方程是 ( )
A． x y 1 0 B． 2x y 1 0
C． x y 1 0 D． x 2y 2 0
17．函数 y (2x 1)2 的导数为
A． y 2x 1 B． y 2(2x 1) C． y 3(2x 1) D． y 4(2x 1)
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ln x 1
18．已知 f (x) 2x ，则
f '( )
2
A． 2 ln 2 B． 2 ln 2 C． 2 ln 2 D． 2 ln 2
x
19 f x e e
x
．函数 2 的图像大致为 ( )x
A． B．
C． D．
20．函数 y 2x2 e|x |在 –2,2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
21．设a 0，若 x a为函数 f x a x a 2 x b 的极大值点，则（ ）
A． a b B． a b C． ab a2 D．ab a2
22．若 x 2是函数 f (x) (x2 ax 1)ex 1的极值点，则 f (x)的极小值为．
A． 1 B． 2e 3 C．5e 3 D．1
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23．若 x 2是函数 f (x) (x2 ax 1)ex 1的极值点，则 f (x)的极小值为．
A． 1 B． 2e 3 C．5e 3 D．1
24．设函数 f x 3 sin x f x 2 ．若存在 的极值点 x0 满足 x 20 f x0
2
m ，则 mm
的取值范围是
A． , 6 6, B． , 4 4, C． , 2 2, D． , 1 1,
25．已知函数 f (x) (x 3)e x a(2 ln x x 1) 在 (1, )上有两个极值点，且 f (x)在 (1, 2)
上单调递增，则实数 a的取值范围是
A． (e, ) B． (e, 2e2)
C． (2e2 , ) D． (e, 2e2) (2e2, )
1
26．设点 P在曲线 y ex上，点Q2 在曲线
y ln(2x)上，则 PQ最小值为
A．1 ln 2 B． 2(1 ln 2) C．1 ln 2 D． 2(1 ln 2)
27．设a 2ln1.01，b ln1.02， c 1.04 1．则（ ）
A． a b c B．b c a C．b a c D． c a b
28．设函数 f x ex (2x 1) ax a，其中a 1 ，若存在唯一的整数 x0 ，使得 f (x0 ) 0，
则 a的取值范围是（ ）
3 3A． ,1
3 3B ,
3 , 3 ． ,1

2e 2e 4
C． 2e 4 D． 2e
29．已知三次函数 y=f(x)的图像如下图所示，若 f '(x)是函数 f(x)的导函数，则关
于 x的不等式 xf (x) f 7 的解集为
A． x x 0或1 x 4 B． x x 7
C． x 1 x 4 D． x x 4或0 x 1
30．设函数 y f x 是 y f x 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数
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f x ax3 bx2 cx d a 0 的图象都有对称中心 x0 , f x0 ，其中 x0 满足 f x0 0，
1 2 3 2021
已知函数 f x 2x3 3x2 7 9x ，则 f f f f 2 2022 2022 2022 2022
（ ）
2021 4021
A．2021 B． C．2022 D2 ． 2
二、多选题
31．已知函数 f (x) x3 x 1，则（ ）
A． f (x)有两个极值点 B． f (x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线 y f (x)的对称中心 D．直线 y 2x是曲线 y f (x)的切线
32．给出定义：若函数 f x 在D上可导，即 f x 存在，且导函数 f x 在D上也
可导，则称 f x 在D上存在二阶导函数，记 f x f x ，若 f x 0在D上恒
f x 0, 成立，则称 在D上为凸函数．以下四个函数在 上不是凸函数的是
2
（ ）
A． f x sin x cos x B． f x ln x 2x
C． f x x3 2x 1 D x． f x xe
33．以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映
了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值
定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数 f x 在闭区间 a,b 上
连续，在开区间 a,b 内可导，则在区间 a,b 内至少存在一个点 x0 a,b ，使得
f b f a f x0 b a ， x x0称为函数 y f x 在闭区间 a,b 上的中值点，若
关于函数 f x sin x 3 cos x x在区间 0, 上的“中值点”的个数为m，函数 g x e
在区间 0,1 上的“中值点”的个数为n，则有（ ）(参考数据： 2 1.41， 3 1.73，
3.14， e 2.72 .)
A．m 1 B．m 2 C． n 1 D．n 2
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f x ln x34．已知函数 x ，则（ ）．
A． f 2 f 5 B．若 f x m有两个不相等的实根x x1、 2，
则 x1x2 e
2
C 2． ln 2 D．若 2x 3y ，x，y均为正数，则 2x 3y
e
三、填空题
35．已知 f x0 m
f
lim x0 3 x f x0 ，则 _________．
x 0 x
36．已知函数 f (x) ex 1 , x1 0, x2 0，函数 f (x)的图象在点 A x1, f x1 和点
B x2, f x2 | AM |的两条切线互相垂直，且分别交 y轴于 M，N两点，则 | BN | 取值范
围是_______．
37．已知 f x 为偶函数，当 x 0 时， f (x) e x 1 x，则曲线 y f x 在点 (1, 2)处
的切线方程是_________.
38．若曲线 y (x a)ex有两条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是
________________．
39．若直线 y kx b是曲线 y ln x 2的切线，也是曲线 y ln(x 1)的切线，则
b _______．
ex e40．设函数 f (x) ．若 f (1) ，则 a=_________4 ．x a

41 ．已知函数 f (x) f ' cos x sin x ，则 f

4 4 的值为__________．
42．已知 x x1和 x x2分别是函数 f (x) 2ax e x2（ a 0且a 1）的极小值点和极
大值点．若 x1 x2 ，则 a的取值范围是____________．
43．已知函数 f x 2sin x sin 2x ，则 f x 的最小值是_____________．
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四、解答题
44．求下列函数的导数．
① y ln x
1
② y 2x2； 1 3x 1 x x cos x；③ y x sin cosx 2 2 ；④ y ex ；
45．求下列函数的导函数.
3 2 1
（1） f x 2x 4x （2） f x x3 x2 ax 1
3
（3） f (x) x cos x, x (0,1) （4） f (x) x 2 3x ln x
x 1
（5） y sin x （6） y x 1
1
46．已知函数 f (x) x a ln xx ．
（1）讨论 f (x)的单调性；
f x1 f x2
（2）若 f (x)存在两个极值点 x1, x2 ，证明： a 2x1 x
．
2
47．已知函数 f x x 1 ln x .
（1）讨论 f x 的单调性；
a 1 1（2）设 ，b为两个不相等的正数，且b ln a a lnb a b，证明： 2 e .a b
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48．已知函数 f (x) x3 3ax 1 在 x 1处取得极值.
（1）求实数 a的值；
（2）当 x [ 2,1]时，求函数 f (x)的最小值.
49．已知 a 0，函数 f (x) ax xex．
（I）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程：
（II）证明 f (x)存在唯一的极值点
（III）若存在 a，使得 f (x) a b对任意 x R 成立，求实数 b的取值范围．
2
50．已知函数 f x x 2ln x a R, a 0 .
a
（1）求函数 f x 的极值；
（2）若函数 f x 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 )，且 a 4，证明： x1 x2 4 .
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ex51 ax
2
．已知函数 f x 有三个极值点 x , x , x ，
x 1 1 2 3
（1）求实数 a的取值范围；
（2）求证： x1 x2 x3 2 .
52．已知函数 f（x）=2lnx+1．
（1）若 f（x）≤2x+c，求 c的取值范围；
f (x) f (a)
（2）设 a>0时，讨论函数 g（x）= x a 的单调性．
53．设函数 f (x) emx x 2 mx ．
（1）证明： f (x)在 ( , 0)单调递减，在 (0, )单调递增；
（2）若对于任意 x1, x2 [ 1,1]，都有 | f (x1) f (x2) | e 1 ，求 m 的取值范围．
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54．已知函数 f x =ex e x 2x .
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）设 g x f 2x 4bf x ，当 x 0时， g x 0 ,求b的最大值；
（3）已知1.4142 2 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001）
55．已知函数 f (x) x 1 a ln x．
（1）若 f (x) 0，求 a 的值；
1 1 1
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， (1 )(1 2 ) (1 n ) m m2 2 2 ，求 的最
小值．
1
56．已知函数 f (x)满足满足 f (x) f (1)ex 1 f (0)x x22 ；
（1）求 f (x)的解析式及单调区间；
（2）若 f (x)
1
x2 ax b
2 ，求
(a 1)b的最大值.
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57．已知 f x ax2 x 2 ln x
1
（1）若a ，求 f x 2 的最大值；
1
（2）若 f x 有两个不同的极值点x x f x f x x x 4ln 5 41， 2，证明: 1 2 1 2 .3
58 f x a ln x x2．已知函数 ，其中 a R．
（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；
（Ⅱ）当 a 1时，证明： f x x2 x 1；
1 1 1
（Ⅲ）求证：对任意正整数 n，都有 1 2
1 1 e
22 2n
（其中 e≈2.7183 为

自然对数的底数）
59 1 1．设函数 f (x) x3 bx c ，曲线 y f (x)在点( 2 ，f( 2 ))处的切线与 y轴垂直．
（1）求 b．
（2）若 f (x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f (x)所有零点的绝对值都不大
于 1．
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60．已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2 3 3）证明： f (x) ；
8
n
（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 3
4n
.
61．已知函数 f (x) 2x3 ax2 2 .
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）当 0 < a < 3时，记 f (x)在区间 0,1 的最大值为M ，最小值为m，求M m的取
值范围.
62．已知函数 f (x) (x 1)ex ax2 b．
（1）讨论 f (x)的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： f (x)只有一个零点
1 e2 1① a ,b 2a；②0 a ,b 2a．
2 2 2
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63．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为
1km的扇形EAF，中心角 EAF


4 2 ．为方便观赏，增加收入，在种植
区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示
的方案扩建成正方形 ABCD，其中点 E， F分别在边 BC和CD上．已知种植区、
观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是 10万元、20万元、20 万元．
（1）要使观赏区的年收入不低于 5 万元，求 的最大值；
（2）试问：当 为多少时，年总收入最大？
x
64．定义可导函数 y f (x)在 x 处的弹性函数为 f (x) f (x) ，其中 f (x) 为
f (x)的导
函数．在区间 D上，若函数 f (x)的弹性函数值大于 1，则称 f (x)在区间 D上具有
弹性，相应的区间 D也称作 f (x)的弹性区间．
（1）若 r(x) e x x 1，求 r(x)的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 f (x) (x 1)e x ln x tx （其中 e 为自然对数的底数）
（ⅰ）当 t 0时，求 f (x)的弹性区间 D；
（ⅱ）若 f (x) 1在（i）中的区间 D上恒成立，求实数 t 的取值范围．
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65 f x x ln x ax2．已知函数 x a R .
（1）证明：曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线 l恒过定点；
8
（2）若 f x 有两个零点x ，x1 2，且 x2 2x1，证明： x1x2 e2 .
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【参考答案】
1．B
【详解】
由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，
f 2 f 1
∵ a，
2 1
∴f′（1）＜a＜f′（2），
2．B
【详解】
2
因函数 y f x 2x 1，则 f x 在区间 1,1 x 上的函数增量 y有：
y f 1 x f 1 2 1 x 2 1 2 1 4 x 2 y x 2，于是有 4 2 xx ，
y
所以所求平均变化率 等于 4 2 x .
x
3．C
【详解】
f π f 0 π2
平均变化率为 π .
π 0 π
4．A
【详解】
x 1.1 1 0.1， y f (1.1) f (1) 1.12 1 (12 1) 0.21
所以函数 f (x) x2 1在区间[1,1.1]
y f (1.1) f (1) 0.21
上的平均变化率为 2.1.
x x 0.1
5．A
【详解】
根据导数定义，
lim f (1 x) f (1)
x 0 3 x
1 lim f (1 x) f (1)
3 x 0 x
1 2
2
3 3
6．C
【详解】
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f 2 x
lim f 2 x 因为 2 f 2 2，
x 0 x
所以 f 2 1，则曲线 y f x 在点 2,f 2 处的切线斜率为 1，
3
故所求切线的倾斜角为 .4
7．D
【详解】
lim 2 f ( x) 2 f (0) 2 lim f ( x) f (0)由题意，根据导数的定义可得 2 f (0)，
x 0 x x 0 x
3
又由函数函数 f (x) x2 2ex，则 f (x) 3x 2ex，所以 f (0) 3 0 2e 0 2 ，
2
所以 lim
2 f ( x) 2 f (0)
2 f (0) 4，故选 D.
x 0 x
8．B
【详解】
解：因为函数 y f x 在 x x0处的导数为 1，
f x0 x f xlim 0 1 f x xlim 0 f x0 1则 f x 1 .
x 0 2 x 2 x 0 x 2 0 2
9．D
【详解】
因为 f (x)在 x x0处可导，
lim f (x0 x) f (x0 3x) 4lim f (x0 x) f (x由导数的定义可得： 0
3x)
4 f x .
x 0 x x 0 4x 0
10．D
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 a 1，进而得到 f (x)的解析式，再对 f (x)求
导得出切线的斜率 k，进而求得切线方程.
详解：因为函数 f (x)是奇函数，所以 a 1 0，解得 a 1，
所以 f (x) x 3 x ， f '(x) 3x2 1，
所以 f '(0) 1, f (0) 0，
所以曲线 y f (x)在点 (0,0)处的切线方程为 y f (0) f '(0)x，
化简可得 y x，故选 D.
11．D
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【详解】
设直线 l在曲线 y x上的切点为 x0 , x0 ，则 x0 0，
1 1
函数 y x的导数为 y 2 x ，则直线
l的斜率 k 2 x ，0
1
设直线 l的方程为 y x0 x x 2 x 0 ，即 x 2 x0 y x0 0 ，0
1 x 1
由于直线 l与圆 x2 y2
0
相切，则 1 4x 5 ，5 0
1
两边平方并整理得5x20 4x0 1 0，解得 x0 1， x0 （舍），5
则直线 l的方程为 x 2y 1 0 y
1
，即 x
1
.
2 2
12．D
【详解】
在曲线 y ex t上任取一点 P t,e ，对函数 y ex求导得 y ex，
t t t t
所以，曲线 y ex在点 P处的切线方程为 y e e x t ，即 y e x 1 t e ，
由题意可知，点 a,b 在直线 y etx 1 t et t上，可得b ae 1 t et a 1 t et，
令 f t a 1 t et f t a t et，则 .
当 t a时， f t 0，此时函数 f t 单调递增，
当 t a时， f t 0，此时函数 f t 单调递减，
a
所以， f t max f a e ，
由题意可知，直线 y b与曲线 y f t a的图象有两个交点，则b f t emax ，
当 t a 1时， f t 0，当 t a 1时， f t 0，作出函数 f t 的图象如下图所示：
第 39 页 共 77 页
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由图可知，当0 b ea时，直线 y b与曲线 y f t 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 y ex的图象如图所示，根据直观即可判定点 a,b 在曲线
下方和 x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0 b ea .
13．B
【详解】
因为函数 f x 定义域为 0, ，所以依题可知， f (1) = -2， f 1 0，而
f x a b 2 2 2 ，所以b 2,a b 0，即a 2,b 2，所以 f x x x2 ，因此函x x
数 f x 在 0,1 上递增，在 1, 上递减， x 1时取最大值，满足题意，即有
f 2 1 1 1
2 2 ．
14．D
【详解】
2
f ' x 2x 3 f ' 2 ex x 2 f ' 2 4 3 f ' 2 e2依题意 ，令 得 ， f ' 2 e 2
2
15．C
【详解】
A选项： (3x ) 3x ln 3，A 正确；
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ln x B ln x
x x ln x
选项： 1 ln x ，B正确；
x x2 x2

C选项： x 1 1
1 ，C 错误；
x x2
D选项： (sin x cos x) sin x cos x cos x sin x cos2 x sin2 x cos 2x，D 正确
16．A
【详解】
曲线 y xe x 1，解得 y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为 1．
曲线 y xe x 1在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．
即 x﹣y+1=0．
17．D
【详解】
因为 y (2x 1) 2 4x 2 4x 1 ,
'
则函数的导函数 y 4x2 4x 1 8x 4 4 2x 1 ,
18．D
【详解】
1 1
2x 2 1 2x 2 ln x f 1 2 ln 2依题意有 f x x 2 ，故 2 ln 2
2x 2 1
，所以选 D.
19．B
【详解】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
x x
详解： x 0, f ( x) e e 2 f (x) f (x) 为奇函数，舍去 A,x
f (1) e e 1 0 舍去 D;
(ex e x )x 2 x x f (x) (e e )2x (x 2)e
x (x 2)e x
4 3 x 2, f ( x) 0 ，x x
所以舍去 C；因此选 B.
20．D
【详解】
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试题分析：函数 f (x) 2x2 e|x | |在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 y轴对称，
因为 f (2) 8 e 2,0 8 e 2 1 ，
所以排除 A,B选项；
当 x 0,2 时， y 4x e x有一零点，设为 x0 ，当 x (0, x0 )时， f (x)为减函数，
当 x (x0 ,2)时， f (x)为增函数．
21．D
【详解】
若 a b，则 f x a x a 3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 a b .
f x 有 x a和 x b两个不同零点，且在 x a左右附近是不变号，在 x b左右附
近是变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 x a
左右附近都是小于零的.
当 a 0时，由 x b， f x 0，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知b a， a 0，故ab a2 .
当 a 0时，由 x b时， f x 0，画出 f x 的图象如下图所示：
由图可知b a， a 0，故ab a2 .
综上所述，ab a2成立.
第 42 页 共 77 页
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故选：D
22．A
【详解】
由题可得 f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 x 1 e ，
因为 f 2 0 a 1 2 x 1 2 x 1，所以 ， f x x x 1 e ，故 f x x x 2 e ，
令 f x 0，解得 x 2或 x 1，
所以 f x 在 , 2 , 1, 上单调递增，在 2,1 上单调递减，
所以 f x 的极小值为 f 1 1 1 1 e1 1 1，故选 A．
23．A
【详解】
x 1 2
由题可得 f x 2x a e x ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 ，
因为 f 2 0 2，所以a 1， f x x x 1 ex 1 2 x 1，故 f x x x 2 e ，
令 f x 0，解得 x 2或 x 1，
所以 f x 在 , 2 , 1, 上单调递增，在 2,1 上单调递减，
所以 f x 1 1的极小值为 f 1 1 1 1 e 1，故选 A．
24．C
【详解】
2 x
由题意知： f x 的极值为 3，所以 f x0 3，因为 f (x0 ) 3 cos 0 0，m m
x
所以 0
x 1 1 m
k ,k x z，所以 0 k
1
,k z即 0 k m 2 m 2 m 2 2 ，所以
x0 2 ，即
2
x 2 [ f (x )]2 m 2 2 m
2
3 3m
2
0 0 ，而已知 x0 f x
2 2
0 m ，所以m 3，故 3，解得4 4 4
m 2或m 2，故选 C.
25．C
【详解】
由题意，函数 f (x) (x 3)e x a(2 ln x x 1) ，
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x
可得 f (x) e x (x 3)e x a( 2 1) (x 2)(e x a ) (x 2) ( xe a ) ，
x x x
又由函数 f x 在 (1, )上有两个极值点，
xex
则 f x 0，即 (x 2) a ( ) 0 在 (1, )上有两解，
x
即 xex a 0在在 (1, )上有不等于 2 的解，
令 g x xex，则 g (x) (x 1)e x 0, (x 1) ，
所以函数 g x xex在 (1, )为单调递增函数，
所以a g 1 e 2且a g 2 2e ，
又由 f (x)在 (1, 2)上单调递增，则 f x 0在 (1, 2)上恒成立，
x
即 (x 2) ( xe a) 0 在 (1, 2)上恒成立，即 xex a 0在 (1, 2)上恒成立，
x
即 a xex在 (1, 2)上恒成立，
又由函数 g x xex在 (1, )为单调递增函数，所以 a g(2) 2e2，
综上所述，可得实数 a的取值范围是 a 2e2，即a (2e2 , )，故选 C.
26．B
【详解】
1
由题意知函数 y＝ 2 ex与 y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线 y＝x对称，两
1 1
曲线上点之间的最小距离就是 y＝x与 y＝ 2 ex上点的最小距离的 2倍．设 y＝ 2 ex
1
上点(x0，y0)处的切线与直线 y＝x平行．则 ex0 =12 ，∴x0＝ln 2，y0＝1，
ln 2 1
∴点(x 20，y0)到 y＝x的距离为 ＝ (1－ln 2)，2 2
则|PQ| 2的最小值为 (1－ln 2)×2＝ 2 (1－ln 2)．
2
27．B
【详解】
a 2ln1.01 ln1.012 ln 1 0.01 2 ln 1 2 0.01 0.012 ln1.02 b ,
所以b a ;
下面比较c与 a,b的大小关系.
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2 2 2 1 4x 1 x
记 f x 2ln 1 x 1 4x 1 ,则 f 0 0 , f x ，
1 x 1 4x 1 x 1 4x
由于1 4x 1 x 2 2x x2 x 2 x
0所以 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 0 ,即2ln1.01 1.04 1,即a c ;
2 2 2 1 4x 1 2x
令 g x ln 1 2x 1 4x 1 ,则 g 0 0 , g x ,
1 2x 1 4x 1 2x 1 4x
由于1 4x 1 2x 2 4x2 ，在 x>0时,1 4x 1 2x 2 0 ,
所以 g x 0 ,即函数 g x 在[0,+∞)上单调递减，所以 g 0.01 g 0 0 ,即
ln1.02 1.04 1,即 b综上，b c a ,
28．D
【详解】
设 g x ex 2x 1 ， y a x 1 ，
由题意知，函数 y g x 在直线 y ax a下方的图象中只有一个点的横坐标为整
数，
g x ex 2x 1 x 1 1，当 g x 02 时， ；当 x 2 时， g
x 0 .
1

所以，函数 y g x 的最小值为 g 1 2e 2 .
2
又 g 0 1， g 1 e 0 .
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直线 y ax a恒过定点 1,0 且斜率为 a，
故 a g 0 1 3且 g 1 a a 3，解得 a 1，故选 D.
e 2e
29．A
【详解】有图可知 f 7 0，所以即解 xf x 0，当 x 0时，等价于 f x 0，故
满足条件的为1 x 4，当 x 0时,等价于 f x 0,故满足条件的为 x 0，所以综
合可得 xf x f 7 的解集为 x x 0或1 x 4
30．B
【详解】
由 f x 2x3 3x2 9x 7 ，可得 f x 6x2 6x 9， f x 12x 6，令
2
f x 12x 6 0 x 1 1 1
3 1 2
，得 ，又 f 2 3 9
1 7 1
，所以对称中
2 2 2 2 2 2 2
1 , 1 f 1 f 2021 1, f 2 f 2020 心为 ，所以 1
2 2 2022 2022
，…，
2022 2022
f 1010 f 1012 1 f 1011 1
2022 2022
， .
2022 2
f 1 f 2 f 3 f 2021 所以 1010 1
1 2021

2022 2022
．
2022 2022 2 2
故选：B.
31．AC
【详解】
f x 3x2 1 3 3由题， ，令 f x 0得 x 或 x ，
3 3
令 f (x) 0 3 3得 x ，
3 3
所以 f (x) ( 3 , 3在 ) 3 3上单调递减，在 ( , )， ( , ) 上单调递增，
3 3 3 3
3
所以 x 是极值点，故 A正确；
3
3 2 3 3
因 f ( ) 1 0 ， f ( ) 1 2 3 0 ， f 2 5 0，
3 9 3 9
3
所以，函数 f x 在 , 3 上有一个零点，
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2023 届高考数学一轮复习——导数
3 f x f 3

当 x 时， 0 f x
3
,+
3 3
，即函数 在 3 上无零点，
综上所述，函数 f (x)有一个零点，故 B 错误；
令 h(x) x 3 x
3
，该函数的定义域为R， h x x x x3 x h x ，
则 h(x) 是奇函数， (0,0)是 h(x) 的对称中心，
将 h(x) 的图象向上移动一个单位得到 f (x)的图象，
所以点(0,1)是曲线 y f (x)的对称中心，故 C正确；
令 f x 3x2 1 2，可得 x 1，又 f (1) f 1 1，
当切点为 (1,1) 时，切线方程为 y 2x 1，当切点为 ( 1,1)时，切线方程为 y 2x 3，
故 D错误.
32．AD
【详解】
对于 A， f x cos x sin x， f x sin x cosx 2 sin x


4
，


当 x 0,
x 时， 0， f x 0，故 f x sin x cos x4 4 4 不是凸函数；
对于 B， f x 1 2， f x 1 2 0，故 f x ln x 2xx x 是凸函数；
对于 C， f x 3x2 2，对任意的 x 0,

， f x 6x 0，故 f x x3 2x 1
2
是凸函数；
D x
x x
对于 ， f x x 1 e ，对任意的 x 0, ， f x x 2 e 02 ，故 f x xe 不
是凸函数．
33．BC
【详解】
设函数 f x 在区间 0, 上的“中值点”为 x0
由 f x cos x 3 sin x ，
则由拉格朗日中值定理可得： f f 0 f x 0 0
又 f f 0 3 3 2 3
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f x cos x 3 sin x 2 3即 0 0 0 2cos x0
3
cos x 3 3所以 0 ，
1 1，
3 2
y cos 3作出函数 x
3
和 y 的图象,如图 1.

3
由图可知，函数 y cos x 3 和 y 的图象在
0, 上有两个交点.

所以方程 cos x
3
0 在 0, 上有两个解，即函数 f x 在区间 0, 上有 2 个
3
“中值点”.
所以m 2
又 g x ex，函数g x 在区间 0,1 上的“中值点”为x1 ，
则由拉格朗日中值定理可得： g 1 g 0 g x0 1 0
即 e 1 e x1 ，
作出函数 y ex与 y e 1的图象，如图 2
1 e 1 e , 当 x 0,1 时，1 ex e
由图可知，函数 y ex与 y e 1的图象在区间 0,1 上有 1个交点.
即方程 e 1 e x1 在区间 0,1 上有 1个解.
所以函数 g x 在区间 0,1 上有 1个“中值点”，即 n 1
34．AD
【详解】
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解：
1n2 10 10
对于 A：f 2 ln 2, f 5 ln 5 ln 5 52 5 ，又 2 2
5 32 ， 5 5 25，32 25，
所以 2 5 5 ，则有 f 2 f 5 ，A正确；
对于 B：若 f x m有两个不相等的实根x x x x e21、 2，则 1 2 ，故 B 不正确；
ln x 1 ln x
证明如下：函数 f x x ，定义域为
0, ，则 f ' x x2 ，
当 f ' x 0时，0 x e；当 f ' x 0时， x e；，
所以 f x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，则 f x 1 且 x emax e 时，有
f x 0 1，所以 若 f x m有两个不相等的实根x 、x1 2，有0 m e，
e2 e2
不妨设x x 22 ，有0 x1 e x2 ，要证 x1x2 e ，只需证 x2 ，且 x2 e1 x x ，又1 1
2 2
f x1 f

x e
e
2 ，所以只需证 f x1 f ，令 F x f x f (0 x e)
x1 x
e
2
则有F ' x f ' x f '
1 1 1
2 1 ln x

x x

x2 e4
1 1
当0 x e时，1 ln x 0， 2 4 0，所以有 F ' x 0，即 F x 在 (0,e)x e 上单调递
2
2
增，且F e 0，所以F x 0 e e 恒成立，即 f x f 21 x ，即 f x2 f x ，即 x1x2 e . 1 1
对于 C：由 B 可知， f x 在 0,e 上单调递增，则有 f 2 f e 1n2 ln e，即 ，则
2 e
有 ln 2 2 2 ，故 C不正确；
e e
lnm
对于 D：令 2x 3y m， x， y均为正数，则m >1，解得： x log2 m ln 2 ，
2 lnm 3lnm 2 3
y log m lnm3 ， 2x 3y lnm

ln 3 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 ，
由 B 可知， f x e, ln 4 ln 3在 上单调递减，则有 f 4 f 3 ，即0 4 3 ，即
2 4 3
，所以2x 3y 0 D .ln 2 ln 4 ln 3 ，故 正确
35． 3m
【详解】
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∵ f x0 m，
f x0 3Δx f x∴原式 3 lim 0
Δx 0 3Δx
3 f x0 3m．
36．(0,1)
【详解】
1 ex , x 0 ex , x 0
由题意， f x ex 1 x ，则 f x ， e 1, x 0 x e , x 0
所以点 A x1,1 ex1 x和点 B x 2 x12 ,e 1 ， kAM e ,kBN ex2 ,
所以 ex1 ex2 1, x1 x2 0，
x x
所以 AM : y 1 e 1 e 1 x x x1 x11 ,M 0,e x1 e 1 ，
2
所以 AM x21 ex1 x1 1 e2x1 x1 ，
同理 BN 1 e2x2 x2 ,
AM 1 e2x1 x 1 e2x11 1 e2x1
所以 ex12x 2x 0,1 BN .1 e2x2 x 1 e 2 1 e 12
37． y 2x
【详解】
试题分析：当 x 0时， x 0，则 f ( x) ex 1 x．又因为 f (x)为偶函数，所以
f (x) f ( x) e x 1 x ，所以 f (x) e x 1 1，则 f (1) 2，所以切线方程为 y 2 2(x 1)，
即 y 2x．
38． , 4 0,
【详解】
∵ y (x a)ex，∴ y (x 1 a)ex，
设切点为 x0 , y0 ,则 y0 x0 a ex0 ,切线斜率 k x0 1 a ex0 ,
切线方程为： y x a ex0 x 1 a ex00 0 x x0 ,
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x
∵切线过原点，∴ x a e 00 x0 1 a ex0 x0 ,
整理得： x20 ax0 a 0 ,
∵切线有两条，∴ a2 4a 0 ,解得a < -4或 a 0 ,
∴ a的取值范围是 , 4 0, ,
故答案为： , 4 0,
39．1 ln 2
【详解】
1 1
试题分析：对函数 y ln x 2求导得 y x，对
y ln(x 1)求导得 y x 1，设直线
y kx b与曲线 y ln x 2相切于点 P1(x1, y1)，与曲线 y ln(x 1)相切于点P2 (x2 , y2 )，
1
则 y1 ln x1 2, y2 ln(x2 1) ，由点 P1(x1, y1)在切线上得 y ln x1 2 (x xx 1)，由点1
1
P2 (x2 , y2 )在切线上得 y ln(x2 1) (x x2 )x ，这两条直线表示同一条直线，所以2 1
x 1 1，解得 1 , k 2,b ln x1 2 1 1 ln 22 x .1
40．1
【详解】
e
x x a ex ex x a 1
由函数的解析式可得： f x 2 x a x a 2 ，
e1 1 a 1 ae e
则： f 1
ae
2
2 2 ，据此可得：1 a a 1 a 1 4 ，
整理可得： a2 2a 1 0 ，解得： a 1 .
41．1
【详解】
f ' x f ' sin x cos x

， f '
f ' sin cos f '
4 4 4 4 4 ，解得
2 1，
4
故 f
f ' cos sin 2 2 2 1 1 ，故答案为1.
4 4 4 4 2 2
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2023 届高考数学一轮复习——导数
1
42 ． ,1


e
【详解】
x
解： f x 2 ln a a 2e x，
因为 x1, x
x 2
2 分别是函数 f x 2a e x 的极小值点和极大值点，
所以函数 f x 在 , x1 和 x2 , 上递减，在 x1, x2 上递增，
所以当 x ,x1 x2 , 时， f x 0，当 x x1, x2 时， f x 0，
若 a 1时，当 x 0时， 2ln a a x 0,2e x 0 ，则此时 f x 0，与前面矛盾，
故 a 1不符合题意，
若 0 a 1时，则方程2ln a ax 2e x 0的两个根为 x1, x2 ，
即方程 ln a ax e x的两个根为 x1, x2 ，
即函数 y ln a ax与函数 y e x的图象有两个不同的交点，
∵ 0 a 1 ,∴函数 y ax的图象是单调递减的指数函数，
又∵ ln a 0 ,∴ y ln a ax的图象由指数函数 y ax向下关于 x轴作对称变换，然后
将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的 ln a 倍得到，
如图所示：
x
设过原点且与函数 y g x 的图象相切的直线的切点为 x , ln a a 00 ，
g x ln2 a a x则切线的斜率为 00 ，
x 2 x
故切线方程为 y ln a a 0 ln a a 0 x x0 ，
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则有 ln a ax0 x0 ln
2 a ax0 ，解得 x
1
0 ，ln a
1
则切线的斜率为 ln2 a a ln a e ln2 a，
因为函数 y ln a ax与函数 y e x的图象有两个不同的交点，
1
所以e ln2 a e，解得 a ee ，
1
又 0 a 1，所以 a 1e ，
综上所述， a
1 ,1 的范围为 .
e
43 3 3．
2
【详解】
1
分析：首先对函数进行求导，化简求得 f ' x 4 cosx 1 cosx 2 ，从而确定出函
2k 5 数的单调区间，减区间为 , 2k k Z 3 3 ，增区间为
2k , 2k

k Z
3 3
3 3 ，确定出函数的最小值点，从而求得 sinx , sin2x 2 2
代入求得函数的最小值.
2
详解： f ' x 2cosx 2cos2x 4cos x 2cosx 2 4 cosx 1 1 cosx

，所以当 cosx
1

2 2
1
时函数单调减，当 cosx 2 时函数单调增，从而得到函数的减区间为

2k
5
, 2k k

Z ，函数的增区间为 2k , 2k
k Z
3 3 3 3 ，所以当
x 2k ,k Z时，函数 f x 3 3取得最小值，此时 sinx , sin2x ，所以
3 2 2
3 3 3 3 3 3min = 2 × ( ) = ，故答案是 .2 2 2 2
1 1 1
44．① y 2 ；② y 18x
2 4x 3③ y 1 cos x；④ y
sin x cos x
= .
x x －2 ex
【详解】

解：① y 1 ln x

ln x
1 1 1
.
x x x x 2
② y 2x2 1 3x 1 6x3 2x2因为 3x 1，
所以 y 6x 3 2x 2 3x 1
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2023 届高考数学一轮复习——导数
6x3 2x2 3x 1 18x2 4x 3 ．
x x 1
③因为 y x sin cos x sin x2 2 2 ，
1 1 所以 y x sin x
1
x

sin x

1 cosx .
2 2 2
cos x
cos x ex cos x ex
④ y sin x cos x x 2 e ex ex
sin x cos x
＝－ .ex
45．(1) f (x) 6x 2 8x (2) f (x) x 2 2x a (3) f (x) sin x 1 (4)
f (x) 1
2
2x 3 (5) y cos x (6) y
x (x 1)2
【详解】
3 2 ' 2
解：（1）由 f x 2x 4x ，则 f x 6x 8x；
f x 1（2）由 x3 x2 ax 1 ' 2，则 f x x 2x a；
3
（3）由 f (x) x cos x, x (0,1) ，则 f (x) 1 sin x, x (0,1)；
（4）由 f (x) x 2 3x ln x ，则 f ' (x) 2x
1
3
x；
（5）由 y sin x，则 y ' cos x；
x 1 (x 1)' (x 1) (x 1) (x 1)' 2
（6）由 y x 1，则
y ' .
(x 1)2 (x 1)2
46．（1）见解析；（2）见解析
1 f x 0, f x 1 1 a x
2 ax 1
【详解】（ ） 的定义域为 ， 2 .x x x2
（i）若a 2，则 f x 0，当且仅当a 2，x 1时 f x 0，所以 f x 在 0, 单
调递减.
2 2
（ii）若a 2，令 f x 0得， x a a 4 或 x a a 4 .
2 2
a a2 x 0, 4 a a
2 4
当 , f x 0 2 时，
；
2
2 2
当 x
a a 4 a a 4
,
2 2 时，
f x 0 .所以 f x 在

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2023 届高考数学一轮复习——导数
2
0, a a 4 , a a
2 4 2, a a 4 a a
2 4
,
2 2 单调递减，在 2 2 单调递增.
（2）由（1）知， f x 存在两个极值点当且仅当a 2 .
由于 f x 的两个极值点 x1, x2 满足 x2 ax 1 0，所以 x1x2 1，不妨设 x1 x2，则 x2 1.
由于
f x1 f x2 1 1 a lnx1 lnx2 2 a lnx1 lnx2 2 a 2lnx 2
x1 x x 12 1x2 x1 x2 x1 x2 x ，
x 22
f x1 f x2 1
所以 a 2 x 2lnx 0x x 等价于 2 2 .1 2 x2
设函数 g x 1 x 2lnx，由（1x ）知，
g x 在 0, 单调递减，又 g 1 0，从而
当 x 1, 时， g x 0 .
1 f x1 f x 2lnx 0 x2 所以 2 2 ，即 a 2x .2 x1 x2
47．（1） f x 的递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,+ ；（2）证明见解析.
【详解】
(1) f x 的定义域为 0, ．
由 f x x 1 ln x 得， f x ln x，
当 x 1时， f x 0；当 x 0,1 时 f′ x 0；当 x 1, 时， f ' x 0．
故 f x 在区间 0,1 内为增函数，在区间 1, 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
1
由b ln a a lnb a b得 (1 ln
1 ) 1 (1 ln 1) f (1 ，即 ) f (
1) ．
a a b b a b
1 1
由 a b，得 a b．
1 1 1 1 1
由（1）不妨设 (0,1), (1, ) ，则 f ( ) 0a ，从而
f ( ) 0，得 (1,e)，
a b b b
①令 g x f 2 x f x ，
则 g (x) f (2 x) f (x) ln(2 x) ln x ln(2x x2 ) ln[1 (x 1)2 ]，
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当 x 0,1 时， g x 0， g x 在区间 0,1 内为减函数， g x g 1 0，
1 1 1
从而 f 2 x f x ，所以 f (2 ) f ( ) f ( ) ，
a a b
2 1 1 1 1由（1）得 即 2 ．①
a b a b
令 h x x f x ，则 h ' x 1 f x 1 ln x ，
当 x 1,e 时， h x 0，h x 在区间 1,e 内为增函数， h x h e e，
从而 x f x e 1 1，所以 f ( ) e．
b b
1 1 1 1 1 1
又由 (0,1)a ，可得
(1 ln ) f ( ) f ( )，
a a a a b
1 1 1 1
所以 f ( ) e．②
a b b b
1 1
由①②得 2 ea b ．
ln a ln b 1 1 ln a 1 ln b 1
[方法二]【最优解】：b ln a a lnb a b变形为 ，所以 a b b a a b ．
1 1
令 m, n．则上式变为m 1 lnm n 1 ln n ，
a b
于是命题转换为证明：2 m n e．
令 f x x 1 ln x ，则有 f m f n ，不妨设m n．
由（1）知0 m 1,1 n e，先证m n 2．
要证：m n 2 n 2 m f n f 2 m f (m) f 2 m
f m f 2 m 0．
令 g x f x f 2 x ,x 0,1 ，
则 g x f x f 2 x ln x ln 2 x ln x 2 x ln1 0，
g x 在区间 0,1 内单调递增，所以 g x g 1 0，即m n 2．
再证m n e．
因为m 1 lnm n 1 ln n m，所以 n 1 ln n n e m n e．
令 h x x 1 ln x x ,x 1,e ，
所以 h ' x 1 ln x 0，故h x 在区间 1,e 内单调递增．
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2023 届高考数学一轮复习——导数
所以 h x h e e．故 h n e，即m n e．
1 1
综合可知 2 ea b ．
[方法三]：比值代换
1 1
证明 2a b 同证法
2．以下证明 x1 x2 e．
x tx t
x
2不妨设 2 1 ，则 1x ，1
由 x1(1 ln x1) x2 (1 ln x2 )得 x1(1 ln x1) tx1[1 ln(tx )] ln x
t ln t
1 ， 1 1 ，t 1
要证 x1 x2 e，只需证 1 t x1 e，两边取对数得 ln(1 t) ln x1 1 ，
即 ln(1 t) 1
t ln t
1，
t 1
ln(1 t) ln t
即证 ．
t t 1
g(s) ln(1 s)
s
记 , s (0, )
ln(1 s)
，则
s g (s) 1 s
.
s2
s 1 1
记 h(s) ln(1 s)，则h (s) 0
1 s (1 s)2 1 s ，
所以， h s 在区间 0, 内单调递减． h s h 0 0，则 g ' s 0，
所以 g s 在区间 0, 内单调递减．
由 t 1, 得 t 1 0, ，所以 g t g t 1 ，
ln(1 t) ln t
即 ．
t t 1
[方法四]：构造函数法
ln a ln b 1 1 1
由已知得 ，令 x1,
1
x
a b b a 2 ，a b
不妨设 x1 x2 ，所以 f x1 f x2 ．
由（Ⅰ）知，0 x1 1 x2 e，只需证 2 x1 x2 e．
证明 x1 x2 2同证法 2．
e
再证明 x1 x2 e
2 ln x
．令 h(x) 1 ln x (0 x e) ,h (x) x ．
x e (x e)2
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(x) ln x e 2(0 x e) 1 e x e令 ，则 (x) 2 2 0．x x x x
所以 x e 0,h x 0 ，h x 在区间 0,e 内单调递增．
1 ln x 1 ln x 1 ln x x e
因为0 x1 x2 e
1 2 1 1
，所以 x1 e x2 e
，即1 ln x2 x2 e
1 ln x x x x e又因为 f x1 f x 1 2 , 2 12 ，所以1 ln x2 x1 x1 x2 e，
x2即 2 ex2 x
2
1 ex1, x1 x2 x1 x2 e 0．
1 1
因为 x1 x2 ，所以 x1 x2 e，即 ea b ．
2 1 1综上，有 ea b 结论得证．
48．（1）1；（2） 3 .
【详解】
（1）f (x) x 3 3ax 1 f '(x) 3x 2 3a ，函数 f (x) x3 3ax 1 在 x 1处取得极值，
所以有 f '( 1) 0 3( 1)2 3a 0 a 1；
（2）由（1）可知： f (x) x3 3x 1 f ' (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，
当 x ( 2, 1) 时， f ' (x) 0，函数 f (x)单调递增，当 x ( 1,1)时， f ' (x) 0，函数 f (x)
单调递减，故函数在 x 1处取得极大值，因此 f ( 1) ( 1) 3 3 ( 1) 1 =1，
f ( 2) ( 2) 3 3 ( 2) 1 = 3， f (1) 13 3 1 1 = 3，故函数 f (x)的最小值为 3 .
49．（I） y (a 1)x, (a 0)；（II）证明见解析；（III） e,
【详解】
（I） f (x) a (x 1)e x，则 f (0) a 1，
又 f (0) 0，则切线方程为 y (a 1)x, (a 0)；
（II）令 f (x) a (x 1)e x 0 ，则 a (x 1)e x，
令 g(x) (x 1)ex，则 g (x) (x 2)ex，
当 x ( , 2)时，g (x) 0，g x 单调递减；当 x ( 2, ) 时，g (x) 0，g x 单调
递增，
当 x 时， g x 0， g 1 0，当 x 时， g x 0，画出 g x 大致图像如
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2023 届高考数学一轮复习——导数
下：
所以当 a 0时， y a与 y g x 仅有一个交点，令 g m a，则m 1，且
f (m) a g(m) 0，
当 x ( ,m)时， a g (x)，则 f (x) 0， f x 单调递增，
当 x m, 时， a g(x)，则 f (x) 0， f x 单调递减，
x m为 f x 的极大值点，故 f (x)存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 f (x) mmax f (m)，此时 a (1 m)e ,m 1，
所以{ f (x) a}max f (m) a m2 m 1 em , (m 1)，
令h(x) x2 x 1 ex , (x 1)，
若存在 a，使得 f (x) a b对任意 x R 成立，等价于存在 x ( 1, )，使得h(x) b，
即b h(x)min ，
h (x) x2 x 2 ex (x 1)(x 2)ex， x 1，
当 x ( 1,1)时，h (x) 0 ，h x 单调递减，当 x (1, )时，h (x) 0，h x 单调递增，
所以h(x)min h(1) e，故b e，
所以实数 b的取值范围 e, .
50．（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.
【详解】
1 2x 2 2x
2 2a
（ ）函数 f x 的定义域为 0, ， f x .
a x ax
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2023 届高考数学一轮复习——导数
当 a 0时， f x 0， f x 在 0, 上是减函数，所以 f x 在 0, 上无极值；
当 a 0时，若 x 0, a ， f x 0， f x 在 0, a 上是减函数.
当 x a, ， f x 0， f x 在 a , 上是增函数，
故当 x a时， f x 在 0, 上的极小值为 f a 1 2ln a 1 lna，
无极大值.
2
（2）当 a 4时， f x x 2lnx，
4
由（1）知， f x 在 0,2 上是减函数，在 2, 上是增函数， x 2是极值点，
又x x f x 0 x 2 x1， 2为函数 零点，所以 1 2 ，要证 x1 x2 4，只需证 x2 4 x1.
4 x 2 x 2
∵ f 4 x 11 2ln 4 x1 1 2x1 4 2ln 4 x1 ，又4 4
x 2
∵ f x 11 2lnx1 0，∴ f 4 x1 2lnx1 2x1 4 2ln 4 x4 1
，
2 x 2 2
令 h x 2lnx

2x 4 2ln 4 x (0 x 2) h x 2 2 ，则 2 0 ，
x 4 x x 4 x
∴h x 在 0,2 上是增函数，∴h x h 2 0，∴ f 4 x1 0 f x2 ，
∴4 x1 x2，即 x1 x2 4得证.
51 1 1．（1） a 且 a e 2 ；（2）证明见解析.
【详解】
解：（1）利用 f x 的极值点个数即为 f x 的变号零点个数
x e
x a x 2
f x f 0 0 g x ex2 ， ，设 a x 2 ， x 1
由已知，方程 g x 0有两个不为 0 x，－1 的实根， g x e a
当 a 0时， g x 在 R上递增， g x 0至多一个实根，故 a 0
所以 g x 在 , ln a 上递减，在 ln a , 上递增，
g 2 e 2因为 0， g a 2 e a 2 a a 4 a 2 2 a2 4a 4 0
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2023 届高考数学一轮复习——导数
g 1 1 a 0
e
所以 g 0 1 2a 0 时， g x 0有两个实根，

g x g ln a a a ln a 2 0min

1 1
解得 a e且
a
2
（2）由（1）不妨设 x3 0， x
1
1 x2 ，∵ g 1 a 0e ，∴
x1 1 x2 .
要证 x1 x2 x3 2，即证 x1 2 x2 而 x1 1， 2 x2 1
由 g x 在 , ln a 上递减，在 ln a , 上递增，且 ln a 1
故只要证 g x1 g 2 x2 ，又 g x1导数
目录
【知识点讲解】
导数的概念及运算——————————————————2
导数与函数的单调性、极值、最值———————————5
三、导数的综合应用
1、导数与切线————————————————9
（1）求切线方程
（2）切线转化——距离问题
（3）公切线
2、切线放缩—————————————————11
3、端点效应—————————————————13
4、同构———————————————————14
5、对数平均不等式——————————————14
6、隐零点——————————————————16
7、数列不等式————————————————17
8、极值点偏移————————————————17
9、多元不等式————————————————19
10、割线放缩—————————————————20
11、凹凸性反转————————————————21
【对点训练】
选填————————————————————————23
解答题———————————————————————29
【参考答案】————————————————————————37
【知识点讲解】
一、导数的概念及运算
1．平均变化率
(1)定义式：＝；
(2)几何意义：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图象上两点，
则＝，平均变化率表示割线P1P2的斜率．
2．瞬时变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)，这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，则称这个值为y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作＝ ．
3.导数的概念
（1）函数 在 处的导数：如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率）1。记作 或 ，即 。
4.导数的几何意义：函数 在 处的导数 的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 对时间 的导数）。相应地，切线方程为 2。
例1．若直线和曲线相切，则实数的值为
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
设切点坐标为，所以．
所以．故选C
5.基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（ 为常数） 0
（ 且 ）
（ ，且 ）
（ ，且 ）
例2．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】设切线的斜率为，由，则，
则有．故选D．
6.导数的运算法则
（1） 。
（2） 。
（3） 。
7.复合函数的导数（重点）
复合函数 的导数和函数 , 的导数间的关系为 ,即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积。
例3．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，求导，令，解得，
当时，， 单调递增；当，，函数单调递减，且，
又时，；又时，；
设，显然当时，方程有两个实数根，
则要使方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根，
故，，解得．故选C．
二、导数与函数的单调性、极值、最值
1.函数 在某个区间 上的单调性与 的关系1
（1）若 ，则 在这个区间上单调递增。
（2）若 ，则 在这个区间上单调递减。
（3）若 ，则 在这个区间内是常数。
例4．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
因为在[1，+∞）上是单调减函数，
所以≤0在[1，+∞）上恒成立，
当≤0时，则在[1，+∞）上恒成立，
即a，设g（x），
因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]，
当时，g（x）取到最大值是，所以a，
所以数a的取值范围是（﹣∞，]故选A
2.利用导数关系构造函数的一些常见结构
（1）对于不等式 ，构造函数 。
（2）对于不等式 ，构造函数 。
特别地，对于不等式 ，构造函数 。
（3）对于不等式 ，构造函数 。
（4）对于不等式 ，构造函数 。
（5）对于不等式 ，构造函数 。
（6）对于不等式 ，构造函数 。
（7）对于不等式 ，构造函数 。
例5．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
因为导函数满足恒成立且，所以，
所以在单调递减，因为，
所以不等式等价于，
因为所以在单调递减，所以，
所以不等式的解集为，故选A
3.函数的极值
①设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有 ＜ ，那么 是函数 的一个极大值，记作 ；如果对 附近的所有的点，都有 ＞ ，那么 是函数 的一个极小值，记作 。极大值与极小值统称为极值。
②当函数 在 处连续时，判断 是极大（小）值的方法：
如果 有 ＞ , 有 ＜ ,那么 是极大值；
如果 有 ＜ , 有 ＞ ,那么 是极小值。
例6．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是
A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝21
C．a<0或a>21 D．0【答案】A
【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax，所以，
因为函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点，所以 恒成立，
所以，解得，
所以函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是0≤a≤21，故选A
例7．已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（1）当时，当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，当时，，当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4）当时，，函数无极值，不符合题意；
（5）当时，当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，故选．
4.函数的最值
设函数 在 上连续，在 内可导，函数 在区间 上一切函数值中的最大（最小）值，叫做函数 的最大（最小）值2。
例8．直线与函数的图象分别交于A B两点，当|AB|最小时，为
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】令，
则，易知，，单减；
，，单增；则；
则直线与函数的交点间距离，
当且仅当时，AB最小．故选B．
导数的综合应用
导数与切线
（1）求切线方程
例9．若函数为函数图象的一条切线，则的最小值为A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设点是函数图象上任一点，其中，
，
所以过点的切线方程为，
即，故，
，
构造函数，
所以在区间上，递减，在区间上，递增，所以在区间上的极小值也即是最小值为，
即的最小值为．故选B
（2）切线转化——距离问题
例10．已知，，记，则
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时，
【答案】CD
【解析】由，得，
所以的最小值转化为函数图象的点到直线上的点的距离的最小值，由，得，
因为与直线平行的直线的斜率为，
所以，解得，则切线点坐标为，
所以到直线的距离为
，
所以的最小值为，此时，所以CD正确，A错误，
又过且与直线的直线为，即，由，解得，即当最小时， ，
所以B错误，故选CD
（3）公切线
例11．已知曲线与曲线有公共点，且在第一象限内的公共点处的切线相同(e是自然对数的底数)，则当m变化时，实数a取以下哪些值能满足以上要求
A．1 B．e C． D．
【答案】AB
【解析】设公切点为，，则，
求导得，，，
由切线相同知，，即，
则，，
令，，
，在时，，单调递减，；
故函数的值域为，即只需均可满足条件．
易知，或时均满足，或时不满足；故选AB．
例12．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．， C． D．，
【解析】解：，设与曲线相切的切点为，
与相切的切点为，则有公共切线斜率为，
又，可得，，
即有，即可得，，
设，，
可得时，，递增，当时，，递减，
可得处取得极大值，且为最大值则，故选：．
切线放缩
例13．设函数，已知在处有极值．
（1）求实数的值；
（2）当（其中是自然对数的底数）时，证明：；
（3）证明：对任意的，，不等式恒成立．
【解析】解：（1）由题意函数，已知在处有极值，
所以（1）解得：．
（2），
，
由，
，
函数的单调递增区间为．，单调的减区间为，
，又（e），
（e）（1）
即：
即：
；
（3），函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数在处取得最小值，
，
由于以上各式并不都能取等号，所以把以上各式相加，变形得：
．
端点效应
例14．已知函数．
（1）当求曲线在，（1）处的切线方程；
（2）若时，，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，，，
（1），又（1），
曲线在，（1）处的切线方程为：，即．
（2）令，则，
当时，恒成立，即在上单调递增，（1），
①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意；
②当时，由（1）及在上单调递增，知，
使得，即，不符合题意，
综上，的取值范围是，．
同构
例15. 已知函数，当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，所以，则当时，不等式恒成立等价于．设，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．则，即，即，当且仅当时，等号成立．设，则．由，得；由，得．则在上单调递减，在上单调递增．因为，，所以有解，则，当且仅当时，等号成立，从而，故．
故选：B
对数平均不等式
例16．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，是的两个零点．证明：
（ⅰ）；（ⅱ）．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，所以在上，，，单调递增，
在，上，，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增．
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）可知，要使由函数有两个零点，需，且，则，
又，故，则，
令，则，
在上单减，，又，
，又，，即；
要证，由（1）可知，只需证，即证，
又，只需证，即证，
令，则，，，
所以上述不等式等价于，即，亦即，
令，则，
在上单调递减，即（1），即得证．
隐零点
例17．设函数．
（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若，为整数，且当时，，求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ），，，，，
函数的图象在点处的切线方程为．
（Ⅱ），．
若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．
若，则当时，，当时，，
所以，在区间上单调递减，在上单调递增．
由于，所以，．
故当时，．①
令，则．
函数在上单调递增，而（1），（2）．
所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．
设此零点为，则．当时，；当时，；
所以，在上的最小值为．由，可得，
所以，，．由于①式等价于．
故整数的最大值为2．
数列不等式
例18．求证:.
【详解】构造函数，则，
∴ 当时，，函数在上为减函数，又，，
∴ ，∴ ，即，
设，则，
当时，，函数在上为减函数，
又时，∴ ，即，
∴ ，
∴ ，，…，，
∴，
∴，
∴
8、极值点偏移
例19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】（2）因为，故，即，
故，设，由（1）可知不妨设.
因为时，，时，，
故.先证：，若，必成立.
若， 要证：，即证，而，
故即证，即证：，其中.
设，
则，
因为，故，故，
所以，故在为增函数，所以，
故，即成立，所以成立，
综上，成立.设，则，
结合，可得：，
即：，故，
要证：，即证，即证，
即证：，即证：，
令，
则，
先证明一个不等式：.
设，则，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，故，
故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立，
故在上为减函数，故，
故成立，即成立.综上所述，.
9、多元不等式
例20．已知函数，其中.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有三个极值点，，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（2）由，则.
由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，
由有一个零点，则，
令，则，
∴当时取极值，时单调递增，
∴，则时有两零点，且，
要证：，
即证（其中），即证：，即，
由，，则，
即证：；等价于，等价于，
由在上单调递增，即证：，
又，则证，
令，，
∴.
∴恒成立，则为增函数，∴当时，，
∴，∴原结论成立.
10、割线放缩
例21．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）求函数的零点，以及曲线在其零点处的切线方程；
（2）若方程有两个实数根，求证：.
【答案】（1）零点为；；；（2）见解析.
【详解】（2）证明：因为函数的定义为，，
令，则，所以即单调递减，
由，，
所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减；
不妨设，且，，
令，，
记，则，
令，则，
所以单调递增，且，故在单调递减，在单调递增，
所以，即；
记，则，
所以单调递增，且，故在单减，在单增.
则，即；不妨设，
因为，且为增函数，所以.
由，得；
同理，；所以.
所以，所以.
11、凹凸性反转
例22．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得：，，
故在递增；又（1），（e），
故函数在内存在零点，的零点个数是1；
（2），
，当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
时，，递减，，时，，递增，
综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；
（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，
设，若记，则，时，，
在递增，（1），即，若，由于，
故，故，即当在恒成立时，必有，
当时，设，
①若，即时，由（2）得，递减，，，递增，
故（1），而，即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，设，，
由于，且，即，故，
因此，
故在递增，故（1），
即时，在恒成立，
综上，，时，在恒成立．
【对点训练】
一、单选题
1．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是　　
A． B．
C． D．
2．函数在区间上的平均变化率等于（ ）．
A．4 B． C． D．
3．函数在[0，π]上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C．π D．
4．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
5．设函数在处存在导数为2，则 .
A． B．6 C． D．
6．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
8．已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
9．设在可导，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
11．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
12．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
13．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
14．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于
A． B． C． D．
15．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
16．曲线在点处的切线方程是
A． B．
C． D．
17．函数的导数为
A． B． C． D．
18．已知，则
A． B． C． D．
19．函数的图像大致为 (　　)
A． B．
C． D．
20．函数在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
21．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
22．若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
23．若是函数的极值点，则的极小值为．
A． B． C． D．
24．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是
A． B． C． D．
25．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
26．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
27．设，，．则（ ）
A． B． C． D．
28．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为
A． B．
C． D．
30．设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
二、多选题
31．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
32．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
33．以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为，函数在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ）(参考数据：，，，.)
A． B． C． D．
34．已知函数，则（ ）．
A． B．若有两个不相等的实根、，则
C． D．若，，均为正数，则
三、填空题
35．已知，则_________．
36．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
37．已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________.
38．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
39．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．
40．设函数．若，则a=_________．
41．已知函数，则的值为__________．
42．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
43．已知函数，则的最小值是_____________．
四、解答题
44．求下列函数的导数．
①；②；③；④；
45．求下列函数的导函数.
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
46．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
47．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
48．已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
49．已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
50．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，且，证明：.
51．已知函数有三个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
52．已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．
53．设函数．
（1）证明：在单调递减，在单调递增；
（2）若对于任意，都有，求m的取值范围．
54．已知函数=.
（1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值；
（3）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
55．已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．
56．已知函数满足满足；
（1）求的解析式及单调区间；
（2）若，求的最大值.
57．已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的极值点，，证明:.
58．已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
59．设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．
（1）求b．
（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
60．已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
61．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
62．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；②．
63．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为的扇形，中心角．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．
（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；
（2）试问：当为多少时，年总收入最大？
64．定义可导函数在x处的弹性函数为，其中为的导函数．在区间D上，若函数的弹性函数值大于1，则称在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作的弹性区间．
（1）若，求的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数（其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当时，求的弹性区间D；
（ⅱ）若在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
65．已知函数.
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，，且，证明：.
【参考答案】
1．B
【详解】
由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，
∵a，
∴f′（1）＜a＜f′（2），
2．B
【详解】
因函数，则在区间上的函数增量有：
，于是有，
所以所求平均变化率等于.
3．C
【详解】
平均变化率为.
4．A
【详解】
，
所以函数在区间上的平均变化率为.
5．A
【详解】
根据导数定义，
6．C
【详解】
因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
7．D
【详解】
由题意，根据导数的定义可得，
又由函数函数，则，所以，
所以，故选D.
8．B
【详解】
解：因为函数在处的导数为1，
则.
9．D
【详解】
因为在处可导，
由导数的定义可得：.
10．D
【详解】
分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
详解：因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简可得，故选D.
11．D
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
12．D
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
13．B
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
14．D
【详解】
依题意，令得，
15．C
【详解】
A选项：，A正确；
B选项：，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：，D正确
16．A
【详解】
曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．
曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．
即x﹣y+1=0．
17．D
【详解】
因为,
则函数的导函数,
18．D
【详解】
依题意有，故，所以选D.
19．B
【详解】
分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
20．D
【详解】
试题分析：函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数．
21．D
【详解】
若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
22．A
【详解】
由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
23．A
【详解】
由题可得，
因为，所以，，故，
令，解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故选A．
24．C
【详解】
由题意知：的极值为，所以，因为，
所以，所以即，所以，即
3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.
25．C
【详解】
由题意，函数，
可得，
又由函数在上有两个极值点，
则，即在上有两解，
即在在上有不等于2的解，
令，则，
所以函数在为单调递增函数，
所以且，
又由在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
又由函数在为单调递增函数，所以，
综上所述，可得实数的取值范围是，即，故选C.
26．B
【详解】
由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln 2，y0＝1，
∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，
则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．
27．B
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
28．D
【详解】
设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
29．A
【详解】有图可知，所以即解0，当时，等价于0，故满足条件的为，当时,等价于0,故满足条件的为，所以综合可得的解集为
30．B
【详解】
由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，.
所以．
故选：B.
31．AC
【详解】
由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
32．AD
【详解】
对于A，，，
当时，，，故不是凸函数；
对于B，，，故是凸函数；
对于C，，对任意的，，故是凸函数；
对于D，，对任意的，，故不是凸函数．
33．BC
【详解】
设函数在区间上的“中值点”为
由，
则由拉格朗日中值定理可得：
又
即
所以，
作出函数和的图象,如图1.
由图可知，函数和的图象在上有两个交点.
所以方程在上有两个解，即函数在区间上有2个“中值点”.
所以
又，函数在区间上的“中值点”为 ，
则由拉格朗日中值定理可得：
即，
作出函数与的图象，如图2
, 当时，
由图可知，函数与的图象在区间上有1个交点.
即方程在区间上有1个解.
所以函数在区间上有1个“中值点”，即
34．AD
【详解】
解：
对于A：，又，，，所以，则有，A正确；
对于B：若有两个不相等的实根、，则，故B不正确；
证明如下：函数，定义域为，则，
当时，；当时，；，
所以在上单调递增，在上单调递减，则且时，有，所以 若有两个不相等的实根、，有，
不妨设，有，要证，只需证，且，又，所以只需证，令
则有
当时，，，所以有，即在上单调递增，且，所以恒成立，即，即，即.
对于C：由B可知，在上单调递增，则有，即，则有，故C不正确；
对于D：令，，均为正数，则，解得：，，，
由B可知，在上单调递减，则有，即，即，所以，故D正确.
35．
【详解】
∵，
∴原式
．
36．
【详解】
由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
37．
【详解】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．
38．
【详解】
∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
39．
【详解】
试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
40．1
【详解】
由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
41．
【详解】
，，解得，故，故答案为.
42．
【详解】
解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
43．
【详解】
分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
44．①；②③；④=－.
【详解】
解：①.
②因为，
所以
．
③因为，
所以.
④
＝－.
45．(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【详解】
解：（1）由，则；
（2）由，则；
（3）由 ，则；
（4）由，则；
（5）由，则 ；
（6）由，则.
46．（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于
，
所以等价于.
设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.
47．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
48．（1）；（2）.
【详解】
（1），函数在处取得极值，所以有；
（2）由（1）可知：，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，
，，故函数的最小值为.
49．（I）；（II）证明见解析；（III）
【详解】
（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
50．（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.
51．（1）且；（2）证明见解析.
【详解】
解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数
，，设，
由已知，方程有两个不为0，－1的实根，
当时，在上递增，至多一个实根，故
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以时，有两个实根，
解得且
（2）由（1）不妨设，，∵，∴.
要证，即证而，
由在上递减，在上递增，且
故只要证，又，故只要证
即证
设
∴
∴递增，∴
即
∴
52．（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间
【详解】
（1）[方法一]【最优解】：
等价于．
设，则．
当时，，所以在区间内单调递增；
当时，，所以在区间内单调递减．
故，所以，即，所以c的取值范围是．
[方法二]：切线放缩
若，即，即当时恒成立，
而在点处的切线为，从而有，
当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数的定义域为：
，
设，则有 ，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，
即，
要想不等式在上恒成立，
只需；
所以c的取值范围为．
（2）且
因此，设 ，
则有，
当时，，所以， 单调递减，因此有，即
，所以单调递减；
当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减，
所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间.
53．（1）在单调递减，在单调递增；（2）.
【详解】
（Ⅰ）．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．
54．（1）函数在R上是增函数；（2）2；（3）
【详解】
（1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；
（2）因为=，
所以=.
当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；
当时，若满足，即时，，而，
因此当时，，
综上，的最大值为2.
（3）由（2）知，，
当时，，；
当时，，，
，所以的近似值为.
55．（1）；（2）．
【详解】（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.
（2）由（1）知当时，.
令得.从而
.
故.
而，所以的最小值为.
56．（1）的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为
（2）时，的最大值为
【详解】
（1）
令得：
得：
在 上单调递增
得： 的解析式为且单调递增区间为 ，单调递减区间为
（2）得
①当时， 在上单调递增
时， 与矛盾
②当时，
得：当时，
令；则
当 时，
当时， 的最大值为
57．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）当时，，
所以，则在上是单调递减函数，且有，
当时，，即为上的增函数，
当时，，即为上的减函数，
所以.
（2）证明：由题意知：由，
则，即为方程的两个不同的正根，
故而需满足：，解得，
所以
令，，
令，所以；
则为上的减函数，且，
所以当时，，即为上的增函数；
当时，，即为上的减函数，
所以，
所以，证毕.
58．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】
（1）函数的定义域为，
①当时，，所以在上单调递增,
②当时，令，解得：
当时，， 所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增,
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增;
（2）当时，
要证明，即证，即,
设则，令得，,
当时，，当时，
所以为极大值点，也为最大值点
所以，即
故当时，;
（3）由（2）（当且仅当时等号成立）,
令， 则 ,
所以,
即
所以.
59．（1）；（2）证明见解析
【详解】
（1）因为，由题意，，即：，则．
（2）［方法一］：通性通法
由（1）可得，，
令，得或；令，得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
且，
若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，
即或.
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
当时，，
又，
由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，
即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，
此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；
综上，所有零点的绝对值都不大于1.
［方法二］【最优解】：
设是的一个零点，且，则．
从而．
令，由判别式，可知在R上有解，的对称轴是，所以在区间上有一根为，在区间上有一根为，进而有，所以的所有零点的绝对值均不大于1．
［方法三］：
设是函数的一个绝对值不大于1的零点，且．设，则，显然在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减．又，于是的值域为．
设为函数的零点，则必有，于是，所以解得，即．
综上，的所有零点的绝对值都不大于1．
［方法四］：
由（1）知，，令，得或．则在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增，所以的极大值为的极小值为．
（ⅰ）若，即或，有唯一一个零点，显然有，不满足题意；
（ⅱ）若，即或，有两个零点，不妨设一个零点为，显然有，此时，，则，另一个零点为1，满足题意；同理，若一个零点为，则另一个零点为．
（ⅲ）若，即，有三个零点，易知在区间内有一个零点，不妨设为，显然有，又，，所以在内有一个零点m，显然，同理，在内有一个零点n，有．
综上，所有零点的绝对值都不大于1．
［方法五］：
设是的一个零点且，则是的另一个零点．
．
则，设，由判别式，所以方程有解．
假设实数满足．
由，得．与矛盾，假设不成立．
所以，所有零点的绝对值都不大于1．
60．（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)[方法一]【最优解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，当且仅当，
即或时等号成立．
所以．
[方法二]：构造新函数+齐次化方法
因为，令，则问题转化为求的最大值．
求导得，令，得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的最大值为，故．
[方法三]：结合函数的周期性进行证明
注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)[方法一]【最优解】：利用(2)的结论
由于，
所以．
[方法二]：数学归纳法+放缩
当时，，显然成立；
假设当时原式成立，即．
那么，当时，有
，
即当时不等式也成立．
综上所述，不等式对所有的都成立．
61．(1)见详解；(2) .
【详解】
(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.
所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.
若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.
所以，而，所以.即的取值范围是.
综上得的取值范围是.
62．(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
63．（1）（2）
【详解】
（1）∵，，，所以与全等.
所以，观赏区的面积为
，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.
（2）种植区的面积为，
正方形面积为，
设年总收入为万元，则
，
其中，求导可得.
当时，，递增；当时，，递增.
所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.
64．（1），； （2）（ⅰ），（ⅱ）.
【详解】
（1）由，可得，
则，
令，解得，
所以弹性函数的零点为.
（2）（ⅰ）当时，函数，可得函数的定义域为，
因为，
函数是弹性函数，
此不等式等价于下面两个不等式组：
（Ⅰ） 或（Ⅱ），
因为①对应的函数就是，
由，所以在定义域上单调递增，
又由，所以①的解为；
由可得，
且在上恒为正，
则在上单调递增，所以，故②在上恒成立，
于是不等式组（Ⅰ）的解为，
同①的解法，求得③的解为；
因为时，④，所以不成立，
所以不等式（Ⅱ）无实数解，
综上，函数的弹性区间.
（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，
设，则，
而，
由（ⅰ）可知，在上恒为正，
所以，函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
65．（1）恒过定点，证明见解析；
（2）证明见解析.
【详解】
（1）函数的定义域为，由，得，则，又，则曲线在点处的切线的方程为，即，显然恒过定点.
（2）若有两个零点，，则，，得.
因为，令，则，
得，则，
所以.
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以.
所以，则在上单调递增，
所以，即，故.

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