资源简介

2023 届高考数学一轮复习——三角函数
三角函数
【知识点讲解】
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.角的概念
象限角：在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与 轴的非负半
轴重合，那么，角 的终边在第几象限就称 为第几象限角，终边在
坐标轴上的角不属于任何一个象限。
按旋转方向不同分为正角、负角、零角；
2．分类：
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
3.角度制与弧度制
角度：把圆周分成 360 份，每一份所对的圆心角叫做1 的角。
弧度：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角。
π 180
换算：1 = rad ；1rad = 。
180 π
扇形面积：若扇形的半径为 ，圆心角的弧度数为 ，
1 1
则此扇形的弧长 = ，面积 = 2 = 。
2 2
例 1．一个扇形的半径为 3，圆心角为 ，且周长为 8，则 （ ）
5 2 3 3A． 3 B． 3 C． D5 ． 2
l 2
【答案】B【详解】设扇形的弧长为 l，则 l 8 3 3 2，则 r 3
例 2．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长
度的“会圆术”.如图， AB是以 O为圆心，OA为半径的圆弧，C是 AB的中点，D
2
在 AB上，CD AB .“
CD
会圆术”给出 AB后的弧长的近似值 s的计算公式：s AB ，OA
记实际弧长为 l.当OA 2， AOB 60 时， l s 的值约为（ ）（参考数据：
3.14， 3 1.73）
A．0.01 B．0.05
第 1 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
C．0.13 D．0.53
【答案】D【详解】因为OA OB 2， AOB 60 ，所以 AB 2，
因为C是 AB的中点，D在 AB上，CD AB，
所以延长DC可得O在DC上，CD OD OC 2 3，
CD2s AB 2 (2 3)
2
2 7 4 3 11 4 3所以 2.04 ，
OA 2 2 2
l 2 2.093，所以 l s 0.053 .3
4.任意角的三角函数定义
（1）定义：设 是一个任意角， ∈ ,它的终边 与单位圆相交于点 , ，
那么 sin = ,cos = ,tan = ≠ 0 。

（2）三角函数值在各象限的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
π
例 3．已知 sin cos cos sin
π
1，则 为（ ）
5 5
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
sin cos π π【详解】因为 cos sin 1，所以 sin cos
π
cos sin π 1，
5 5 5 5
sin 即
π
1 π π ，故 2kπ,k Z
7π
2kπ,k Z
5
，即 ，
5 2 10
所以 在第二象限角，
例 4．点 P(sin 2022 cos 2022 ，sin 2022 cos 2022 )位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】解： sin 2022 cos 2022 2 sin 2022 45 2 sin1977
2 sin 5 360 177 2 sin177 0 ，
sin 2022 cos 2022 1 sin 4044 1 sin 11 360 144 1 sin144 0
2 2 2 ，
所以点 P(sin 2022 cos 2022 ，sin 2022 cos 2022 )位于第一象限.
第 2 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
（1）sin2 + cos2 = 1 sin 。 （2） = tan 。
cos
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三公式四 公式五 公式六
角 + π + π π π+
2 π ∈ 2 2
正弦 sin sin sin sin cos cos
余弦 cos cos cos cos sin sin
正切 tan tan tan tan
奇变偶不变，符号看象限。（特别提醒：tan 的变指的是变为倒数）
sin cos
例 5．已知 tan 2 ，则 2 2 的值为______.
sin cos
【答案】1
sin
cos
2 2 【详解】 cos sin 1 tan 1 2 1 .
sin cos sin cos tan 1 2 1
三、三角恒等变换
1.两角的和与差的三角公式
（1）基本公式
①sin ± = sin cos ± cos sin 。
②cos ± = cos cos sin sin 。
tan ± = tan ±tan ③ 。
1 tan tan
4
例 6．在 ABC中， cos A ， tan B 2 ， tan 2A 2B _________.
5
44
【答案】117
4 4 2 3
【详解】在 ABC中， cos A ，
5 sin A 1 cos
2 A 1 ，
5 5
第 3 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
3
sin A 3
tan A 5
cos A 4 4，
5
3
tan 2A 2 tan A
2
4 24 2 tan B 2 2 4
1 tan2 A 3 2 7 ，
tan 2B
1 tan2 B 1 22
，
1 3
4
24
4

tan 2A 2B tan 2A tan 2B 7 3 44
1 tan 2Atan 2B 1 24 4 117
.


7 3
（2）公式变形
① sin + cos = 2 + 2sin + ，（化一公式）
其中 cos = sin = , 。
2+ 2 2+ 2
或 sin + cos = 2 + 2cos ,
cos = sin = 其中 , 。
2+ 2 2+ 2
②sin ± cos = 2sin ± π 。
4
③tan + tan = tan + 1 tan tan 。
1 tan
④ = tan π 。
1+tan 4
1+tan = tan π⑤ + 。
1 tan 4
补充：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
2.二倍角公式
（1）基本公式
①sin2 = 2sin cos 。
②cos2 = cos2 sin2 =2cos2 1 = 1 2sin2 。
③tan2 = 2tan π π π
1 tan2
（ ≠ + 且 ≠ π + , ∈ ）。
2 4 2
第 4 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
cos 1 sin 2
例 7．若 sin 2cos ，则 （ ）
sin cos
3 2 3
A． B
2
5 ．
C
5 ．
D -
5 ． 5
【答案】A
【详解】因为 sin 2cos ，显然cos 0，故 tan 2，
cos 1 sin 2 cos sin cos 2 cos sin cos tan 1 2 1 3

sin cos sin cos sin 2 cos2 tan 2 1 22 1 5
（2）公式变形
cos2 = 1+cos2 sin2 = 1 cos2 tan2 = 1 cos2 ①降幂公式： ; ; 。
2 2 1+cos2
升幂公式：cos2 = 2cos2 1 =1 2sin2 。
α α α α
sin ＋cos sin －cos
1＋sin α＝ 2 2 2；1－sin α＝ 2 2 2．
sin =± 1 cos 1+cos 1 cos ②半角公式： ；cos =± ；tan =± 。
2 2 2 2 2 1+cos
（4）辅助角公式： a sin x b cos x a2 b2 sin(x )，其中
cos a , sin b ， tan
b
.
a2 b2 a2 b2 a
3．积化和差公式
1
cos α·cos β＝ [cos α＋β ＋cos α－β ]；
2
1
sin α·sin β＝－ [cos α＋β －cos α－β ]；
2
1
sin α·cos β＝ [sin α＋β ＋sin α－β ]；
2
1
cos α·sin β＝ [sin α＋β －sin α－β ]．
2
例 8．cos15° sin 105°=（ ）
A 3 + 1 B 3 1 3 3． 2 ． - 2 C． +1 D． -14 4 2 2
【答案】A
【详解】
第 5 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
cos15 sin105 1 [sin(15 105 ) sin(15 105 )] 1 [sin120 sin( 90 )] 1 3 1 3 1 1
2 2 2 2 2 4 2
4．和差化积公式
α＋β α－β
sin α＋sin β＝2sin cos ；
2 2
α＋β α－β
sin α－sin β＝2cos sin ；
2 2
α＋β α－β
cos α＋cos β＝2cos cos ；
2 2
α＋β α－β
cos α－cos β＝－2sin sin ．
2 2
例 9．计算：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°；
1
【答案】 2
【解析】原式＝cos 20° 1＋ 2 ＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20° 1＋ 2 ＋2cos 120°cos 20°
＝cos 20° 1 1＋ 2 －cos 20°＝ 2 .
5．万能公式
α α α
2tan 1－tan2 2tan
2 2 2
sin α＝ ；cos α＝ ；tan α＝ ．
α α α
1＋tan2 1＋tan2 1－tan2
2 2 2
1
例 10．已知 sin α 1＋sin β＝ cos cos tan(2 ， α＋ β＝ 3 ，则 α＋β)＝________，cos(α
－β)＝________.
12 59
【答案】 5 72
sin sin sin sin 【详解】

2 2

2 2
sin cos cos sin sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
第 6 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
sin cos sin cos 1 ，
2 2 2 2 2
2sin 即 cos
1
①，
2 2 2
cos cos cos cos
2 2 2 2
cos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2
cos cos cos 1 cos ，
2 2 2 2 3
即 2cos
cos 1 ②
2 2 3 ，
tan 3①②两式相除得 2 2 ，
2 tan 2 3
则 tan( ) 2
12
2 ；
1 tan 2 1 9 5
2 4
sin sin 2 sin2 sin2 2sin sin 1 ，
4
cos cos 2 cos 2 cos 2 2cos cos 1 ，
9
13
两式相加可得 2 2cos ，
36
cos 59 cos cos sin sin .
72
12 59
故答案为：① ② .5 ； 72
四、三角函数的图象与性质
函数 = sin = cos = tan
性质
定义域 { ∣ ≠ π+
π
2 ,
∈ }
图象
值域 [ 1,1] [ 1,1]
对称性 对称轴: 对称轴: 对称中心:
π = π ∈ ; π = π + , 0 ∈
2 对称中心: 2
第 7 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
（ ∈ ）;
ππ + , 0 ∈
对称中心: 2
π, 0 ∈
周期 2π 2π π
单调性 单调递增区 单调递增区间 单调递增区间
π π [2 π π, 2 π] π π
[2 π , 2 + ] π , π +
2 2 ∈ ; 2 2
∈ ; 单调递减区间 ∈
单调递减区 [2 π, 2 π +π]
π 3π ∈
[2 π + , 2 + ]
2 2
∈
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
三角函数最小正周期的求解方法
2π
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期 T＝ ，
|ω|
π
函数 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝ ；
|ω|

例 11已知 f x sin x
π
0, 的部分图象如图所示，则 f

2 的值为 6
（ ）
A 3 1 3． B． 2 C． D．12 2
【答案】C
T 7 2
【详解】由图象可得 ，所以T 4 12 3 4 ，解得
2，

7 3
所以 2 2k ,k Z

，因为 ，所以 ，
12 2 2 3
所以 f x sin 2x

f sin 2 3 ，则 .
3 6 3 2
第 8 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
【对点训练】
一、单选题
1．已知函数 f (x) sin x cos x ( R )的最小正周期为 ，则实数
A．2 B． 2
C． 2 D．
2．设函数 f (x)(x R)

是以 为最小正周期的周期函数，且当 x [0 ， ]时，
2
f (x) sin x ) 11；当 x [ 2 ， 时，
f (x) cos x，则 f ( )
3
1 1
A． B．
2 2
C 3 D 3． ．
2 2
3．已知函数 f x 3 sin x
1
0,
2 2
, A ，0 为其图象的对称
2
中心，B，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC 4，则 f x 的单调递增
区间是
2k , 2k 3 A．

,k
1 3
Z B． 2k , 2k

,k Z
2 2 2 2

C． 4k

, 4k 3 ,k Z 4k 1 3 D． , 4k ,k Z
2 2 2 2
4．将函数 y sin 2x 3 cos 2x的图象沿 x轴向左平移 个单位后，得到一个偶
函数的图象，则 的最小值为

A． B12 ． 6
5 5
C． D．
12 12
5 f x 3 2 sin x cos x 6 cos2 x 6． 已 知 不 等 式 m 0 对 于 任 意 的
4 4 4 2
5
x 恒成立，则实数m的取值范围是
6 6
第 9 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
A．m 3 B．m 3
C．m 3 D． 3 m 3
sin x , sin x cos x
6．已知函数 f x f x
cos x , sin x cos x
，有以下四个结论：① 的值域是[0，

1]；② f x 3 是以π为最小正周期的周期函数；③ f x 在（π， 2 ）上单调递增；
④ f x 在[0，2π]上有 2个零点．其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①④
C．②③④ D．①③④

7．若函数 f (x) sin( x )( 0) 在区间 (0,1)上有最大值，则 的取值范围为
6
2
A． , B． 0,
2

3 3
5
C． ,
2 5
D． ,
3 3 3
8．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》
中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为 4m ，筒车转轮
的中心O到水面的距离为 2m，筒车沿逆时针方向以角速度 0 转动，规定：
盛水筒M 对应的点 P从水中浮现（即 P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮
的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为 x轴建立平面直角坐标系 xOy，设盛
水筒M 从点 P0运动到点 P时经过的时间为 t（单位： s），且此时点 P距离水面
的高度为h（单位：米），筒车经过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是
A．当 t 16s时，点 P与点P0重合
B．当 t 51,65 时，h一直在增大
第 10 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
C．当 t 0,50 时，盛水筒有5次经过水平面
D．当 t 50时，点 P在最低点
f x sin( x ) 0,0 9．已知函数

， f x 的一个零点是 ， f x
2 6

图象的一条对称轴是直线 x ，下列四个结论：
2
① ；
4
9
② 3k(k N ) ；
2

③ f 0；
2
④直线 x

是 f x 图象的一条对称轴．
3
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①③
C．②④ D．③④

10．已知函数 f (x) 2 2 sin( x ) 0,| | 2 的部分图象如图所示，将
f (x)

的图象向右平移a a 0 个单位后，得到函数 g(x)的图象，若对于任意的 x R ，
g(x) g 24
，则 a的值可以为


A． B12 ． 4
5
C． D．
12 2
第 11 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
f x 3 sin 2x 2cos2 x 3 0, 11．函数 在区间 2 上的最小值是
A． 4 3 B．3
C．5 D．6
12．已知函数 f x 3 coswx cos( wx)(w 0) 图象上的最高点与最低点之间
2 64
距离的最小值为 ，下面给出了四个命题：
2
①函数 f x 的极大值为 3 +1；
4 11
②[ ， ]为函数 f x 的一个单调递减区间；
3 6
f x 5 ③函数 的图象关于点（﹣ ，0）对称；
12

④将函数 f x 的图象向右平移12 个单位长度后，所得图象关于原点对称．
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
f (x) f x 13．已知定义在R上的函数 满足 f x ，且当 x 时，
4 4 4
f (x) sin x ，则当函数 g(x) f (x) a在 , 2 有零点时，关于其零点之和有
3
以下阐述：①零点之和为 ；②零点之和为 ；③零点之和为 ；④零点之和
4 2 4
为 ．其中结果有可能成立的是
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
14 5 1．满足黄金分割比的身材是完美的0.618是黄金分割比m 的近似值黄金
2
分割比还可以表示为2cos72 ，则 sin 54
第 12 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
A 3 m B m 2． ．
2 2
C 4 m
2 2
． D 1 m．
2 2

15．已知 tan 1满足 tan 3，则 cos2
tan 4
3 1
A． B．
4 2
1 1
C． D．
3 6
1
16．已知锐角α，β满足 sin α－cos α＝ ，tan α＋tan β＋ 3 tan αtan β＝ ，则6 3
α，β的大小关系是

A．α< <β B．β< <α
4 4

C． <α<β D． <β<α
4 4
(π17．已知 , π) ， 为锐角， cos( π ) 1 ,sin( ) 5 sin( π )
2 6 3 13
，则 3 的值为
A 12 10 2 B 12 10 2． ．
39 39
C 5 24 2 5+24 2． D．
39 39
18．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创
造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，
就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以
上的高度来判断水位其采用的主要工具是牵星板，其由 12块正方形模板组成，
最小的一块边长约 2厘米（称一指），每块木板依次比上一块木板长 2 厘米，最
大的边长约 24 厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸
直，眼睛到木板的距离大约为 72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与
海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰
落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后
就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板
第 13 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
为六指板，则 cos 2 约为
12 12
A． B．
35 37
1 35
C． D．
6 37
19 ．已知 [0, ], , 4 4
，

3
且 3
4
cos 0, 2 2sin cos 0 ，若 cos ，则 tan
2 5
1 1
A． B．
2 3
C． 3 D．3
20．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分
5 1
与较大部分的比值，该比值为m 0.618，这是公认的最能引起美感的比
2
例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的
“0．618 5 1优选法”．黄金分割比m 0.618，它还可以近似表示为2sin18 ，
2
3 sin12 m
则 的值近似等于
sin 78
1
A． B．1
2
C．2 D． 3
4
21．若角 ， 均为锐角， sin 2 5 ， cos( ) ，则 cos
5 5
A 2 5． B 2 5．
5 25
第 14 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
C 2 5 2 5 2 5． 或 D．
5 25 5
22．若 lg tan 1， log3 tan 2 ，则 tan( - )=
19 1
A． B．
89 91
1 1
C． D．
89 91
tan
23．已知 sin 2 3sin 2 ，则 tan
1 3
A． B．
2 4
3
C． D．2
2
24 2．在 ABC 中，已知 sin Asin Bsin C sin C ，其中 tan 1 （其中
3
0 π 1 1 2 ），若 为定值，则实数 的值是
2 tan A tan B tanC
A 10． B 5．
20 5
C 5． 10 D．
10
1
25．已知函数 f x 2x3 , x R，若当0 时， f (m sin ) f (1 m) 0恒成立，则实数2
m的取值范围是（ ）
A．(0,1) B． ,0
C． 1, D． ,1
log2 x, x 0,
26、已知函数 f (x) 函数 g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意
x, x 0,
x R ，有 g x 2g x ；③当 x [0, ]时， g x sin x．则函数 y f x g x 在区
间[ 4 , 4 ]上零点的个数为（ ）
A．6 B． 7 C．8 D．9
27．若函数 f (x) cos(2x )(0



)在区间 , 上单调递减，且在区间 0, 上存 6 6 6
第 15 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
在零点，则 的取值范围是
, 2 5 , 2 A．
6 2
B． ， C． D． ，3 6 2 3 3 2
π
28．已知函数 f (x) asin x 2 3 cos x的一条对称轴为 x ， f (x1) f (x2) 0 ，且函数 f (x)6
在 (x1, x2 ) 上具有单调性，则 | x1 x2 |的最小值为
2π π π 4π
A． B． C． D．
3 3 6 3
29．已知函数 f x cos2 x 3 sin x 1 0, x R .若函数 f x 在区间 , 2 内没
2 2 2
有零点 ， 则 的取值范围是
5 5 5 11
A． 0, B． 0, ,12 12 6 12
0, 5 0, 5 5 , 11 C． D． 6 12 6 12
二、多选题
30．要得到函数 y sin(2x )的图象，只要将函数 y sin x的图象
3

A．每一点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个单位长度
3
1
B．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个单位长度
2 6
1
C．向左平移 个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
3 2
1
D．向左平移 个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
6 2

31．要得到 y＝cos 2x 的图象 C1，只要将 y＝sin (2x ) 的图象 C2怎样变化得到3

A．沿 x 轴方向向左平移12 个单位长度
11
B．沿 x轴方向向右平移 个单位长度
12
5
C．先作 C2关于 x轴对称的图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向右平移 个单位12
长度

D．先作 C2关于 x 轴对称的图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向左平移12 个单位
第 16 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
长度
32．已知函数 f x Acos x π 1 A 0, ，若函数 y f x 的部分图
2
象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数 f x 的图象关于直线 x π 对称
6
f x 5 B．函数 的图象关于点 π,1 对称
6
5
C．将函数 y 2sin x 1的图象向左平移 π个单位可得函数 f x 的图象
6
D．函数 f x π 在区间 ,02 上的值域为

3 1,3
4 4 33．若 ∈[0，2π]，sin sin cos cos 0，则 的值是
3 3 3 3

A． B6 ． 4
3
C． D．
2 2
cos 2x 1
34．已知函数 f(x)＝ 是奇函数，则有
sin 2x

A．函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 对称
2

B．函数 f(x)的图象关于点( ，0)对称
2
C．函数 f(x)是奇函数
D．函数 f(x)的最小正周期为π

35．已知0 ，且 tan , tan 是方程 x2 mx 2 0的两个实根，则下列
2
结论正确的是
A． tan tan m B．m 2 2
第 17 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
C．m tan 4 D． tan( ) m
36．（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）设函数 f (x) cos( x )（ ， 是常数， 0，
5 0 5 11 ），若 f (x) 在区间 , 上具有单调性，且 f f f2 24 24 24 24 24
，

则下列说法正确的是（ ）
A． f (x) 的周期为

f (x) k , k B． 的单调递减区间为 (k Z ) 6 3
C． f (x) x
k
的对称轴为 (k Z )
12 2
D． f (x) 的图象可由 g(x) sin x
5
的图象向左平移 个单位得到
12
三、填空题
sin( ) 2
tan
37．已知 ， sin( )
1
，则 的值为___________．
3 3 tan
38．若 cos αcos β＋sin αsin β＝0，则α－β的值为___________．
39．方程sin 2x cos3x 0在区间 0,2 上的所有根之和为__________．
40．已知函数 f (x) sin 3x cos3x， x R ，给出下列四个结论：
①函数 f (x) 的值域是 2, 2 f

；②函数 x 4 为奇函数；③函数
f (x) 的图象

x 关于直线 对称；④若对任意 x R ，都有 f x1 f (x) f x4 2 成立，则
x1 x

2 的最小值为 ．其中正确结论的序号是__________．3
41．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，
三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、
机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、
方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB的长度
为 ，则该勒洛三角形的面积为__________．
第 18 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
2 42．若函数 f (x) 2 sin x 2 3 sin x s in x 2 能使得不等式
| f (x) m | 2在区

0, 2 间 3 上恒成立，则实数
m的取值范围是___________．

x
, x
1 ,1
x 2 2 3
43．已知函数 f (x) ，g(x) asin x 2a 2(a 0)，
1 x 1 , x 0, 1
3 2
2 4 2
给出下列结论：
1
①函数 f (x)

的值域为 0, 3
②函数 g(x)在[0,1]上是增函数；
③对任意 a 0，方程 f (x) g(x)在[0,1]内恒有解；
④若存在 x1 ， x2 [0,1] ，使得 f x1 g x2 成立，则实数 a 的取值范围是
5 a 4 ．
9 5
其中所有正确结论的序号是__________．
44．已知函数 f x 3 sin x cos x ，则下列说法正确有__________．（将所有正
确的序号填在横线上）
① f x 的图象关于点 ,06 中心对称
② f x 在区间 , 上单调递减 2
③ f x 在 0,2 上有且仅有1个最小值点
④ f x 的值域为 1,2
第 19 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
45．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，
当喷泉水柱以与水平方向夹角为 的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移
v2 v2
动的距离为 D sin 2 g ，能够达到的最高高度为
H (1 cos 2 )
4g （如图所示，
g 5其中 为重力加速度）．若 tan ，则 H与 D的比值为__________．
2
46 ． 已 知 ,
3
均 为 锐 角 ， 且 ， 若 sin(2 ) sin ， 则
2 2
tan( )
___________．
tan
47．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建
设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士．2020年 8 月 11 日，
国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表
现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O 为图中两个同心圆的
圆心，三角形 ABC 中， AB AC，大圆半径OA 2，小圆半径OB OC 1，记
S 为三角形 OAB 与三角形 OAC的面积之和．设阴影部分的面积为S，当 S S取
得最大值时cos BOC ___________．
48．（2021·山东青岛·高三开学考试）设函数 f (x)是定义在实数集 R上的偶函数，且
f x f 2 x ，当 x [0,1]时， f (x) x3 ，则函数 g(x) | cos x | f (x) 1 5在 ,

上所有 2 2
零点之和为___________.
第 20 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
【参考答案】
1、【答案】C
【解析】因为 f x sin x cos x 2 sin x
π

4
2
所以 f (x) 的最小正周期T ，解得
2，故选 C．
2、【答案】A
T x [ 【解析】 ，且当 ， ) 时， f (x) cos x，
2
f (11 ) f (3 2 ) f (2 ) cos 2 1 ．故选 A．
3 3 3 3 2
3、【答案】D
1
【解析】因为 A , 0 为图象 f x
1
的对称中心，所以 + kπ(k Z ) ，
2 2
因为 B，C是该图象上相邻的最高点和最低点， BC 4，
(T )2 (2 3)2 42 T 4, 2π π所以 = .，
2 T 2
因此
π
kπ (k Z ) π π π。因为 ，
4 2 2 4
所以 f x 3sin x π π π π ，有 2kπ x 2kπ，(k Z )
2 4 2 2 4 2
化简得 x 4k
1
,4k 3
2 2
， k Z．故选 D．

4、【答案】A
2sin 2x 【解析】 函数 y sin 2x 3 cos 2x ，
3
将函数 y sin 2x 3 cos 2x的图象沿 x轴向左平移 个单位后，

得到函数 y 2sin 2x 2 ，函数关于 y轴对称，
3
2 k k Z k ， k Z ，
3 2 2 12

当 k 0时， Amin ．故选12
第 21 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
5、【答案】A
1 cos x
【解析】 f x 3 2 sin x 6 2 6 m
2 2 2 2
3
6 sin
x 1
cos x m 6 sin x
2 2 2 2
m，
2 6
5 x
因为 x ，故 ，故 3 6 sin
x
3 ，
6 6 4 2 6 4 2 6
故 f x 3 mmax ，
因为 f x 0 5 , 在 上恒成立，故 即 ，故选 A． 6 6 3 m 0 m 3
6、【答案】B

sin x ,sin x cos x sin x , x [

2k , 5 2k ], k Z
4 4
【解析】 f x ，
cos x ,sin x cos x

cos x , x ( 3 2k , 2k ), k Z
4 4
作出函数 f x 的大致图象，如图所示，
可得函数 f x 的值域是[0,1]，故①正确；
由 f sin 0, f 2 cos 2 1，所以 f 2 f ，
所以 不是函数 f x 的最小正周期，所以②不正确；
f x ( , 5 ) (5 3 由图象可知 在 上单调递增，在 , ) 上单调递减，故③不正确；
4 4 2
在[0, 2 ] 3 上，由图象可得 f f ( ) 0，
2
故 f x 在[0, 2 ]上有 2 个零点，故④正确；
综上，所有正确的序号是①④，故选 B．
7、【答案】A
第 22 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
【解析】在 (0,1) x

上，有 ,

, ( 0)，区间内有最大值，6 6 6
2
所以 ，即 ．故选 A．
6 2 3
8、【答案】C
【解析】设 P0Ox

0 1 ，依题意 sin ．
2 2

又 0 ，所以 ．又 xOP t ，圆O的半径为 4，
2 6 6
所以 P点满足 y 4sin t

，当 t 6时， 6

，解得 ，
6 6 2 9
2
所以 y 4sin t
h 4sin t 2 18，故 ．该函数最小正周期为 ，
9 6 9 6 9
所以当 t 18s时，点 P与点 P0 重合，选项 A 错误；
令 2k t 2k (k Z) ，解得18k 3 t 18k 6(k Z)，
2 9 6 2
当 k 3时，51 t 60，因为[51,65] [51,60]，所以选项 B 错误；
h 4sin 1令 t

2 0 sin

，即 t
，
9 6 9 6 2

所以 t 2k (k Z) 或 t 7 2k (k Z)，
9 6 6 9 6 6
解得 t 18k 或 t 18k 12(k Z)．
又 t 0,50 ，所以 t可以取的值为12，18，30，36，48，
此时盛水筒有5次经过水平面，选项 C 正确；
97
当 t 50 时， h 4sin 50

2 4sin 2 2，所以选项 D 错误，故选 C．
9 6 18
9、【答案】B
第 23 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
【解析】函数 f x sin( x )

0,0 ，
2
f x 图象的一条对称轴是直线 x ，所以 f x f x ，2 2 2
f x 由 的一个零点是 ，所以 f x f x6 6 ， 6
T k T
4
整理得 ，所以T ，
4 2 2 6 3 3(1 2k)
2 3故 3k(k Z ) 故②错误；
T 2
9 3
当 k 1时， f (x) sin x ，把 ,0

代入关系式，得到 sin 0，
2 6 4
由于0 ，所以 ，故①正确；
2 4
9
对于 f sin 1，故④错误，
3 2 3 4
f 9 sin

2

2
sin( 2 ) 0 ，故③正确；故选 B． 2 4
10、【答案】C

【解析】因为 f 0 2 ，所以 2 2 sin 2 2，所以 sin 且 | | ，所以 ，
2 2 4
f 3 3 3 因为 0，所以 2 2 sin 0 ，所以 k ,k Z ，
8 8 4 8 4
8k 2 ,k Z T 3 3 8所以 ，且 ，所以 ，所以0 ，所以 k 1, 2，
3 2 8 8 3

所以 g x 2 2 sin 2 x a 2 2 sin 2x 2a4 4 ，

因为对于任意的 x R ， g(x) g ，所以 g 2 2 ，
24 24
sin 所以 2a

1

，所以 sin 2a 1

，所以 2a 2k
12 4 3 3 1
,k1 Z，2
第 24 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
a 5 5 所以 k1 ,k1 Z 或 a k1 ,k1 Z ，所以 a可取 ，故选 C．12 12 12
11、【答案】B
【解析】 f x 3 sin 2x 2cos2 x 3 3 sin 2x cos 2x 4 2sin 2x

4，
6
因为0 x 7 时， 2x ，
2 6 6 6
2x 7 所以，当 时，函数 f x 取得最小值，
6 6
即 f x 2sin 7 4 1 2 4 3min ．故选 B．6 2
12、【答案】B
【解析】由函数 f x 3 coswx cos( wx) 2sin(wx ) T 2 ，其最小正周期 ，
6 w
2
由已知得 (T )2 ( 2 2)2 ( )2 42 64 ，解得w 2，
2 w 2

所以 f x 2sin(2x )，所以函数 f x 的极大值为 2，故①为假命题；
6
3
由 2k 2x 2k ,k Z ，解得 k x k 5 ,k Z，
2 6 2 3 6
5
所以该函数的单调递减区间为[k ,k ],k Z，
3 6
k 1 [4 11 令 时，所得区间为 , ]，故②为真命题；
3 6
令 2x k k ,k Z，解得 x ,k Z ，
6 2 12
所以函数 f x k 图象的对称中心为 ( ,0),k Z ，
2 12
5
当 k 1时，对称中心为 ( ,0)，故③为真命题；
12
将函数 f x 的图象向右平移 个单位长度后，
12

所得图象对应的函数解析式为 f x f (x ) 2sin[2(x ) ] 2sin(2x )，
12 12 6 3
显然该函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，故④为假命题．
综上真命题只有②③．故选 B．
13、【答案】D
第 25 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
f x 【解析】由题意，函数满足 f x ，所以函数 f (x) 关于 x

对称，
4 4 4

因为当 x 时， f (x) sin x，所以作出函数的图象如图所示， g(x) f (x) a在
4
, 有零点，
2
即函数 y f (x) 与函数 y a有交点，结合图象可知，
2
当0 a 或 a 1时，有两个零点，零点之和为 ；
2 2
2 3 2
当 a 时，有三个零点，零点之和为 ；当 a 1时，有四个零点，零点和为 ，
2 4 2
所以可能成立的有②③④．故选 D
14、【答案】B
5 1
【解析】由黄金分割比m 的近似值黄金分割比可以表示为 2cos72 ，
2
即 2cos72 m，又由 sin 54 cos36 1 cos72 m 2 ．故选 B．
2 2
15、【答案】D
tan 1 3 sin cos 【解析】由 可得 3，
tan cos sin
1
sin2 cos2 3 2
即 3，所以 1
cos sin sin 2
，可得 sin 2 ，
2 3
第 26 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
1 cos 2 2 1
所以 cos2 2 1 sin 2 3 1 D
，故选 ．
4 2 2 2 6
16、【答案】B
1
【解析】因为α为锐角，sin α－cos α＝ ，所以α> ．又 tan α＋tan β＋ 3 tan αtan β＝ 3 ，6 4
tan tan
所以 tan(α＋β)＝ 3 ，所以α＋β＝ ，又α> ，所以β< <α．故选 B
1 tan tan 3 4 4
17、【答案】A
π π π 5π
【解析】因为 ( ,π) ，所以 ( , ) ，
2 6 3 6
π 1 π
因为 cos( ) ，所以 sin( ) 2 2 ，
6 3 6 3
π 5 12
因为 ( ,π) ， 为锐角， sin( ) ，所以 cos( ) ，
2 13 13
因为
π
( ) ( π ) π ，
3 6 2
所以 sin(
π π π
) sin[( ) ( ) ]
3 6 2
cos[( ) ( π )] cos( )cos( π ) sin( )sin( π )
6 6 6
12 1 5 2 2 12 10 2
( ) ．故选 A．
13 3 13 3 39
18、【答案】D
72 6
【解析】由题意 cos
722
，
122 37
2
则 cos 2 2cos2 1 6 35 2 1 ．故选 D．
37 37
19、【答案】A

【解析】 [0， ] ， [ , ]，且 3 cos 0，设 f (x) x3 cos x ，4 4
则 f ( ) 3x2 sin x 0 ，故函数 f (x) 在 [0 ， ] 上单调递增，且 是 f (x) 的一个零点．
( 2 )3 2sin cos 0 ，即 ( 2 )3 cos( 2 ) 0 ．
2 2 2

根据 2 [0， ] ，故 2 也是 f (x) 的一个零点， 2 ，
2 2 2
第 27 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
2sin cos 2 tan 4
cos cos( 2 ) sin 2
2 sin2
，
cos2 tan2 1 5
tan 1 ，或 tan 2（舍去），故选 A
2
20、【答案】B
【解析】本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．由题意得
3 sin12 m 3 sin12 2sin18 3 sin12 2sin 30 12

sin 78 sin 78 sin 78

3 sin12 2 1

cos12
3
sin12
2 2

cos12 cos12 ，故选 B． 1
sin 78 sin 78 cos12
21、【答案】A
2 5 4
【解析】Q ， 均为锐角， sin ， cos( ) ，
5 5
2
2
cos 1 2 5 5 ， sin( ) 1
4 3 ，
5 5 5 5
cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( )sin
4 5 3 2 5 2 5
．故选 A．
5 5 5 5 5
22、【答案】B
【解析】因为 lg tan 1， log3 tan 2 ，
所以 tan 10， tan 32 9 ，
tan tan - tan 10- 9 1所以 ( - )= = = ，故选 B
1+ tan tan 1+ 10 9 91
23、【答案】D
【解析】 sin 2 sin
sin cos cos sin ，
sin 2 sin
第 28 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
sin cos cos sin ，
由 sin 2 3sin 2 可得
sin cos 2cos sin ，
tan sin cos
因此， 2 ．故选 D．
tan cos sin
24、【答案】A
1 π 1
【解析】由 tan , (0 )，可得 sin ， cos
3
，
3 2 10 10
因为 sin Asin Bsin C sin2C，
得 sin Asin B
3
sinC
1
cosC sin 2C ，
10 10
1 3 sinC 1 cosC sin
2 C
即 ， 10 10 sin Asin B
1 1 2 cos A cosB 2cosC
又由
tan A tan B tanC sin A sin B sinC
sinC 2cosC
sin
2 C 2cosC

sin Asin B sinC sin Asin BsinC sinC
1 1 3 sinC 1 cosC 2cos C 1 3 1 1 cos C 2cos C k
sinC 10 10

sinC 10 10 sinC sinC
（定值），即3sinC cosC 2 10 cosC 10k sinC ，
即3sinC cosC 2 10
k
sinC cosC

2
恒成立，

3 2 10 k 10
可得 2 ，解得 k 6， ．故选 A．
1 2 10
20
25、【答案】D
【详解】
1
由题意， f ( x) 2x3 f (x)，即 f (x) 为奇函数，同时也为增函数，
∵ f (m sin ) f (1 m) 0，即 f (msin ) f (1 m) f (m 1)，
第 29 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数

∴m sin m 1，则m(1 sin ) 1，又0 ，
2
1
当 sin 1时，不等式恒成立；当0 sin 1时，m 恒成立，即m 1.
1 sin
综上，m 的取值范围是 ,1 .
故选：D
26、【答案】A
【详解】
当 x ,0 1 1时， x 0, ，故 g x g x sin x，
2 2
1
同理可得当 x 2 , 时， g x sin x，
4
此时 y f x g x x g x 1 sin x 0，
4
故 y f x g x 在 2 , 无零点，
同理 y f x g x 在 4 , 2 也无零点.
因为 g x 2g x ，故将 y g x ,x 0, 上的图象向右平移 个单位后，图象伸长
为原来的两倍，
在平面直角坐标系， f x 、 g x 在 , 4 上的图象如图所示：
log 3 5 7 因为 2 2, log2 4, log 8，2 2 2 2
故 f x 、 g x 在 0,4 上的图象共有 5 个不同交点，
下证：当 x ,0 ， y f x g x 有且只有一个零点.
1
此时 y x sin x
1
，而 y 1 cos x 0，
2 2
故 y f x g x 在 ,0 上为减函数，
故当 x ,0 ，有 f x g x f 0 g 0 0，当且仅当 x 0 时等号成立.
故 f x 、 g x 在 , 4 上的图象共有 6 个不同交点，
第 30 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
即 y f x g x 在 4 , 4 有 6 个不同的零点，
故选：A.
27、【答案】D
【详解】

当 x [ , ]时， 2x [ , ]6 6 ，3 3
又 (0, ) 2x
, 4 ， 3 3
，

函数 f (x) cos(2x )(0

)在区间 , 上单调递减， 6 6

0
[ , ] [0, ] 3 2 ，即 ，解得 ；3 3 3 3
3
f (x) cos(2x ) 0 2x 令 ，则 k k Z k ，即 x k Z ，
2 4 2 2

由

, ，可得当且仅当 k 0时， 0,4 2 4 4 4 2 6 ，
又函数 f (x) cos(2x

)(0 0, )在区间 上存在零点，
6

0, ，解得 ；4 2 6 6 2
π π
综上， 的取值范围是 , . 3 2
故选：D.
28、【答案】A
【详解】
由题， f x asinx 2 3cosx = a2 12 sin(x )， 为辅助角，
π 1
因为对称轴为 x ，所以 f ( ) a 3
6 6 2
1
a 3 a2即 12 解得 a 2
2

所以 f (x) 4sin(x )
3
又因为 f x 在 x1, x2 上具有单调性，且 f x1 f x2 0，
所以 x1, x2 两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
第 31 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
x 2
即 1
x2 x1 x2 3 3 3 k (k z)
2 2
所以 x1 x 2k
2
2 (k z)3
当 k 0时， x1 x
2π
2 取最小为 3
故选 A
29、【答案】D
【详解】
f (x) 1 cos x 3

sin x 1 3 sin x 1 cos x sin( x ) ，
2 2 2 2 2 6
x 2 , x 2 , x 2 , 函数 f x 在区间 , 2 内没
6 6 6
有零点
x 2k 2k 1

(1) ( , 2

) (2k , 2k ),k Z { 6 6，则 ，则{ ，
6 6 2 2k k 5
6 12
5
取 k 0 ， 0, 0 k ；
12
2k

（2） ( , 2 ) (2k , 2k 2 ),k Z { 6，则 ，解得：
6 6 2 2k 2
6
5 2k
{ 6 5 11，取 k 0 ， k ；
k 11 6 12
12
5 5 11
综上可知： k 的取值范围是 (0, ] [ , ] ，选D .
12 6 12
30、【答案】BC
1
【解析】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得
2

图象向左平移 个单位长度，所以 A 选项错误，B 选项正确．
6

（2）先平移后伸缩时：向左平移 个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来
3
1
的 (纵坐标不变)，所以 C 选项正确，D 选项错误．故选 BC．
2
第 32 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
31、【答案】ABC
y sin(2x 【解析】A，将 ) 的图象 C2 沿 x 轴方向向左平移 个单位长度，可得
3 12
y sin[2(x ) ] sin(2x ) cos 2x的图象 C1，正确；
12 3 2
11
B ， 将 y sin(2x ) 的 图 象 C2 沿 x 轴 方 向 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 可 得
3 12
y sin[2(x 11 ) ] sin(2x 3 ) cos 2x，正确；
12 3 2

C，先作 C2关于 x 轴对称，得到 y sin(2x ) 的图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向右
3
5 5
平移 个单位长度，得到 y sin[2(x ) ] sin(2x ) cos 2x的图象 C1，
12 12 3 2
正确；
y sin(2x D，先作 C2关于 x 轴对称，得到 ) 的图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向左
3
y sin[2(x ) ] sin(2x 平移 个单位长度，得到 ) cos 2x的图象，不
12 12 3 2
正确．故选 ABC．
32、【答案】BC
【解析】结合函数 y f x 的图象易知，函数 f x 的最大值3，最小值为 1，
则 A 2， f x 2 cos x 1，
1
代入点 0,2 ，则 2cos 1 2，cos ，
2
π
因为 ，所以 ， f x 2cos x 2 3 3 1，
x k k Z ，即 x k k Z ，函数 f x 关于 x k k Z 对称，
3 3 3
A 错误；

x π π+ = + kπ(k

Z)，即 x k k Z ，函数 f x

关于点 k ,1

k Z 对3 2 6 6
称，B 正确；
第 33 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
函数 y 2sin x 1 5的图象向左平移 π 个单位，
6
f x 2sin x 5 得出 1 2sin x 1 2cos x 1，C 正确；
6 3 2 3
x 当 ,0
x π 时，

,
cos x 1， ,1

， f x 2,3 ，D 错误．故
2 3 6 3 3 2
选 BC．
33、【答案】CD
4 4
【解析】因为 ∈[0，2π]，sin sin cos cos cos ＝0，
3 3 3 3
则 1 或 3 ，故选 CD．
2 2
34、【答案】BCD
f x cos 2x 1 1 2sin
2 x 1 2sin 2 x k
【解析】因为 tanx x ,k Zsin 2x sin 2x 2sin xcos x 2
则函数 f x 的图象没有对称轴，故 A 不正确
函数 f x k 的图象关于点 ,0 k Z 对称，故 B 正确．
2
函数 f x 是周期为 的奇函数，故 C ，D 正确故选 BCD．
35、【答案】BCD
【解析】由 tan ， tan 是方程 x2 mx 2 0的两不等实根，
所以 tan tan m， tan tan 2，
tan( ) tan tan m m，
1 tan tan 1
由0 ， tan ， tan 均为正数，
2
则 tan tan m 2 tan tan 2 2 ，
当且仅当 tan tan 取等号，等号不成立
m tan 2 tan tan 2 2 tan tan 4，
第 34 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
当且仅当 2 tan tan 取等号，故选 BCD
36、【答案】ABD
【详解】
5 T 5
由 f (x)

在区间 ,

24 24
上具有单调性知，f (x) 的周期 T满足 ，所以T ，
2 24 24 2
11 5 5 11 5 11
又因为 f f ，所以 ， 在同一个周期内且 f f ，故24 24 4 2 24 24 24 24
f (x) 5 的一条对称轴为 x ，又由 f f 知 f (x) 的一个对称中心为3 24 24
,0 ，且
12
T
所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以 ，得T ，即 2，A正确．
4 3 12
f (x) 又因为 的一个对称中心为 ,0 ，所以 cos 0， 2k (k Z ) ，由
12 6 3
0 知， ，故 f (x) cos 2x

.
2 3 3
2k 2x 2k ，解得 k - ＃x k + ， k Z，B正确；
3 6 3
2x k x k ， ， k Z，C错误；
3 2 6
g(x) sin 2x 5 的图象向左平移 个单位得
12
h(x) sin 2(x 5 ) sin(2x 5 ) sin(2x ) cos(2x )，D 正确．
12 6 3 2 3
故选：ABD．
37、【答案】3

sin cos cos sin
2
sin cos 1
3
【解析】由题可得
2

sin cos 1 cos sin cos sin 1
3 6
1
sin cos tan
所以 2 3，
cos sin tan 1
6
故答案为 3

38、【答案】 k (k Z )
2
【解析】由 cos αcos β＋sin αsin β＝0，得 cos( ) 0 ，
第 35 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数

所以 k (k Z )，
2

故答案为 k (k Z )
2
39、【答案】6
【解析】方程 sin 2x cos3x 0，即 sin 2x cos3x，
2sin xcos x 4cos 3 x 3cos x cos x( 4cos 2 x 3) cos x(4 4cos 2 x 1) cos x(
4sin2 x 1) ，即 2sin x cos x cos x( 4sin2 x 1) ，
即 cos x 0 ，或 4sin2 x 2sin x 1 0，
即 cos x 0 1 5 1 5，或 sin x ，或 sin x ．
4 4
3
在区间 [0 ， 2 ]上，由 cos x 0 ，可得 x ，或 x ．
2 2
利用正弦函数的图象的对称性，
sin x 1 5

由 ，可得它的两个根之和为2 ；
4 2
3
由 sin x 1 5 ，可得它的两个根之和为 2 3 ．
4 2
3
故在区间 [0 ， 2 ]上的所有根之和为 3 6 ，
2 2
故答案为6 ．
40、【答案】①③④

【解析】 f (x) 2 sin 3x ．① f (x) 的值域是 2, 2 ，结论正确；
4
② f x



2 sin
3 x 2 sin
3x 2 cos3x为偶函数，
4 4 4 2
结论错误；
x 3x ③当 时， ， f (x) 取最大值，结论正确；
4 4 2
④因为 x1， x2 分别为 f (x)
T
的最小值点和最大值点，则 x1 x2 min ，结论正确．2 3
所以正确结论的序号是①③④．
第 36 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
故答案为①③④
41 9 9 3、【答案】
2

【解析】设等边三角形 ABC的边长为 a，则 a ，解得 a 3，
3
所以，由弧 AB与 AB所围成的弓形的面积为
1 a2 1 a2 sin 32 9 3 3 9 3 ，
2 3 2 3 6 4 2 4
9 3 3 9 3 9 9 3
所以该勒洛三角形的面积 S 3 4 2 4
．
2
9 9 3
故答案为 ．
2
42、【答案】 (1,2]
【解析】 f (x) 2sin2 x 2 3 sin xsin(x )
2
2 2sin x 2 3sin xcos x 1 cos 2x 3 sin 2x 1 2sin(2x ) ，6
所以 f x 1 2sin(2x )，
6
0 2 x 2x 7 1 sin(2x ， ) 1 即 0 f (x) 3，
3 6 6 6 2 6
| f (x) m | 2 即m 2 f (x) 2 m 2 在区间 0, 上恒成立，
3
2 m 3
，解得1 m 2 ，故答案为 1,2 .
m 2 0
43、【答案】①②④
1
【解析】对于①，当 x 1时， f (x) x x 2 2 1 2 为增函数，
2 x 2 x 2 x 2
1
所以 f ( ) f (x) f (1) 1，即 f x 1 ；
2 5 3
0 x 1 1 1当 时， f (x) x 为减函数，
2 2 4
所以 f (1) f (x) f (0) ，即0 f (x) 1 ，
2 4
第 37 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
1
所以 f (x)

的值域为 0, ，故①正确； 3
3 3 11
对于②，当0 x 1时， x ，
2 3 2 6
所以 y sin( x 3 ) 为增函数，又 a 0，
3 2
所以 g(x) asin
x 3

2a 2(a 0)在[0,1]上为增函数，故②正确；
3 2
f (x) [0, 2对于③，由①知， 的值域为 ]，
3
由②知， g(x) 在[0,1]上为增函数，所以 g(0) g(x) g(1)，
3a 2 g(x) 5 a 2 g(x) [0,1] [ 3a 2, 5所以 ，即 在 内的值域为 a 2]，
2 2
1 5
当 3a 2 或 a 2 0，即0 a 5 a 4 或 时， f (x) g(x) 在[0,1]内无解，
3 2 9 5
故③不正确；
对于④，若存在 x1， x2 [0,1]，使得 f x1 g x2 成立，

则 0,
1 [ 3a 2, 5 a 2] ， 3 2
由③知，当0 a 5 4 2 5 或 a 时，[0, ] [ 3a 2, a 2] ，
9 5 3 2
5 a 4 2所以当 时，[0, ] [ 3a 2, 5 a 2] ，
9 5 3 2
a 5 4所以实数 的取值范围是 a ，故④正确．
9 5
故答案为①②④
44、【答案】②③

【解析】对于①，因为 f 0， f 3 ，所以 f 6
f ，
2 6 2
所以 f x 的图象不关于点 ,0 中心对称，故①错误；
6
x 对于②，当 , 时， f x 3 sin x cos x 2sin2 x ， 6
x 2 , 7 ，所以函数 f x 在区间 , 上单调递减，故②正确；6 3 6 2
第 38 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
对于③④， f x 3 sin x cos x 3 sin x cos x
3 sin x cos x f x ，所以 为函数 f x 的周期．
当 x 0,

时， f x 3 sin x cos x

2sin x x ， ,

，
2 6 6 6 3
f x 所以 在区间 0, 上单调递增， f x f x 2 min
f 0 1， max f 3 ； 2

由②可知，函数 f x 在区间 , 上单调递减，当 x , 时，f x 2 2 max
f 3 ，
2
f x min f 1．
所以，函数 f x 在 0,2 上有且只有1个最小值点，且函数 f x 的值域为 1, 3 ，
故③正确，④错误．
45 5、【答案】
8
v2 2(1 cos 2 ) v 2sin2 1
H 4g 4g sin
2
2 1 tan 5【解析】 ．
D v2 2sin 2 v sin 2 2sin cos 4 8
g g
5
故答案为 ．
8
46、【答案】5
3
【解析】由 sin(2 ) sin ，可得 2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
2
所以 2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
tan( )
从而 sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以 tan(α＋β)＝5tan α，所以 5．
tan
故答案为5．
47、【答案】2 5
【解析】过点 O 作OD ^ BC于点 D，则点 D 为 BC 的中点，
又 AB AC， A，O，D 三点共线，
第 39 页 共 40 页
2023 届高考数学一轮复习——三角函数
设 BOC , (0, ) ， AOB AOC

，
2
S 1 1 12 12 1则 sin sin ， S
1
2 1 2 sin( ) 2sin ，
2 2 2 2 2 2 2
1
从而 S S 2sin sin ，
2 2 2
令 f ( ) 2sin
1
sin , (0, π) ， f ( ) cos
1 1
cos cos2 cos 1，
2 2 2 2 2 2 2 2
由 f ( ) 0，解得 cos 5 1 cos 5 1 或 （舍去），
2 2 2 2
cos 5 1, (0, 记 )
2 2
f ( ) (0, ) 在 上单调递增，在 , 上单调递减，
2
故当 cos 5 1 时， f ( )取得最大值，
2 2
2
5 1
此时 cos 2cos2 1 2
2 2
1 2 5 ．

48、【答案】 7
【详解】
因为 f x f 2 x ，所以 f x 2 f x f x ，
所以 f x 是一个周期为 2的周期函数，且关于直线 x 1对称，
令 h x | cos x |，所以 h 2 x cos 2 x cos 2 x cos x h x ，
所以 h x 关于直线 x 1对称，
在同一平面直角坐标系中作出 y | cos x |, y f x 的图象，如下图所示：
由图象可知： y | cos x |, y f x 的图象共有 7 个交点，
其中6个点关于 x 1对称，还有一个点横坐标为1，
6
所以交点的横坐标之和为 2 1 7，
2
1 5
所以 g x 在 , 上所有零点之和为 7， 2 2
第 40 页 共 40 页三角函数
【知识点讲解】
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.角的概念
象限角：在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角 的终边在第几象限就称 为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何一个象限。
2．分类：
3.角度制与弧度制
角度：把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫做 的角。
弧度：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
换算： ； 。
扇形面积：若扇形的半径为 ，圆心角的弧度数为 ，
则此扇形的弧长 ，面积 = 。
例1．一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】设扇形的弧长为l，则，则
例2．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的中点，D在上，.“会圆术”给出后的弧长的近似值s的计算公式：，记实际弧长为l.当，时，的值约为（ ）（参考数据：，）
A．0.01 B．0.05
C．0.13 D．0.53
【答案】D【详解】因为，所以，
因为是的中点，在上，，
所以延长可得在上，，
所以，
，所以.
4.任意角的三角函数定义
（1）定义：设 是一个任意角， ,它的终边 与单位圆相交于点 ，那么 , , 。
（2）三角函数值在各象限的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
例3．已知，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【详解】因为，所以，
即，故，即，
所以在第二象限角，
例4．点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】解：
，
，
所以点位于第一象限.
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
（1） 。 （2） 。
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角
正弦
余弦
正切
奇变偶不变，符号看象限。（特别提醒：tan的变指的是变为倒数）
例5．已知，则的值为______.
【答案】
【详解】.
三、三角恒等变换
1.两角的和与差的三角公式
（1）基本公式
① 。
② 。
③ 。
例6．在中，，，_________.
【答案】
【详解】在中，，，
，
，，
.
（2）公式变形
① ，（化一公式）
其中 , 。
或 ,
其中 , 。
② 。
③ 。
④ 。
⑤ 。
补充：sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α．
2.二倍角公式
（1）基本公式
① 。
② = 。
③ （ 且 , ）。
例7．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，显然，故，
（2）公式变形
①降幂公式： ; ; 。
升幂公式： = 。
1＋sin α＝2；1－sin α＝2．
②半角公式： ； ； 。
（4）辅助角公式：，其中，.
3．积化和差公式
cos α·cos β＝；
sin α·sin β＝－；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝．
例8．cos15° sin 105°=（ ）
A．+ B．- C．+1 D．-1
【答案】A
【详解】
4．和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ；
sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；
cos α－cos β＝－2sin sin ．
例9．计算：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°；
【答案】
【解析】原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°
＝cos 20°＋－cos 20°＝.
5．万能公式
sin α＝；cos α＝；tan α＝．
例10．已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则tan(α＋β)＝________，cos(α－β)＝________.
【答案】
【详解】
，
即①，
，
即②，
①②两式相除得，
则；
，
，
两式相加可得，
.
故答案为：①；②.
四、三角函数的图象与性质
函数 性质
定义域
图象
值域
对称性 对称轴: （ ）; 对称中心: 对称轴: ; 对称中心: 对称中心:
周期
单调性 单调递增区 ; 单调递减区 单调递增区间 ; 单调递减区间 单调递增区间
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
三角函数最小正周期的求解方法
函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，
函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝；
例11已知的部分图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】由图象可得，所以，解得，
所以，因为，所以，
所以，则.
【对点训练】
一、单选题
1．已知函数()的最小正周期为，则实数
A．2 B．
C． D．
2．设函数是以为最小正周期的周期函数，且当，时，；当，时，，则
A． B．
C． D．
3．已知函数为其图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是
A． B．
C． D．
4．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为
A． B．
C． D．
5．已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
6．已知函数，有以下四个结论：①的值域是[0，1]；②是以π为最小正周期的周期函数；③在（π，）上单调递增；④在[0，2π]上有2个零点．其中所有正确结论的序号是
A．①② B．①④
C．②③④ D．①③④
7．若函数在区间上有最大值，则的取值范围为
A． B．
C． D．
8．筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：米），筒车经过第一次到达最高点，则下列叙述正确的是
A．当时，点与点重合
B．当时，一直在增大
C．当时，盛水筒有次经过水平面
D．当时，点在最低点
9．已知函数，的一个零点是，图象的一条对称轴是直线，下列四个结论：
①；
②；
③；
④直线是图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
10．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若对于任意的，，则的值可以为
A． B．
C． D．
11．函数在区间上的最小值是
A． B．
C． D．
12．已知函数图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为，下面给出了四个命题：
①函数的极大值为+1；
②[，]为函数的一个单调递减区间；
③函数的图象关于点（﹣，0）对称；
④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称．
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
13．已知定义在上的函数满足，且当时，，则当函数在有零点时，关于其零点之和有以下阐述：①零点之和为；②零点之和为；③零点之和为；④零点之和为．其中结果有可能成立的是
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
14．满足黄金分割比的身材是完美的是黄金分割比的近似值黄金分割比还可以表示为，则
A． B．
C． D．
15．已知满足，则
A． B．
C． D．
16．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是
A．α<<β B．β<<α
C． <α<β D． <β<α
17．已知，为锐角，，则的值为
A． B．
C． D．
18．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），每块木板依次比上一块木板长2厘米，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则约为
A． B．
C． D．
19．已知，
且，若，则
A． B．
C． D．3
20．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0．618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于
A． B．1
C．2 D．
21．若角，均为锐角，，，则
A． B．
C．或 D．
22．若，，则
A． B．
C． D．
23．已知，则
A． B．
C． D．
24．在中，已知，其中（其中），若为定值，则实数的值是
A． B．
C． D．
25．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
26、已知函数函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，．则函数在区间上零点的个数为（ ）
A． B． C． D．
27．若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
28．已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为
A． B． C． D．
29．已知函数.若函数 在区间内没有零点 ， 则的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多选题
30．要得到函数的图象，只要将函数的图象
A．每一点的横坐标扩大到原来的倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
B．每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
D．向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
31．要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin的图象C2怎样变化得到
A．沿x轴方向向左平移个单位长度
B．沿x轴方向向右平移个单位长度
C．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度
D．先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度
32．已知函数，若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位可得函数的图象
D．函数在区间上的值域为
33．若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是
A． B．
C． D．
34．已知函数f(x)＝是奇函数，则有
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
35．已知，且是方程的两个实根，则下列结论正确的是
A． B．
C． D．
36．（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．的单调递减区间为
C．的对称轴为
D．的图象可由的图象向左平移个单位得到
三、填空题
37．已知，，则的值为___________．
38．若cos αcos β＋sin αsin β＝0，则α－β的值为___________．
39．方程在区间上的所有根之和为__________．
40．已知函数，，给出下列四个结论：
①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数的图象关于直线对称；④若对任意，都有成立，则的最小值为．其中正确结论的序号是__________．
41．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名．一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积为__________．
42．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是___________．
43．已知函数，，给出下列结论：
①函数的值域为
②函数在上是增函数；
③对任意，方程在内恒有解；
④若存在，，使得成立，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是__________．
44．已知函数，则下列说法正确有__________．（将所有正确的序号填在横线上）
①的图象关于点中心对称　　　
②在区间上单调递减
③在上有且仅有个最小值点 　　　
④的值域为
45．喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为的速度喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为，能够达到的最高高度为（如图所示，其中为重力加速度）．若，则H与D的比值为__________．
46．已知均为锐角，且，若，则___________．
47．共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士．2020年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形OAB与三角形OAC的面积之和．设阴影部分的面积为，当取得最大值时___________．
48．（2021·山东青岛·高三开学考试）设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
【参考答案】
1、【答案】C
【解析】因为
所以的最小正周期，解得，故选C．
2、【答案】A
【解析】，且当，时，，
．故选A．
3、【答案】D
【解析】因为为图象的对称中心，所以，
因为，是该图象上相邻的最高点和最低点，，
所以，
因此。因为，
所以，有
化简得，．故选D．
4、【答案】A
【解析】函数，
将函数的图象沿轴向左平移个单位后，
得到函数，函数关于轴对称，
，，
当时，．故选A
5、【答案】A
【解析】
，
因为，故，故，
故，
因为在上恒成立，故即，故选A．
6、【答案】B
【解析】，
作出函数的大致图象，如图所示，
可得函数的值域是，故①正确；
由，所以，
所以不是函数的最小正周期，所以②不正确；
由图象可知在上单调递增，在上单调递减，故③不正确；
在上，由图象可得，
故在上有2个零点，故④正确；
综上，所有正确的序号是①④，故选 B．
7、【答案】A
【解析】在上，有，区间内有最大值，
所以，即．故选A．
8、【答案】C
【解析】设，依题意．
又，所以．又，圆的半径为，
所以点满足，当时，，解得，
所以，故．该函数最小正周期为，
所以当时，点与点重合，选项A错误；
令，解得，
当时，，因为，所以选项B错误；
令，即，
所以或，
解得或．
又，所以可以取的值为，，，，，
此时盛水筒有次经过水平面，选项C正确；
当时，，所以选项D错误，故选C．
9、【答案】B
【解析】函数，
图象的一条对称轴是直线，所以，
由的一个零点是，所以，
整理得，所以，
故故②错误；
当时，，把代入关系式，得到，
由于，所以，故①正确；
对于，故④错误，
，故③正确；故选B．
10、【答案】C
【解析】因为，所以，所以且，所以，
因为，所以，所以，
所以，且，所以，所以，所以，
所以，
因为对于任意的，，所以，
所以，所以，所以，
所以或，所以可取，故选C．
11、【答案】B
【解析】，
因为时，，
所以，当时，函数取得最小值，
即．故选B．
12、【答案】B
【解析】由函数，其最小正周期，
由已知得，解得，
所以，所以函数的极大值为2，故①为假命题；
由，解得，
所以该函数的单调递减区间为，
令时，所得区间为，故②为真命题；
令，解得，
所以函数图象的对称中心为，
当时，对称中心为，故③为真命题；
将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为，
显然该函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，故④为假命题．
综上真命题只有②③．故选B．
13、【答案】D
【解析】由题意，函数满足，所以函数关于对称，
因为当时，，所以作出函数的图象如图所示，在有零点，
即函数与函数有交点，结合图象可知，
当或时，有两个零点，零点之和为；
当时，有三个零点，零点之和为；当时，有四个零点，零点和为，
所以可能成立的有②③④．故选D
14、【答案】B
【解析】由黄金分割比的近似值黄金分割比可以表示为，
即，又由．故选B．
15、【答案】D
【解析】由可得，
即，所以，可得，
所以，故选D．
16、【答案】B
【解析】因为α为锐角，sin α－cos α＝，所以α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan(α＋β)＝，所以α＋β＝，又α>，所以β<<α．故选B
17、【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，为锐角，，所以，
因为，
所以
．故选A．
18、【答案】D
【解析】由题意，
则．故选D．
19、【答案】A
【解析】，，，且，设，
则，故函数在，上单调递增，且是的一个零点．
，即．
根据，，故也是的一个零点，，
，
，或（舍去），故选 A
20、【答案】B
【解析】本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．由题意得，故选B．
21、【答案】A
【解析】，均为锐角，，，
，，
．故选A．
22、【答案】B
【解析】因为，，
所以，，
所以，故选B
23、【答案】D
【解析】
，
，
由可得
，
因此，．故选D．
24、【答案】A
【解析】由，可得，，
因为，
得，
即，
又由
（定值），即，
即恒成立，
可得，解得，．故选A．
25、【答案】D
【详解】
由题意，，即为奇函数，同时也为增函数，
∵，即，
∴，则，又，
当时，不等式恒成立；当时，恒成立，即.
综上，m的取值范围是.
故选：D
26、【答案】A
【详解】
当时，，故，
同理可得当时，，
此时，
故在无零点，
同理在也无零点.
因为，故将上的图象向右平移个单位后，图象伸长为原来的两倍，
在平面直角坐标系，、在上的图象如图所示：
因为，
故、在上的图象共有5个不同交点，
下证：当，有且只有一个零点.
此时，而，
故在上为减函数，
故当，有，当且仅当时等号成立.
故、在上的图象共有6个不同交点，
即在有6个不同的零点，
故选：A.
27、【答案】D
【详解】
当时，，
又，，
函数()在区间上单调递减，
，即，解得；
令，则，即，
由，可得当且仅当时，，
又函数()在区间上存在零点，
，解得；
综上，的取值范围是.
故选：D.
28、【答案】A
【详解】
由题，=，为辅助角，
因为对称轴为，所以
即 解得
所以
又因为在上具有单调性，且，
所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称，
即
所以
当时，取最小为
故选A
29、【答案】D
【详解】
，
, 函数 在区间内没有零点
(1) ，则 ，则 ，取 ， ；
（2），则 ，解得： ，取 ， ；
综上可知： 的取值范围是，选.
30、【答案】BC
【解析】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，所以A选项错误，B选项正确．
（2）先平移后伸缩时：向左平移个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，所以C选项正确，D选项错误．故选BC．
31、【答案】ABC
【解析】A，将的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度，可得的图象C1，正确；
B，将的图象C2沿x轴方向向右平移个单位长度，可得，正确；
C，先作C2关于x轴对称，得到的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度，得到的图象C1，正确；
D，先作C2关于x轴对称，得到的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度，得到的图象，不正确．故选ABC．
32、【答案】BC
【解析】结合函数的图象易知，函数的最大值，最小值为，
则，，
代入点，则，，
因为，所以，，
，即，函数关于对称，A错误；
，即，函数关于点对称，B正确；
函数的图象向左平移个单位，
得出，C正确；
当时，，，，D错误．故选BC．
33、【答案】CD
【解析】因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0，
则或，故选CD．
34、【答案】BCD
【解析】因为
则函数的图象没有对称轴，故A不正确
函数的图象关于点对称，故B正确．
函数是周期为的奇函数，故 C ，D正确故选BCD．
35、【答案】BCD
【解析】由，是方程的两不等实根，
所以，，
，
由，，均为正数，
则，
当且仅当取等号，等号不成立
，
当且仅当取等号，故选BCD
36、【答案】ABD
【详解】
由在区间上具有单调性知，的周期T满足，所以，又因为，所以，在同一个周期内且，故的一条对称轴为，又由知的一个对称中心为，且所求得的对称轴与对称中心是相邻的，所以，得，即，A正确．
又因为的一个对称中心为，所以，，由知，，故.
，解得，，B正确；
，，，C错误；
的图象向左平移个单位得，D正确．
故选：ABD．
37、【答案】3
【解析】由题可得
所以，
故答案为3
38、【答案】
【解析】由cos αcos β＋sin αsin β＝0，得，
所以，
故答案为
39、【答案】
【解析】方程，即，
，即，
即，或，
即，或，或．
在区间，上，由，可得，或．
利用正弦函数的图象的对称性，
由，可得它的两个根之和为；
由，可得它的两个根之和为．
故在区间，上的所有根之和为，
故答案为．
40、【答案】①③④
【解析】．①的值域是，结论正确；
②为偶函数，
结论错误；
③当时，，取最大值，结论正确；
④因为，分别为的最小值点和最大值点，则，结论正确．
所以正确结论的序号是①③④．
故答案为①③④
41、【答案】
【解析】设等边三角形的边长为，则，解得，
所以，由弧与所围成的弓形的面积为
，
所以该勒洛三角形的面积．
故答案为．
42、【答案】
【解析】
，
所以，
， 即，
即在区间上恒成立，
，解得，故答案为.
43、【答案】①②④
【解析】对于①，当时，为增函数，
所以，即；
当时，为减函数，
所以，即，
所以的值域为，故①正确；
对于②，当时，，
所以为增函数，又，
所以在上为增函数，故②正确；
对于③，由①知，的值域为，
由②知，在上为增函数，所以，
所以，即在内的值域为，
当或，即或时，在内无解，
故③不正确；
对于④，若存在，，使得成立，
则，
由③知，当或时，，
所以当时，，
所以实数的取值范围是，故④正确．
故答案为①②④
44、【答案】②③
【解析】对于①，因为，，所以，
所以的图象不关于点中心对称，故①错误；
对于②，当时，，
，所以函数在区间上单调递减，故②正确；
对于③④，
，所以为函数的周期．
当时，，，
所以在区间上单调递增，，；
由②可知，函数在区间上单调递减，当时，，．
所以，函数在上有且只有个最小值点，且函数的值域为，
故③正确，④错误．
45、【答案】
【解析】．
故答案为．
46、【答案】5
【解析】由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以．
故答案为．
47、【答案】
【解析】过点O作于点D，则点D为BC的中点，
又，A，O，D三点共线，
设，，
则，，
从而，
令，，
由，解得或（舍去），
记
在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，
此时．
48、【答案】
【详解】
因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有个交点，
其中个点关于对称，还有一个点横坐标为，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为，

展开更多......

收起↑