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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题20 平面向量的概念及线性运算
1．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
2．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
【答案】B
【解析】解：由题意得， ，
故选：B
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【常用结论】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
考点一　向量的基本概念
【方法总结】平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
1．(多选)给出下列命题，不正确的有(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案】ACD
【解析】A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
考点二　平面向量的线性运算
【方法总结】平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
2．已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
【答案】2 023　0
【解析】当单位向量e1，e2，…，e2 023方向相同时，
|e1＋e2＋…＋e2 023|取得最大值，
|e1＋e2＋…＋e2 023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2 023|＝2 023；
当单位向量e1，e2，…，e2 023首尾相连时，
e1＋e2＋…＋e2 023＝0，
所以|e1＋e2＋…＋e2 023|的最小值为0.
3．(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－－
【答案】ABD
【解析】因为＝＋＋＝－＋＋＝－＋，
所以选项A正确；
因为＝＝(＋)
＝，
而＝－＋，
代入可得＝＋，
所以选项B正确；
因为＝－，
而＝＋，
代入得＝－＋，
所以选项C不正确；
因为＝＋＋
＝－－＋，
而＝＋，
代入得＝－－，
所以选项D正确．
4．已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y等于(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】C
【解析】如图所示，
易知BC＝4AD，
CE＝2AD，
＝－
＝－
＝(＋)－
＝(＋6)－
＝－＋2，
∴x＋y＝.
考点三　共线定理及其应用
【方法总结】利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
5．设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【答案】(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，
＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
一、单选题
1．（2022·河南模拟）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则
所以，，即
整理得：
又∵向量，不共线，则，则
故答案为：A．
2．（2022·吉林模拟）如图，中，，，点E是的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
故答案为：B.
3．（2022·德州模拟）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】如图
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故答案为：B.
4．（2022·开封模拟）在 中，D为AC的中点， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
.
故答案为：D
5．（2022高三下·河南）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（　　）
A． B． C． D．-4
【答案】B
【解析】与平行，，向量不共线，
∴存在实数k，使得，
，解得，
故答案为：B．
6．（2022·保定模拟）已知向量，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：由题意可得，所以.
故答案为：C
7．（2022·广东模拟）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
根据题意可得，所以，
所以，所以.
故答案为：A.
8．（2022·浙江模拟）下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则存在实数，使得
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【解析】对于A，若，则，不能得到，
若，，也不能得到，A不符合题意；
对于B，若，，则，则不存在实数，使得，B不符合题意；
对于C，，
，，即，C符合题意.
对于D，若，则，此时，D不符合题意.
故答案为：C．
9．（2022·温州模拟）已知平面向量满足，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由，可设，
因为，
其次，
所以
而，
所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
10．（2022·顺义模拟）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图以向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设的终点为A，的终点为B，根据向量的几何意义可知的最小值，表达是A点到向量的距离，即图中虚线段的长度，
故可设向量所在的直线方程为，即，点，故
故答案为：C
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）已知向量，且，则　 　.
【答案】
【解析】由有，解得，故
故答案为：
12．（2022·徐州模拟）已知向量 ，与 共线且方向相反的单位向量 　 　.
【答案】
【解析】 ， ，所以与 共线且方向相反的单位向量是：
.
故答案为： .
13．（2022·贵州模拟）在平行四边形中，．若，则　 　．
【答案】
【解析】
由，得，
所以，
即，，
所以，
故答案为：.
14．（2022·雅安模拟）已知向量，，满足，则t＝　 　．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，
得.
故答案为：
15．（2022·陕西模拟）在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数　 　．
【答案】
【解析】设，
，
依题意，
所以.
故答案为：
三、解答题
16．（2022·大连模拟）已知向量, .
（1）求；
（2）当时，求y的值.
【答案】（1）
（2）若，则，解得：
【解析】(1)由向量的模坐标公式，代入数值计算出结果即可。
(2)利用数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
17．（2020高三上·北京月考）在 中， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 是 的中点，求 的长.
【答案】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵由正弦定理 ，
可得 ，
又 ，可得 为锐角，
∴ .
（2）解：∵在 中，由余弦定理 ，
可得 ，可得： ，
∴解得 或 (舍去)，
∵ 是 的中点，
∴ ，两边平方可得： ，
∴ ，即 的长为 .
【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得 ，再利用正弦定理即可求解.（2）利用余弦定理可得 ，由 ，再利用向量模的求解即可求解.
18．（2022·德阳三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求ABC面积的最大值.
【答案】（1）解：，
由平面向量数量积定义可得，
，
，
，，
，
（2）解：
由余弦定理得，
∴，
当且仅当时取“等号”，∴的最大值为4，
的最大值为
【解析】（1）由 由平面向量数量积定义 结合正弦定理可得，再由，即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合基本不等式可求ac最大值，即可解决问题。
19．（2019高三上·南京月考）已知向量 ， ，且 .求：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：因为 ，所以
，又
所以 ，
（2）解：由（1） ，若 ，则 ，与 矛盾
所以
【解析】（1）根据垂直关系和平方关系求出 ， ，根据公式即可求得模长；（2）结合（1）的垂直关系得 ，展开 构造齐次式求解.
20．（2019高三上·杭州期中）已知平面向量 ， ，且 .
（Ⅰ）若 ，平面向量 满足 ，求 的最大值；
（Ⅱ）若平面向量 满足 ， ， ，求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）设 ， ， ，
则
的最大值等价于 到 的距离加半径
所以
（Ⅱ）设 ， ， ,
依题意得 ,
,
∴
【解析】（Ⅰ）根据题意用坐标表示向量 ， ， ，利用向量的加法运算、平面向量的模长公式以及 ，化简得到 ，利用 的最大值等价于 到 的距离加半径，求出 的最大值；（Ⅱ）根据题意用坐标表示向量 ， ， ，由题设条件以及平面向量的模长公式得到 ，化简得到 ，利用模长公式得到 ，根据 的范围得到 的取值范围.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题20 平面向量的概念及线性运算
1．（2022·全国乙卷）已知向量，则 （　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
【常用结论】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
考点一　向量的基本概念
【方法总结】平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与a同方向的单位向量．
1．(多选)给出下列命题，不正确的有(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
考点二　平面向量的线性运算
【方法总结】平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
2．已知单位向量e1，e2，…，e2 023，则|e1＋e2＋…＋e2 023|的最大值是________，最小值是________．
3．(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E是BC边上一点，且＝3，F是AE的中点，则下列关系式正确的是(　　)
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－＋
D.＝－－
4．已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x＋y，则x＋y等于(　　)
A. B．－
C. D．－
考点三　共线定理及其应用
【方法总结】利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
5．设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
一、单选题
1．（2022·河南模拟）已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林模拟）如图，中，，，点E是的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022·德州模拟）已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（2022·开封模拟）在 中，D为AC的中点， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2022高三下·河南）已知向量，不共线，且向量与平行，则实数（　　）
A． B． C． D．-4
6．（2022·保定模拟）已知向量，，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2022·广东模拟）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江模拟）下列关于平面向量的说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则存在实数，使得
C．若，则
D．若，则
9．（2022·温州模拟）已知平面向量满足，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·顺义模拟）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）已知向量，且，则　 　.
12．（2022·徐州模拟）已知向量 ，与 共线且方向相反的单位向量 　 　.
13．（2022·贵州模拟）在平行四边形中，．若，则　 　．
14．（2022·雅安模拟）已知向量，，满足，则t＝　 　．
15．（2022·陕西模拟）在平行四边形中，为的中点，点为线段上的一点，且，则实数　 　．
三、解答题
16．（2022·大连模拟）已知向量, .
（1）求；
（2）当时，求y的值.
17．（2020高三上·北京月考）在 中， ， ， .
（1）求 的大小；
（2）若 是 的中点，求 的长.
18．（2022·德阳三模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求ABC面积的最大值.
19．（2019高三上·南京月考）已知向量 ， ，且 .求：
（1） ；
（2） .
20．（2019高三上·杭州期中）已知平面向量 ， ，且 .
（Ⅰ）若 ，平面向量 满足 ，求 的最大值；
（Ⅱ）若平面向量 满足 ， ， ，求 的取值范围.

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