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函数
【知识点讲解】
一、函数的概念及其表示
1.函数的概念
Ⅰ.① ， 是两个非空的实数集。
②对于 中任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应。
Ⅱ.（映射定义）设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。
2.函数的相关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数 , 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。显然，值域是集合 的子集。
（2）函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。
（3）相等函数（重点考查）
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。
例1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1．已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0x2)，则函数y＝[f(x)]的值域为
A． B．{－1，0，1}
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
【解析】令t＝2x，t∈(1，4)，则g(t)＝t2－3t＋4，t∈(1，4)．由二次函数性质，－≤f(t)，因此[f(t)]∈{－1，0，1}．则函数y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}．故选B．
3、函数解析式的求法（重点）
（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。
（2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
（3）配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，可得 的解析式。
（4）消元法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 。
例2．函数的图象如图所示，则函数的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象知，当时，，故排除B，C；
又当时，，故排除D．故选A．
4、求抽象函数定义域的方法（重点）
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，
则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出；
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，
则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．
例3．函数的定义域是，则函数的定义域是
【答案】A
【解析】的定义域需满足，解得
二、函数的单调性与最值
1.函数的单调性
（1）增函数、减函数
增函数：当x1减函数：当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
例4．已知函数，满足对任意，都有成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数对任意的都有成立，
即函数为R上的减函数，
可得，解得．故选C．
（2）单调区间的定义
如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间1。
2.函数的最值
前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
条件 ，都有 ； ，使得 ，都有 ； ，使得
结论 为最大值 为最小值
3．单调性的判断
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．
例5．对，记函数的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，
当时，，显然当时，有，
当时，，显然当时，有，
因此函数的最小值是．故选B.
三、函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性 条件 图象特点
偶函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ，都有 ,且 关于 轴对称
奇函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ,都有 ,且 关于原点对称
2.周期性
（1）周期函数：对于函数 ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期。
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。
例6．（多选）德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，我们称函数，为狄里克雷函数．记，则下列的叙述中正确的是
A．的值域为 B．是周期函数
C．是奇函数 D．是单调函数
【答案】BC
【解析】函数的值域为，故A错误；
对于任意的有理数，当为有理数时，也是有理数，则，
当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确；
的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，故C正确；
，，，显然不是单调函数，故D错误，故选BC．
3.函数性质的拓展结论
Ⅰ.周期性
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
Ⅱ.对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)
或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
（4）若 恒成立，则 的图象关于直线 对称
（5）若 ，则 的图象关于点 对称。特别地，若 ，则 的图象关于点 对称。
例7．已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数，
所以函数，
当x＝0时，y＝f（1）＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除A；
当x＝－2时，y＝f（3）＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；
当时，，排除C，故选D．
四、幂函数与指数函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。
（特别提醒：x前面无系数）
2.二次函数解析式的三种形式
一般式： ;
顶点式： ；
零点式： 。
3.根式
（1）如果 ，那么 叫做 的 次方根。
（2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。
（3）
4.指数函数及其性质
（1）概念：函数 （ ,且 ）叫做指数函数，
其中指数 是自变量，定义域是 ， 是底数。
（2）指数函数的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
五、对数函数
1.对数的概念
一般地，如果 （ ,且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。
以10为底的对数叫做常用对数，记作 。
以 为底的对数叫做自然对数，记作 。
2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质： , , （ ，且 , ）。
（2）对数的运算性质
如果 ，且 , , ，那么：
① ；
② ;
③ 。
（3）换底公式3: （ ，且 , , ，且 ）。
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
3.反函数
指数函数 （ ，且 ）与对数函数 （ ，且 ）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线 对称。（例如：y=ex与y=Inx）
六、函数的图像、函数与方程
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点。
（2）函数零点存在定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解。
例8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图象，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图象，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图象，如下图，由f（5）＝f（1）＝1，而log55＝1，f(－3)＝f（1）＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f（1）＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图象有5个交点，所以零点的个数为5．故选C
例9．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】．先作图象，
由图象可得
因此为，
，从而．故选A
2.二分法
对于在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
函数的图像变换
左加右减、上加下减
例10．函数的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知的定义域为．
因为，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除选项B；
又，故排除选项C，D．故选A．
【对点训练】
一、单选题
1．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知的定义域为，则函数的定义域为
A． B． C． D．
3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（　　）
A． B．： C． D．
5．已知是一次函数，且，则的解析式为（　　）
A． B． C． D．
6．下列函数中，与函数是相等函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
8．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A． B． C． D．
9．已知，则
A． B． C． D．
10．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
12．设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则
A． B． C． D．
14．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a15．设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
16．设，，．则（ ）
A． B． C． D．
17．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
19．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
20．若a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
21．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A． B． C． D．
22．已知，则的大小关系为
A． B． C． D．
23．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
24．已知，，，则的大小关系为
A． B．
C． D．
25．已知，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
26．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
28．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
29．函数的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
30．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是．
A． B．
C． D．
31．已知，，，则，，的大小关系是
A． B． C． D．
32．若，则（ ）
A． B． C． D．
33．函数在的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
34．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B． C． D．
36．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
38．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
39．已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
41．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
42．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
43．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
44．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
45．定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
46．已知函数，若对于，，使得，则的最大值为（　　）
A．e B．1-e C．1 D．
二、多选题
47．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数在上为增函数 D．函数有两个零点
48．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
49．函数的定义域为__________．
50．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
51．若函数f(x)满足，则f(x)＝________．
52．已知,则________．
53．函数的单调递增区间为________．
54．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
四、解答题
55．已知向量，，函数，，.
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
【参考答案】
1．D
【解析】
将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
2．B
【详解】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
3．D
【详解】因函数的定义域和值域分别为,故应选D．
4．C
【详解】
对于C选项的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）= B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．
故C的对应f中不能构成A到B的映射．其他选项均符合映射的定义.
5．B
【详解】
设，（）
∴，
即，
所以，解得，，
∴，故选B．
6．B
【详解】
的定义域为；
对于A，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，
对于B，，与定义域相同，解析式相同，是同一函数，
对于C，定义域为，与定义域不同，不是同一函数，
对于D，，与解析式不同，不是同一函数
7．B
【详解】
因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
8．D
【详解】
画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．
设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根．
令，．
则，解得．
∴实数的取值范围为．选D．
9．B
【详解】
则．故选B．
10．A
【详解】
由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
11．D
【详解】
由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
12．C
【详解】
由题意可知：，则：.
13．A
【详解】
根据题意，函数满足任意的都有，则，
则函数是周期为的周期函数，
，
又由函数是定义在上的奇函数，则，
时，，则，
则；
故；
14．A
【详解】
由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
15．D
【详解】
令，则，，
∴，则，
，则，故选D.
16．B
【详解】
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b17．C
【详解】，即.
18．C
【详解】
由题意：，
且：，
据此：，
结合函数的单调性有：，
即.
19．A
【详解】
因为，，
所以.
20．B
【详解】
试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.
21．B
【详解】
分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
22．D
【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解：由题意可知：，即，，即，
，即，综上可得：.本题选择D选项.
23．D
【详解】
因为，
，
，
所以.
24．A
【详解】
，
，
，故，
所以．
25．D
【详解】由题意结合对数函数的性质可知：
，，，
据此可得：.
26．B
【详解】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
27．D
【详解】
由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
28．D
【详解】
，，
，，
，，
.
29．D
【详解】
试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，
当时，∴，所以排除B，
当时，∴，所以排除C，故选D.
30．D
【详解】
如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近，
所以．
31．B
【详解】
对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
32．B
【详解】
设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
33．B
【详解】
由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
34．D
【详解】
设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
35．D
【详解】
由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
36．D
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

37．C
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
38．C
【详解】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
39．D
【详解】
函数恰有4个零点，即方程，
即有4个不同的实数根，
即直线与函数的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，
故函数恰有4个零点时，
b的取值范围是故选D．
40．A
【详解】
最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
41．B
【详解】
当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
42．D
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
43．A
【详解】求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是或，根据题意画图：
所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.
44．B
【详解】
解：∵，
，
则，
∴函数的零点所在区间是 ，
当，且时，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，
根据零点存在性定理，B为正确答案.
45．C
【详解】
解：定义在R的奇函数满足：
，
且，
又时，，即，
，函数在时是增函数，
又，是偶函数；
时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，
可得函数与的大致图象如图所示，
由图象知，函数的零点的个数为3个．
46．D
【详解】
不妨设f()=g()＝a，
∴＝a，
∴＝ln(a+e)，＝，
故＝ln(a+e)-，（a＞-e）
令h（a）＝ln(a+e)-，
h′（a），
易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，
且h′（0）＝0，
故h（a）在a处有最大值，
即的最大值为；
47．AD
【详解】
做出函数简图如下
对于A选项：根据函数解析式可知，A选项显然正确
对于B选项：结合图像易知，当时，，故B选项错误
对于C选项：由图像易知，C选项显然错误
对于D选项：因为，，所以D选项正确.
48．AD
【详解】
由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
49．
【详解】
由题意，解得且，所以定义域为．
50．.
【详解】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
51．)
【详解】
因为①，所以以 代替x，得②，由①②解得
52．
【详解】
（配凑法）　(1)，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴．
故答案为
53．
【详解】
令，解得或，
函数的定义域为.
内层函数的减区间为，增区间为.
外层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.
故答案为.
54．
【详解】分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
55．（1）；（2）；（3）存在，.
【详解】
解：（1），
当时，，
则；
（2）∵，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
① 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
② 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得，
③ 当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得(舍)，
综上若的最小值为，则实数；
（3）令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，得，则，
即实数的取值范围是.2023 届高考数学一轮复习——函数
函数
【知识点讲解】
一、函数的概念及其表示
1.函数的概念
Ⅰ.① ， 是两个非空的实数集。
②对于 中任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应。
Ⅱ.（映射定义）设 A 和 B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集
合 A中的任何一个元素 a，在集合 B中都存在唯一的一个元素 b与之对应，那么，
这样的对应（包括集合 A，B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A
到集合 B的映射，记作 f：A→B。其中，b称为 a在映射 f下的象，记作：b=f(a);
a 称为 b关于映射 f的原象。集合 A中所有元素的象的集合记作 f(A)。
2.函数的相关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数 = , ∈ 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定
义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合{ | ∈ } 叫做函数
的值域。显然，值域是集合 的子集。
（2）函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。
（3）相等函数（重点考查）
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断
两函数相等的依据。
例 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
命名的“高斯函数”为设 x∈R，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则 y＝[x]称为高斯函数，例如：
1
[－0.5]＝－1，[1.5]＝1．已知函数 f(x)＝ ×4x－3×2x＋4(0 x 2)，则函数 y＝[f(x)]的值域为
2
1 , 3 A． B．{－1，0，1} 2 2
C．{－1，0，1，2} D．{0，1，2}
【答案】B
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1 1 3
【解析】令 t＝2x，t∈(1，4)，则 g(t)＝ t2－3t＋4，t∈(1，4)．由二次函数性质，－ ≤f(t) ，
2 2 2
因此[f(t)]∈{－1，0，1}．则函数 y＝[f(x)]的值域为{－1，0，1}．故选 B．
3、函数解析式的求法（重点）
（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。
（2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元
的取值范围。
（3）配凑法：由已知条件 = ，可将 改写成关于 的表达
式，然后以 替代 ，可得 的解析式。
1
（4）消元法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构

造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 。
例 2．函数 y f (x)的图象如图所示，则函数 y f (x)的解析式为
A． f (x) (x a)2 (b x) B． f (x) (x a)2 (x b)
C． f (x) -(x a)2(x b) D． f (x) (x a)2 (x b)
【答案】A
【解析】由图象知，当 x b时， f (x) 0，故排除 B，C；
又当 x b时， f (x) 0，故排除 D．故选 A．
4、求抽象函数定义域的方法（重点）
(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，
则复合函数 f[g(x)]的定义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出；
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(2)若已知函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，
则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域．
例 3．函数 y f x 1 的定义域是 4,3 g(x) f (3x 2)，则函数 x 的定义域是 2
【答案】A
f (3x 2) 5 3x 2 2
【解析】 g(x)
4
x 2 的定义域需满足 x 2 0 ，解得
1 x
3
二、函数的单调性与最值
1.函数的单调性
（1）增函数、减函数
增函数：当 x1特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
减函数：当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D上单调递减，
特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
a x , (x 0)
例 4 ． 已 知 函 数 f x ， 满 足 对 任 意
x x ， 都 有
a 2 x 3a, x 0
1 2
f x1 f x2 0成立，则 a 的取值范围是
x1 x2
A． a 0,1 a 3 3 3B． ,1 C． a 0, D．a , 2 4 4 4
【答案】C
ff x x x x1 f x2 【解析】由题意，函数 对任意的 1 2 都有 0成立，x1 x2
a x , (x 0)
即函数 f x
a 2 x 3a, x 0
为 R 上的减函数，
0 a 1

可得 a 2 0
3
，解得0 a ．故选 C．
4
1 a 2 3a
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（2）单调区间的定义
如果函数 = 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 =
在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 = 的单调区间 1。
2.函数的最值
前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足
条件 ∈ ，都有 ≤ ； ∈ ，都有 ≥ ；
0 ∈ ，使得 0 = 0 ∈ ，使得 0 =
结论 为最大值 为最小值
3．单调性的判断
(1)当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k<0，则 kf(x)与 f(x)单调性相反；
(3) 1函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反；
f x
(4)复合函数 y＝f[g(x)]的单调性与 y＝f(u)和 u＝g(x)的单调性有关．
a,a b,
例 5．对 a,b R ，记max a,b 函数 f (x) max{x 1,3 x}(x R)的最小
b,a b,
值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
x 1, x 1
【解析】 f (x) max x 1,3 x ，
3 x, x 1
当 x 1时， f (x) x 1，显然当 x 1时，有 f (x)≥ f (1) 2，
当 x 1时， f (x) 3 x，显然当 x 1时，有 f (x) f (1) 2，
因此函数 f (x) max{x 1,3 x}(x R)的最小值是 2．故选 B.
三、函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
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奇偶性 条件 图象特点
偶函数 对于函数 的定义域 内任意一关于 轴对称
个 ，都有 ∈ ,且 =
奇函数 对于函数 的定义域 内任意一关于原点对称
个 ,都有 ∈ ,且 =
2.周期性
（1）周期函数：对于函数 = ,如果存在一个非零常数 ，使得当 取定
义域内的任何值时，都有 + = ，那么就称函数 = 为周期
函数，称 为这个函数的周期。
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，
那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。
例 6．（多选）德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，对数论、数学
1, x为有理数分析和数学物理有突出贡献，我们称函数D x ，为狄里克雷函数．记
0, x为无理数
f x sin x D x ，则下列的叙述中正确的是
A．D x 的值域为 0,1 B．D x 是周期函数
C． f x 是奇函数 D． f x 是单调函数
【答案】BC
【解析】函数D x 的值域为 0,1 ，故 A 错误；
对于任意的有理数T ，当 x为有理数时， x T 也是有理数，则D x T D x 1，
当 x为无理数时，x T也是无理数，则D x T D x 0，即函数D x 是周期函数，
故 B 正确；
D x 的定义域为 R，当 x为有理数时， x是有理数，则D x D x 1，当D x 为
无 理 数 时 ， x 是 无 理 数 ， 则 D x D x 0 ， 即 D x 为 偶 函 数 ， 故
f x sin x D x sin x D x f x ，故 C 正确；
f 1 sin1 ， f 0， f 2 sin 2，显然 f x 不是单调函数，故 D 错误，故选 BC．
2
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3.函数性质的拓展结论
Ⅰ.周期性
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0)；
1
(2)若 f(x＋a)＝ ，则 T＝2a(a>0)；
f x
1
(3)若 f(x＋a)＝－ ，则 T＝2a(a>0)．
f x
Ⅱ.对称性
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称；
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称；
(3)若对于 R上的任意 x都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)
或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称．
（4）若 + = 恒成立，则 = + 的图象关于直线 = 对称
2
（5）若 + + = = + ，则 的图象关于点 , 对称。特
2 2
别地，若 + + = 0 = 2 ，则 = 的图象关
于点 , 0 对称。
3
x x 1,
例 7．已知函数 f(x)＝ log1 x x 1
,则函数 y＝f(1－x)的大致图象是
3
A． B．
C． D．
【答案】D
3
x , x 1
【解析】因为函数 f x log ，
1
x, x 1
3
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1 x
f 1 x
3 , x 0
所以函数 log 1 1 x , x 0， 3
当 x＝0 时，y＝f（1）＝3，即 y＝f(1－x)的图象过点(0，3)，排除 A；
当 x＝－2 时，y＝f（3）＝－1，即 y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除 B；
当 x 0时，1 x 1, f (1 x) log1 1 x 0，排除 C，故选 D．
3
四、幂函数与指数函数
1.幂函数的概念
一般地，函数 = 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。
（特别提醒：x前面无系数）
2.二次函数解析式的三种形式
一般式： = 2 + + ≠ 0 ;
2
顶点式： = + ≠ 0 ；
零点式： = 1 2 ≠ 0 。
3.根式
（1）如果 = ，那么 叫做 的 次方根。
（2）式子 叫做根式，其中 叫做根指数, 叫做被开方数。
为奇数 ,

（3） =
∣ ∣ = ≥ 0 , < 0 为偶数 。
4.指数函数及其性质
（1）概念：函数 = （ > 0 ,且 ≠ 1 ）叫做指数函数，
其中指数 是自变量，定义域是 ， 是底数。
（2）指数函数的图象与性质
底数 a>1 0第 7 页 共 40 页
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图象
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
性质 当 x>0时，恒有 y>1；当 x<0时，恒有 当 x>0时，恒有 001
在定义域 R 上为增函数 在定义域 R上为减函数
五、对数函数
1.对数的概念
一般地，如果 = （ > 0 ,且 ≠ 1 ），那么数 叫做以 为底 的对
数，记作 = log ，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。
以 10 为底的对数叫做常用对数，记作 lg 。
以 e 为底的对数叫做自然对数，记作 ln 。
2.对数的性质与运算性质
（1）对数的性质：log 1 = 0 ,log = 1 , log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 ）。
（2）对数的运算性质
如果 > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，那么：
①log = log + log ；
②log = log log ;
③log = log ∈ 。
log
（3）换底公式 3:log = （ > 0 ，且 ≠ 1 , > 0 , > 0 ，且 ≠ 1 ）。log
logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c 均大于 0 且不等于 1，d>0)．
3.反函数
指数函数 = （ > 0 ，且 ≠ 1 ）与对数函数 = log （ > 0 ，且
≠ 1 ）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线 =
对称。（例如：y=ex与 y=Inx）
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六、函数的图像、函数与方程
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于函数 = ，我们把使 = 0 的实数 叫做函数 = 的零点。
（2）函数零点存在定理
如果函数 = 在区间[ , ] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有
< 0 ，那么，函数 = 在区间 , 内至少有一个零点，即存在 ∈
, ，使得 = 0 ，这个 也就是方程 = 0 的解。
例 8．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上
2 x, 2 x 3
f (x) x 4,3 x 4则函数
y f (x) log5 x 的零点的个数为

A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为 f(x＋4)＝f(x)，可得 f(x)是周期为 4的奇函数，先画出函数 f(x)
在区间[2，4)上的图象，根据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x)在 R 上的图象，
由 y＝f(x)－log5| x|＝0，得 f(x)＝log5| x|，分别画出 y＝f(x)和 y＝log5|x|
的图象，如下图，由 f（5）＝f（1）＝1，而 log55＝1，f(－3)＝f（1）＝1，
log5|－3|<1，而 f(－7)＝f（1）＝1，而 log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图
象有 5个交点，所以零点的个数为 5．故选 C
x 1 2 , x 0
例 9．已知函数 f x ，若方程 f x a 有四个不同的解
log2 x , x 0
x 1x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1< x2< x3< x4 ，则 3 x1 x2 x2 的取值范围是3 x4
A． 1,1 B． 1,1
C． 1,1 D． 1,1
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【答案】A
1
【解析】 log2 x 1 x ．先作 f x 图象，2
x x 2 x x 1 1 x ,1 由图象可得 1 2 ， 3 4 ， 3 . 2
因此 x3 x1 x2
1
2 2x
1
1 ,1 单调递减函数
x3 x
3
4 x
为 2 ，3
2 1 1 1, 2 1 1 1 12 1 ，从而 x3 x
1
1 x2 2 1,1 x3 x ．故选 A2 4
2.二分法
对于在区间[ , ] 上图象连续不断且 < 0 的函数 = ，通过不
断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而
得到零点近似值的方法叫做二分法。
3、函数的图像变换
左加右减、上加下减
exf (x) x3 3x 1例 10．函数 的图象大致是ex 1
A． B．
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C． D．
【答案】A
ex 1
【解析】由题知 f (x) x3 3x 的定义域为 , ．ex 1
e x 1 1 ex exf ( x) x3 1因为 3x x x3 3x x3 3x f (x) ，e 1 1 ex ex 1
所以 f x 是偶函数，函数图象关于 y轴对称，排除选项 B；
f (2) 2 e
2 1
又 0，故排除选项 C，D．故选 A．
e2 1
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【对点训练】
一、单选题
2 x
1．设函数 f x
，x 0
1 x 0 ，则满足
f x 1 f 2x 的 x的取值范围是
，
A． ， 1 B． 0， C． 1，0 D． ，0
2．已知 f (x)的定义域为 ( 1,0)，则函数 f (2x 1)的定义域为
1
A． ( 1,1) B． ( 1, ) C． ( 1,0) (
1
D ,1)
2 ． 2
3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y＝10lg x的定义域和值域相同的是
1
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ x
4．集合 A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从 A 到 B 的函数的是（ ）
1 2
A． f：x y x B． f ： x y 2 x C． f：x y x D． f：x y x2 3
5．已知 f (x)是一次函数，且 f (x 1) 3x 5，则 f (x)的解析式为（ ）
A． f (x) 3x 2 B． f (x) 3x 2 C． f (x) 2x 3 D． f (x) 2x 3
6．下列函数中，与函数 y x 1是相等函数的是（ ）
2 2
A． y x 1 B． y 3 x3 1 C x． y 1 D． y x 2 1x
7．若函数 f x =x2 ax b在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则M m的值
A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b无关
C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b有关
x 1
f (x) e , x 08 2．已知函数 ，若方程 f x bf x 2 02 有 8 个相异实根，
x 2x 1, x 0
则实数b的取值范围
A． 4, 2 B． ( 4, 2 2) C． 3, 2 D． ( 3, 2 2)
9．已知 a log 0.2,b 20.22 ,c 0.20.3，则
A． a b c B． a c b C． c a b D．b c a
10．若 2x 2 y 3 x 3 y ，则（ ）
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0 C． ln | x y | 0 D． ln | x y | 0
11．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f(x)（ ）
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1 1 1
A．是偶函数，且在 ( , )单调递增 B．是奇函数，且在 ( , )2 2 单调递减2
C 1 1．是偶函数，且在 ( , )2 单调递增 D．是奇函数，且在 ( , )2 单调递减
12．设 a 0.50.4,b log 0.50.3,c log 80.4 ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
A． a b c B．c b a
C．c a b D．b c a
313
3
．已知函数 f x 是定义在 R上的奇函数，对任意的 x R 都有 f x 2 f x ， 2
x 3当 ，0

时， f x log 1 1 x ，则 f 2017 f 2019
2 2
A．1 B． 2 C． 1 D． 2
14．已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a15．设 x、y、z为正数，且2x 3y 5z，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
16．设a 2ln1.01，b ln1.02， c 1.04 1．则（ ）
A． a b c B．b c a C．b a c D． c a b
1
17．已知a log5 2，b log8 3， c 2，则下列判断正确的是（ ）
A． c b a B．b a c C． a c b D．a b c
18．已知奇函数 f x 在 R上是增函数，若 a 1 f 0.8 log2 ，b f log2 4.1 ，c f 2 ，
5
则 a,b,c的大小关系为( )
A． a b c B．b a c C． c b a D． c a b
19．设 a log3 2，b log5 3 c
2
， ，则（ ）
3
A． a c b B．a b c C．b c a D． c a b
20．若 a＞b＞0，0＜c＜1，则
A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb
21．下列函数中，其图像与函数 y ln x的图像关于直线 x 1对称的是
A． y ln(1 x) B． y ln(2 x) C． y ln(1 x) D． y ln(2 x)
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a log 7
1
22．已知 3 ,b (
1
)3 , c log 11 a,b,c2 4 5，则 的大小关系为3
A． a b c B．b a c C． c b a D． c a b
0.8
23．设a 30.7 , b 1 , c log0.7 0.8，则 a,b,c的大小关系为（ ）
3
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
24．已知a log5 2，b log0.5 0.2， c 0.50.2，则 a,b,c的大小关系为
A． a c b B．a b c
C．b c a D．c a b
1
25．已知 a log2 e，b ln 2， c log 1 3，则 a，b，c的大小关系为2
A． a b c B．b a c C． c b a D． c a b
26 ln | x |．函数 y x2 2的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
27．已知函数 f (x) lg(x 2 4x 5) 在 (a, )上单调递增，则 a的取值范围是（ ）
A． (2, ) B．[2, ) C． (5, ) D．[5, )
28．设 a log
0.3
2 0.3,b log1 0.4,c 0.4 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
2
A． a b c B． c a b C．b c a D． a c b
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29．函数 y a x
1
(a 0,a 1)
a 的图像可能是（ ）．
A． B．
C． D．
30．图中曲线分别表示 y logax，y logbx，y logc x，y logd x的图象，则 a，b，
c，d 的关系是．
A．0 a b 1 d c B．0 b a 1 c d
C．0 d c 1 a b D．0 c d 1 a b
31．已知a 4ln3 ，b 3ln 4 ，c 4ln 3，则 a，b，c的大小关系是
A． c b a B．b c a C．b a c D．a b c
32．若 2a log a 4b2 2 log4 b，则（ ）
A． a 2b B． a 2b C． a b2 D． a b2
33．函数 f (x) 2sinx sin2x在 0,2 的零点个数为
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A．2 B．3 C．4 D．5
34 x．设函数 f x e (2x 1) ax a，其中a 1 ，若存在唯一的整数 x0，使得 f (x0 ) 0，
则 a的取值范围是（ ）
3 ,1 3 , 3 3 3A． B． C． ,
3
2e 2e 4 2e 4 D

． ,1



2e
35．2019年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术
问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊
桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连
线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R，L2点到月球
的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
M1 M 2 (R r)M 1
(R r)2 r 2 R3 .
r 3 3 3 4 5
设

，由于 的值很小，因此在近似计算中 2 3
3
(1 ) ，则 r的近似值R
为
M 2 R M 2 R 3M 2 R MA． B． C． 3 D． 3 2 RM1 2M1 M1 3M1
x3, x 0,
36 2．已知函数 f (x) x, x 0.若函数
g(x) f (x) kx 2x (k R)恰有 4个零点，

则 k的取值范围是（ ）
1 1
A ． , (2 2, ) B

． ,

(0,2 2)
2 2
C． ( ,0) (0,2 2) D． ( ,0) (2 2, )
x, x 0

37．已知 a,b R ，函数 f (x) 1 3 1 2 ，若函数 y f (x) ax b
x
恰有
(a 1)x ax, x 0
3 2
三个零点，则
A． a 1,b 0 B．a 1,b 0
C．a 1,b 0 D． a 1,b 0
38 x．在下列区间中，函数 f x e 4x 3的零点所在的区间为（ ）
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1 ,0 1 1A． B． 0, ,
1 1 , 3
4 4
C． D．
4 2 2 4
2 x , x 2
39．已知函数 f x 2 ，函数 g x b f 2 x ，其中b R，若函数
x 2 , x 2
y f x g x 恰有 4 个零点，则b的取值范围是（ ）
A
7 7 7 7
． , 4 B．
,
4 C．
0, D． , 2
4 4
cos(2 x 2 a). x a
40．设 a R ，函数 f (x) 2 f (x) (0, )
x 2(a 1)x a
2 5, x a，若 在区间 内恰有
6个零点，则 a的取值范围是（ ）
2, 9 5 ,11 7A． B． , 2
5 ,11 2, 9 11,3 7 ,2 11 C D ,3
4 2 4 4
．
2 4 4 4 ． 4 4
41．已知当 x [0,1] 时，函数 y (mx 1) 2 的图象与 y x m 的图象有且只有一
个交点，则正实数 m 的取值范围是
A． (0,1] [2 3, ) B． (0,1] [3, )
C． (0, 2] [2 3, ) D． (0, 2] [3, )
42．已知 f x
3 3 3
是定义是 R上的奇函数，满足 f x f x ，当 x

0,

2 2 2
时，

f x ln x2 x 1 ，则函数 f x 在区间 0,6 上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
43．已知函数 f (x) x 3 ax 2 bx c 有两个极值点 x1, x2，若 f (x1) x1 x2 ，则关于 x的
方程3( f (x))2 2af (x) b 0的不同实根个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
2
44．函数 f x ln x 1 的零点所在的区间是（ ）
x
A．(0,1) B． (1, 2) C． (2,e) D． (3, 4)
45．定义在 R上的奇函数 y f x 满足 f 3 0，且当 x 0时，不等式 f x xf ' x
恒成立，则函数 g x xf x lg x 1的零点的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
46．已知函数 f (x) e x e, g(x) ln x 1，若对于 x1 R ， x2 0， ∞ ，使得
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f x1 ＝g x2 ，则 x1 x2的最大值为（ ）
1
A．e B．1-e C．1 D．1 e
二、多选题

f (x) 10
x 1, x 1
47．已知函数
lg x, x 1
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 f x 的定义域为R B．函数 f x 的值域为 1,9
C．函数 f x 在R上为增函数 D．函数 f x 有两个零点
48．设 a，b，c都是正数，且 4a 6b 9c，那么（ ）
2 2 1
A． ab bc 2ac B．ab bc ac
1 2 1
C． D． c a b c b a
三、填空题
2
49．函数 f x 2 x 的定义域为__________．
x
50．设 f (x), g(x)是定义在 R上的两个周期函数，f (x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，
k(x 2),0 x 1
且 f (x)

是奇函数.当 x (0, 2]时，f (x) 1 (x 1)2 ，g(x) 1 ,1 ，其中 k 0 . x 2 2
若在区间 (0，9]上，关于 x的方程 f (x) g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范
围是_____.
1
51 ．若函数 f(x)满足 f x 2f =3x(x 0)x ，则 f(x)＝________．
1 1
52．已知 f (x ) x2 2 ,则 f (x) ________x x ．
53．函数 f x x 2 2x 3的单调递增区间为________．
x2 2ax a, x 0,
54．已知 a 0，函数 f (x) 若关于 x的方程 f (x) ax恰有 2个
x
2 2ax 2a, x 0.
互异的实数解，则 a的取值范围是______________.
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四、解答题
r 3x 55．已知向量 a cos ,sin
3x x
，b cos , sin
x
，函数 f x a b m a b 1，
2 2 2 2
x ,3 4 ，
m R .


（1）当m 0时，求 f 的值；
6
（2）若 f x 的最小值为 1，求实数m的值；
24
（3）是否存在实数m，使函数 g x f x m2，x ,49 有四个不同的零点？ 3 4
若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
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【参考答案】
1．D
【解析】
2x 0
将函数 f x 的图像画出来，观察图像可知会有 x 0
2x x 1
，解得 ，所以满足
f x 1 f 2x 的 x的取值范围是 ，0 ，故选 D.
2．B
【详解】因为函数 f (x)的定义域为 ( 1,0)，故函数 f (2x 1)有意义只需 -1 2x 1 0
1
即可，解得 -1 x - ，选 B．
2
3．D
【详解】因函数 y 10lg x的定义域和值域分别为 ,故应选 D．
4．C
【详解】
2 8
对于 C选项的对应法则是 f：x→y= x，可得 f3 （4）= 3 B，不满足映射的定义，
故 C的对应法则不能构成映射．
故 C的对应 f 中不能构成 A 到 B的映射．其他选项均符合映射的定义.
5．B
【详解】
设 f x kx b，（ k 0）
∴ f x 1 k x 1 b 3x 5，
即 kx k b 3x 5，
k 3
所以 ，解得 k 3，b 2b k 5 ，
∴ f x 3x 2，故选 B．
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6．B
【详解】
y x 1的定义域为 R；
对于 A， y x 1 2定义域为 1, ，与 y x 1定义域不同，不是同一函数，
对于 B， y 3 x3 1 x 1，与 y x 1定义域相同，解析式相同，是同一函数，
x2
对于 C， y 1定义域为 x x 0 ，与 y x 1定义域不同，不是同一函数，
x
x 1, x 0
对于 D， y x2 1 x 1 y x 1
x 1, x 0
，与 解析式不同，不是同一函数
7．B
【详解】
2
因为最值在 f (0) b, f (1) 1 a b, f ( a ) b a 中取，所以最值之差一定与b无关，
2 4
选 B．
8．D
【详解】
画出函数 f x 的图象如下图所示．由题意知，当 x 1时， f 1 2；当 x 1时，
f 1 1．
设 t f x ，则原方程化为 t 2 bt 2 0，
2
∵方程 f x bf x 2 0有 8个相异实根，
∴关于 t的方程 t 2 bt 2 0在 (1, 2)上有两个不等实根．
令 g(t) t 2 bt 2， t (1, 2)．
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b2 8 0

b 1 2
则 2 ，解得 3 b 2 2．
g(1) b 3 0

g(2) 2b 6 0
∴实数b的取值范围为 3, 2 2 ．选 D．
9．B
【详解】
a log2 0.2 log 1 0, b 20.2 202 1, 0 0.20.3 0.20 1,则0 c 1,a c b．故选 B．
10．A
【详解】
由 2x 2 y 3 x 3 y 得： 2x 3 x 2 y 3 y ，
令 f t 2t 3 t，
y 2x为 R上的增函数， y 3 x为 R上的减函数， f t 为 R上的增函数，
x y，
Q y x 0， y x 1 1， ln y x 1 0，则 A 正确，B错误；
Q x y 与1的大小不确定，故 CD无法确定.
11．D
【详解】
由 f x ln 2x 1 ln 2x 1得 f x 定义域为 x x 1 2 ，关于坐标原点对称，
又 f x ln 1 2x ln 2x 1 ln 2x 1 ln 2x 1 f x ，
f x 为定义域上的奇函数，可排除 AC；
x 1 , 1 当 时， f x ln 2x 1 ln 1 2x 2 2 ，
y ln 2x 1 1 1 1 1 Q 在 , 上单调递增， y ln 1 2x 2 2 在 , 2 2 上单调递减，
f x 1 , 1 在 2 2 上单调递增，排除 B；
1
当 x , 时， f x ln 2x 1 ln 1 2x ln
2x 1
ln 1 2
2 2x 1 2x 1
，

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2 1 在 ,
1

2x 1 2 上单调递减，
f ln 在定义域内单调递增，

f x , 1 根据复合函数单调性可知： 在 2 上单调递减，D正确.
12．C
【详解】
0.4
由题意可知：a 0.5 0,1 ,b log0.5 0.3 1,c log8 0.4 0，则： c a b .
13．A
【详解】
3 3
根据题意，函数 f x 满足任意的 x R都有 f x f x ，则 f x f x 3
2 2
，

则函数 f x 是周期为3的周期函数，
f 2017 f 1 672 3 f 1 ， f 2019 f 673 3 f 0
又由函数 f x 是定义在 R上的奇函数，则 f 0 0，
x 3 , 0

时， f x log 1 1 x 2 ，则
f 1 log1 1 1 1，
2 2
则 f 1 f 1 1；
故 f 2017 f 2019 f 0 f 1 1；
14．A
【详解】
由题意可知 a、b、 c 0,1 ，
a log 3 lg3 lg8 1 lg3 lg8 2
2 2
5 lg3 lg8 lg 24
b log 5 lg5 lg5 2 2
1， a b；
8 lg5 2lg5 lg 25
由b log8 5
4
，得8b 5，由55 84，得85b 84， 5b 4，可得b ；5
4
由 c log13 8，得13c 8，由134 85，得134 135c， 5c 4，可得 c .5
综上所述，a b c .
15．D
【详解】
令 2x 3y 5z k(k 1) ，则 x log2 k， y log3 k， z log5 k
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2x 2lg k lg3 lg9
∴ 1 2x 3y3y lg 2 3lg k lg8 ，则 ，
2x 2lg k lg5 lg 25
1
5z lg 2 5lg k lg32 ，则 2x 5z，故选 D.
16．B
【详解】
a 2ln1.01 ln1.012 ln 1 0.01 2 ln 1 2 0.01 0.012 ln1.02 b ,
所以b a ;
下面比较c与 a,b的大小关系.
2 1 4x 1 x
记 f x 2ln 1 x 1 4x 1 , f 0 0 , f x 2 2则 ，
1 x 1 4x 1 x 1 4x
2
由于1 4x 1 x 2x x2 x 2 x
所以当 0所以 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 0 ,即2ln1.01 1.04 1,即a c ;
2 1 4x 1 2x
令 g x ln 1 2x 1 4x 1 ,则 g 0 0 , g x 2 2 ,
1 2x 1 4x 1 2x 1 4x
由于1 4x 1 2x 2 4x2 2，在 x>0时,1 4x 1 2x 0 ,
所以 g x 0 ,即函数 g x 在[0,+∞)上单调递减，所以 g 0.01 g 0 0 ,即
ln1.02 1.04 1,即 b17．C
1
【详解】 a log5 2 log5 5 log8 2 2 log8 3 b ，即 a c b .2
18．C
【详解】
1
由题意： a f log2 f log2 5 5 ，
且： log2 5 log2 4.1 2,1 2
0.8 2，
据此： log 5 log 4.1 2 0.82 2 ，
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结合函数的单调性有： f log2 5 f log2 4.1 f 2 0.8 ，
即a b c,c b a .
19．A
【详解】
a 1 log 23 1 log 9 2 1因为 3 3 c，b log 3
3 1 log 25 25 5 c3 3 3 3 3 3 ，
所以 a c b .
20．B
【详解】
1gc 1gc
试题分析：对于选项 A，loga c , logb c ， 0 c 1， 1gc 0lg a lg b ，而a b 0，
所以 lg a lgb，但不能确定 lg a、lgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项 B，
log lg a lgb 1c a , log cb , lg a lgblg c lg c ，两边同乘以一个负数 lgc改变不等号方向，所以
选项 B 正确;对于选项 C，利用 y x c在第一象限内是增函数即可得到 ac bc，所
以 C错误;对于选项 D，利用 y c x在 R上为减函数易得 ca cb，所以 D 错误.所以
本题选 B.
21．B
【详解】
分析：确定函数 y lnx过定点（1，0）关于 x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数 y lnx过定点（1，0），（1，0）关于 x=1 对称的点还是（1，0），
只有 y ln 2 x 过此点．
22．D
【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确
定 a,b,c的大小关系.
1
7 03
详解：由题意可知：log33 log3 log392 ，即
1 a 2，0 1 1

1，即0 b 1，
4 4
log 1 71 log35 log5 3 ，即
c a
2 ，综上可得：c a b .本题选择 D选项.3
23．D
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【详解】
因为 a 30.7 1，
0.8
b 1 3
0.8 30.7 a ，
3
c log0.7 0.8 log0.7 0.7 1，
所以 c 1 a b .
24．A
【详解】
a log5 2 log5 5
1

2，
b log0.5 0.2 log0.5 0.25 2，
0.51 0.50.2
1
0.50，故 c 12 ，
所以 a c b．
25．D
【详解】由题意结合对数函数的性质可知：
1
a log2 e > 1，b ln 2 0,1 c log
1
log 3 log e
log e ， 1 3 2 2 ，2 2
据此可得： c a b .
26．B
【详解】
设 y f x
ln | x |
f x x x 0
x2 2，则函数 的定义域为 ，关于原点对称，
ln | x |
又 f x f x x 2 2 ，所以函数 f x 为偶函数，排除 AC；
2
当 x 0,1 时， ln x 0, x 2 0 ，所以 f x 0，排除 D.
故选：B.
27．D
【详解】
由 x2 4x 5 0得 x 5或 x 1
所以 f x 的定义域为 , 1 (5, )
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因为 y x2 4x 5在 (5, )上单调递增
所以 f (x) lg(x 2 4x 5)在 (5, )上单调递增
所以 a 5
28．D
【详解】
log2 0.3 log21 0， a 0，
log 1 0.4 log2 0.4
5
log2 log2 2 12 ， b 1，2
0 0.40.3 0.40 1， 0 c 1，
a c b .
29．D
【详解】
1 1
试题分析：∵a 0，∴ 0a ，∴函数
y ax需向下平移 a个单位，不过（0,1）点，
所以排除 A，
1
当a 1时，∴0 1a ，所以排除 B，
1
当0 a 1时，∴ 1，所以排除 C，故选 D.
a
30．D
【详解】
如图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向 x轴靠近，
所以0 c d 1 a b．
31．B
【详解】
对于 a,b的大小： a 4 ln 3 ln 34 ln 81，b 3ln 4 ln 43 ln 64，明显 a b；
对于 a,c
ln x 1 ln x
的大小：构造函数 f ( x) ，则 f (x) '
x x2
，
当 x (0,e)时， f (x) ' 0, f (x) 在 (0,e)上单调递增，
当 x (e, )时， f (x)' 0, f (x)在 (e, )上单调递减，
3 e, f ( ) f (3) ln ln3即 , 3ln ln3, ln 3 ln3 , 3 3 a c
3
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对于b,c的大小：b 3ln 4 ln 64 ， c 4ln 3 ln[( )4]3 ，64 [( )4]3，c b
32．B
【详解】
设 f (x) 2 x log 2 x ，则 f (x)为增函数，因为 2
a log a 4b2 2log 4 b 2
2b log 2 b
1
所以 f (a) f (2b) 2a log a (2 2b2 log
2b 2b
2 2b) 2 log 2 b (2 log 2 2b) log2 1 0，2
所以 f (a) f (2b)，所以 a 2b .
f (a) f (b 2) a b 2 2 2 2 log 2 a (2 log b
2) 22b2 log 2 b (2
b log 22 b ) 2
2b 2b log 2 b，
当b 1时， f (a) f (b 2) 2 0 ，此时 f (a) f (b 2) ，有 a b2
当b 2时， f (a) f (b2 ) 1 0，此时 f (a) f (b 2) ，有 a b2，所以 C、D 错误.
33．B
【详解】
由 f (x) 2sin x sin 2x 2sin x 2sin x cos x 2sin x(1 cos x) 0，
得 sin x 0或cos x 1， x 0, 2 ，
x 0、 或2 ．
f (x)在 0,2 的零点个数是 3，
34．D
【详解】
设 g x ex 2x 1 ， y a x 1 ，
由题意知，函数 y g x 在直线 y ax a下方的图象中只有一个点的横坐标为整
数，
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g x ex 2x 1 ，当 x 1 1 时， g x 0；当 x 时， g x 0 .2 2
y g x g 1
1

所以，函数 的最小值为 2
2e 2 .

又 g 0 1， g 1 e 0 .
直线 y ax a恒过定点 1,0 且斜率为 a，
故 a g 0 1且 g 1 3 a a 3，解得 a 1，故选 D.
e 2e
35．D
【详解】
r由 ，得 r R
R
M
因为 1
M
2
M
2 2 (R r)
1
(R r) r R3 ，
M1 M所以 22 2 2 (1 )
M1
R (1 ) R2 R2 ，
M 1 52 3 4 3 3
即 2 [(1 ) ] 3 3M1 (1 )
2 (1 )2 ，
解得 3
M
2
3M ，1
r R 3 M所以 2 R.3M1
36．D
【详解】
f (x)
注意到 g(0) 0，所以要使 g(x)恰有 4 个零点，只需方程 | kx 2 | | x | 恰有 3 个实
f (x) f (x)
根即可，令 h(x) ，即 y | kx 2 |与h(x) 3| x | | x | 的图象有 个不同交点.
2
因为h(x)
f (x) x , x 0

x 1, x 0，
f (x)
当 k 0时，此时 y 2，如图 1， y 2与h(x) | x | 有1个不同交点，不满足题意；
f (x)
当 k 0时，如图 2，此时 y | kx 2 |与h(x) | x | 恒有3个不同交点，满足题意；
当 k 0时，如图 3，当 y kx 2与 y = x2相切时，联立方程得 x2 kx 2 0，
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2023 届高考数学一轮复习——函数
令 0得 k 2 8 0，解得 k 2 2（负值舍去），所以 k 2 2 .
综上， k的取值范围为 ( ,0) (2 2, ) .
故选：D.
37．C
【详解】
当 x 0时， y f (x) ax b x ax b (1 a)x b 0，得 x
b
； y f (x) ax b1 a 最
多一个零点；
当 x 0时， y f (x) ax b
1 1
x3 (a 1)x2 1 ax ax b x3 1 (a 1)x2 b
3 2 3 2 ，
y x 2 (a 1)x，
当 a 1 0，即a 1时， y 0， y f (x) ax b在 [0， )上递增， y f (x) ax b最
多一个零点．不合题意；
当a 1 0，即a 1时，令 y 0得 x [a 1， )，函数递增，令 y 0得 x [0，a 1)，
函数递减；函数最多有 2个零点；
根据题意函数 y f (x) ax b恰有 3个零点 函数 y f (x) ax b在 ( , 0)上有一
个零点，在 [0， )上有 2个零点，
如图：
b 0
b 0
1 a 且 1 (a 1)
3 1 (a 1)(a 1)2 b ， 0
3 2
1
解得b 0，1 a 0 0 b (a 1)3， , a 16 ．
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38．C
【详解】
因为函数 f x ex 4x 3在 R上连续单调递增，
1 1 1
f e4 4
1
3 e4 2 0
4 4
且 ,
f 1
1 1
e
2 1 4 3 e2 1 0
2 2
1 1
所以函数的零点在区间 ,4 2 内，故选 C.
39．D
【详解】
函数 恰有 4个零点，即方程 ，
即 有 4个不同的实数根，
即直线 与函数 的图象有四个不同的交点．
又
做出该函数的图象如图所示，
由图得，当 时，直线 与函数 的图象有 4 个不同
的交点，
故函数 恰有 4个零点时，
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2023 届高考数学一轮复习——函数
b的取值范围是 故选 D．
40．A
【详解】
x2 2 a 1 x a2 5 0最多有 2个根，所以 cos 2 x 2 a 0至少有 4 个根，
2 x k 1由 2 a k ,k Z 可得 x a,k Z，
2 2 4
0 k 1 1 1由 a a可得 2a k ，
2 4 2 2
1 7 9
（1） x a时，当 5 2a 4时， f x 有 4 个零点，即 a ；
2 4 4
6 2a 1 9 11当 5， f x 有 5 个零点，即 a ；
2 4 4
当 7 2a
1
6 f x 11 13， 有 6 个零点，即 a ；
2 4 4
（2）当 x≥a时， f (x) x2 2(a 1)x a2 5，
Δ 4(a 1) 2 4 a 2 5 8 a 2 ，
当a 2时， ， f x 无零点；
当a 2时， 0， f x 有 1个零点；
5
当 a 2时，令 f (a) a 2 2a(a 1) a 2 5 2a 5 0 ，则 2 a 2，此时
f x 有 2 个
零点；
a 5所以若 时， f x 12 有 个零点.
综上，要使 f (x)在区间 (0, )内恰有 6个零点，则应满足
7 a 9 9 a 11 11 13 4 4 4 4 a
5 或 5 或 4 4 ， 2 a a 2或a a 2
2 2
a 2,
9 5 11 则可解得 的取值范围是 , 4 2 4
.

41．B
【详解】
1
当0 m 1时， 1 ，y (mx 1)2m 单调递减，且
y (mx 1) 2 [(m 1) 2,1]，y x m
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1
单调递增，且 y x m [m,1 m] ，此时有且仅有一个交点；当m >1时，0 1m ，
1
y (mx 1)2在[ ,1] 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需
m
(m 1)2 1 m m 3 选 B.
42．D
【详解】
f x 3 3 ∵ 是定义是 R上的奇函数，满足 f x f x ，
2 2
f 3 （ x 3 f 3 3 ） （ x ），可得 （f x 3） （f x），
2 2 2 2
函数 f x 的周期为 3，
x ∵当 0,
3
时， f x ln x2 x 12 ，
令 f（x） 0，则 x2 x 1 1，解得 x 0或 1，
又∵函数 f x 是定义域为 R的奇函数，
3 3
∴在区间[ ， ]2 2 上，有
（f 1） （f 1） 0，（f 0） 0．
f 3 3由 x f x
3
，取 x 0，得 （f ） （f
3 f 3 3），得 （ ） （f ） 0
2 2 2 2 2 2
，
f 3∴ （ ） （f 1） （f 0） （f 1） （f
3
） 0
2 2 ．
又∵函数 f x 是周期为 3 的周期函数，
3 9
∴方程 f x =0 在区间 0,6 上的解有0，1，，2，3，4，，5，6．2 2 共 9个，
43．A
【详解】求导得 ，显然 是方程 的二不
等实根，不妨设 ，于是关于 x的方程 3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的解就是
或 ，根据题意画图：
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所以 有两个不等实根， 只有一个不等实根，故答案选 A.
44．B
【详解】
解：∵ f 1 ln 2 2 ln e2 2 0，
f 2 ln 3 1 ln e 1 0，
则 f (1) f (2) 0，
∴函数 f x ln x 1 2 的零点所在区间是 (1, 2)，
x
当 x 0，且 x 0时， f x ln x 1 2 0x
f e ln e 1 2 ln e 2 0
e e ，
f 3 ln 3 1 2 2 ln e 0
3 3 ，
f 4 ln 4 1 2 ln e 1 0
4 2 ，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，
根据零点存在性定理，B为正确答案.
45．C
【详解】
解：定义在 R的奇函数 f x 满足：
f 0 0 f 3 f 3 ，
且 f x f x ，
又 x 0时， f x xf ' x ，即 f x xf ' x 0，
，函数h x xf x 在 x 0时是增函数，
又h x xf x xf x ， h x xf x 是偶函数；
x 0时，h x 是减函数，结合函数的定义域为 R，且 f 0 f 3 f 3 0，
可得函数 y1 xf x 与 y2 lg x 1的大致图象如图所示，
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由图象知，函数 g x xf x lg x 1的零点的个数为 3 个．
46．D
【详解】
不妨设 f( x1 )=g( x2 )＝a，
∴ ex1 e＝ lnx2 1 a，
∴ x1＝ln(a+e)， x a 12＝ e ，
故 x1 x2＝ln(a+e)- ea 1，（a＞-e）
令 h（a）＝ln(a+e)-ea 1，
1
h′（a） ea 1，
a e
易知 h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，
且 h′（0）＝0，
故 h（a）在 a 0处有最大值，
即 x x
1
1 2的最大值为1 e；
47．AD
【详解】
做出函数简图如下
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2023 届高考数学一轮复习——函数
对于 A选项：根据函数解析式可知，A 选项显然正确
对于 B 选项：结合图像易知，当 x 时， f (x) ，故 B选项错误
对于 C选项：由图像易知，C 选项显然错误
对于 D选项：因为 f (0) 100 1 0， lg1 0，所以 D 选项正确.
48．AD
【详解】
由于 a，b，c都是正数，故可设4a 6b 9c M，
a log 1 1 14M，b log6 M ，c log9M，则 logM 4， logM 6， logM 9 .a b c
logM 4 logM 9 2log 6
1 1 2 1 2 1
M ， a c b，即

c b a，去分母整理得，
ab bc 2ac .
49． 2,0 0, 2
【详解】
2 x2 0
由题意 ，解得 2 x 2且 x 0，所以定义域为 2,0 0, 2 ．
x 0
1
50． ,
2
3 4
.

【详解】
当 x 0,2 2时， f (x) 1 x 1 2 ,即 x 1 y2 1, y 0.
又 f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数 f (x)与 g(x)的
图象，要使 f (x) g(x)在 0,9 上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.
当g(x)
1
时，函数 f (x)与 g(x) 22 的图象有 个交点；
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2023 届高考数学一轮复习——函数
当g(x) k(x 2)时， g(x)的图象为恒过点 2,0 的直线，只需函数 f (x)与 g(x)的图
象有6个交点.当 f (x)与 g(x)图象相切时，圆心 1,0 到直线 kx y 2k 0的距离为1，
k 2k
1 k 2即 ，得 ，函数 f (x)与 g(x)的图象有3个交点；当g(x) k(x 2)2 过点1 k 4
（1,1 1）时，函数 f (x)与 g(x)的图象有6个交点，此时1 3k，得 k .
3
1 2
综上可知，满足 f (x) g(x)在 0,9 上有8个实根的 k的取值范围为 ，3 4 .
2
51． －x x 0 )x
【详解】
因为 f x 2f 1 1 1 3 =3x①，所以以 f 2f x = ② ①②
x x
代替 x，得
x x
，由 解得
f x 2 －x x 0
x
52 2． f x x 2, x , 2 2,
【详解】
1 1 1
2
1
（配凑法） (1) f x x
2 x 2，又 x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
x x 2 x x
∴ f x x2 2, x , 2 2, ．
故答案为 f x x2 2, x , 2 2,
53． 3,
【详解】
令 x2 2x 3 0，解得 x 1或 x 3，
函数 f x x 2 2x 3的定义域为 , 1 3, .
内层函数u x2 2x 3的减区间为 , 1 ，增区间为 3, .
外层函数 y u 在 0, 上为增函数，
由复合函数法可知，函数 f x x 2 2x 3的单调递增区间为 3, .
故答案为 3, .
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2023 届高考数学一轮复习——函数
54． (4，8)
【详解】分类讨论：当 x 0时，方程 f x ax即 x2 2ax a ax，
2
整理可得： x a x 1 ，
x2
很明显 x 1不是方程的实数解，则 a ，
x 1
当 x 0时，方程 f x ax即 x2 2ax 2a ax，
x2整理可得： a x 2 ，
x2
很明显 x 2不是方程的实数解，则 a ，
x 2
x2
, x 0
令 g x x 1 ，
x
2

, x 0
x 2
x2 2
其中

x 1
1
2 x ， x 2
4
4
x 1 x 1 x 2 x 2
原问题等价于函数 g x 与函数 y a有两个不同的交点，求 a的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 g x 的图象，
同时绘制函数 y a的图象如图所示，考查临界条件，
结合 a 0观察可得，实数 a的取值范围是 4,8 .
3
55 7 2 7．（1） ；（2） 2；（3）存在，2 m .6 4
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2023 届高考数学一轮复习——函数
【详解】
解：（1）

a b cos
3x , sin 3x cos
x , sin x cos
3x cos x sin 3x sin x cos 3x x cos 2x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
，


当m 0时， f x a b 1 cos 2x 1，
1 3
则 f cos6
2 1 cos 1 1 ；
6 3 2 2
2 x

（ ）∵ , 3 4
，

∴
2 2
a b a 2a b b cos2 3x sin 2 3x 2co s 2x co s2 x sin2 x 2 2cos 2x 4cos x2 2cosx
2 2 2 2
，

则 f x a b m a b 1 cos 2x 2m cosx 1 2cos 2x 2m cosx ，
令 t cos x
1
，则 t 1，
2
则 y 2t2
m
2mt，对称轴 t 2 ，
m 1
① 当 m 12 2，即 时，
当 t
1 1 3
时，函数取得最小值，此时最小值 y m 1，得m (舍)，
2 2 2
1 m
② 当 1 1 m 22 2 ，即 时，
m 2
当 t 时，函数取得最小值，此时最小值 y m m2 1，得m 22 ，2
m
③ 当 1，即m 2时，
2
当 t
3
1时，函数取得最小值，此时最小值 y 2 2m 1，得m (舍)2 ，
综上若 f x 的最小值为 1，则实数m 2；
（3）令 g x 2cos2 x 2m cos x 24 m2 0，得 cos x 3m 4m 49 7 或 7 ，
cos x 3m 4m

∴方程 x
,
7 或 7 在 上有四个不同的实根， 3 4
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2 3m 1 7 2 m 7
2 7

6 3
2 4m 7 2 7
则 1
7 2 7
2 7 ，得
m
8 4，则 m ， 6 4
3m 4m m 0

7 7
即实数m 7 2 7的取值范围是 m .
6 4
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