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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题21 平面向量基本定理及坐标表示
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
2．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (　　)
A． B．
C． D．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
【常用结论】
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
考点一　平面向量基本定理的应用
【方法总结】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
考点二　平面向量的坐标运算
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________，＝________.
考点三　向量共线的坐标表示
【方法总结】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
3．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且||＝||，P是OB的中点，则点B的坐标为________________________．
一、单选题
1．（2022·湖南模拟）已知向量，则（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2．（2022·大庆三模）设向量，．若与共线，则实数的值为（　　）
A． B． C．10 D．-11
3．（2022·深圳模拟）已知点，向量，则向量（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·河南模拟）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·朝阳期末）在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·河南模拟）如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（　　）
A．1 B． C． D．2
7．（2022·郑州模拟）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·海淀模拟）已知向量，.若，则可能是（　　）
A． B． C． D．
9．（2022·滨州二模）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·清远期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（　　）
A．16 B．12 C．5 D．4
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）已知平面向量，若，则实数　 　．
12．（2022·眉山模拟）已知向量，，，则k=　 　.
13．（2022·莆田三模）已知向量，若，则　 　．
14．（2022·马鞍山模拟）已知，，若，，则点C的坐标　 　．
15．（2022·海宁模拟）平面向量满足，则的最小值为　 　．
三、解答题
16．（2020高三上·咸阳月考）已知 ，
（1）当 为何值时， 与 共线；
（2）若 ， 且 、 、 三点共线，求 的值
17．（2020高三上·咸阳月考）已知向量 ， ， .
（1）若点 ， ， 能够成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值.
18．（2021高三上·安徽月考）若平面向量 满足 ， .
（1）若 .求 与 的夹角；
（2）若 ，求 的坐标.
19．（2020高三上·邹城期中）已知向量 ， ， .
（1）若 ，求实数k的值；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
20．（2019高三上·长治月考）已知平面向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 与 夹角的余弦值.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题21 平面向量基本定理及坐标表示
1．（2022·新高考Ⅱ卷）已知 ，若 ，则 （　　）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：由已知条件可得 ， ，即 ，解得 ，
故答案为：C
2．（2018·全国Ⅰ卷理）在 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解： = ，
故答案为：A。
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
【常用结论】
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
考点一　平面向量基本定理的应用
【方法总结】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
1．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______.
【答案】6
【解析】方法一　如图，作平行四边形OB1CA1，
则＝＋，
因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，
所以∠B1OC＝90°.
在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，
所以||＝2，||＝4，
所以||＝||＝4，
所以＝4＋2，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二　以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
所以λ＋μ＝6.
考点二　平面向量的坐标运算
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________，＝________.
【答案】(－3,2)　(－6,21)
【解析】＝－＝(1,5)－(4,3)
＝(－3,2)，
＝＋＝＋2＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，
＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)．
考点三　向量共线的坐标表示
【方法总结】平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
3．已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且||＝||，P是OB的中点，则点B的坐标为________________________．
【答案】(4,2)或(－12，－6)
【解析】∵点P在直线OA上，
∴∥，
又∵||＝||，
∴＝±，
设点P(m，n)，
则＝(m，n)，＝(6－m,3－n)．
①若＝，
则(m，n)＝(6－m,3－n)，
∴
解得
∴P(2,1)，
∵P是OB的中点，∴B(4,2)．
②若＝－，
则(m，n)＝－(6－m,3－n)，
∴
解得
∴P(－6，－3)，
∵P是OB的中点，
∴B(－12，－6)．
综上所述，点B的坐标为(4,2)或(－12，－6)．
一、单选题
1．（2022·湖南模拟）已知向量，则（　　）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【解析】由题意，向量，可得，
所以.
故答案为：A.
2．（2022·大庆三模）设向量，．若与共线，则实数的值为（　　）
A． B． C．10 D．-11
【答案】A
【解析】因为向量，，所以；
若与共线，则，解得。
故答案为：A.
3．（2022·深圳模拟）已知点，向量，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，所以 ，整理得：，所以
。
故答案为：D.
4．（2022·河南模拟）已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以，解得．
故答案为：D
5．（2022高三上·朝阳期末）在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点，将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，且，则,
所以，解得，
则，
故答案为：B.
6．（2022·河南模拟）如图，在中，M为BC的中点，，则m＋n＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】，而，
故，
而且不共线，故，
故答案为：C.
7．（2022·郑州模拟）在中，是上一点，，是线段上一点，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，所以，，
，
因为是线段上一点，设，其中，
所以，，解得。
故答案为：D.
8．（2022·海淀模拟）已知向量，.若，则可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，，∴，
∴，又∵，
∴或，
对A，若，，
解得，此时不成立；
对B，若，，
解得，此时不成立；
对C，若，，
解得，此时成立；
对D，若，，且
，此时不成立.
故答案为：C
9．（2022·滨州二模）在 中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 （ ， ），则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意，设 ， ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，从而有 ；
当 时，因为 （ ， ），
所以 ，即 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，即 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：C.
10．（2022高三上·清远期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（　　）
A．16 B．12 C．5 D．4
【答案】C
【解析】如图，延长到D，使得，
因为，所以点P在直线上，
取线段的中点O，连接，
则，
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为。
故答案为：C.
二、填空题
11．（2022·安徽模拟）已知平面向量，若，则实数　 　．
【答案】
【解析】解：因为平面向量，
所以，
因为 ，
所以，
解得．
故答案为：
12．（2022·眉山模拟）已知向量，，，则k=　 　.
【答案】4
【解析】因为，
所以，
所以，
所以
故答案为：4.
13．（2022·莆田三模）已知向量，若，则　 　．
【答案】-2或
【解析】，
，
，
，解得或.
故答案为：-2或.
14．（2022·马鞍山模拟）已知，，若，，则点C的坐标　 　．
【答案】（-2，6）
【解析】设点的坐标为，则
，
因为，，
所以
因为，，
所以，，
所以，
所以点C的坐标为（-2，6），
故答案为：（-2，6）.
15．（2022·海宁模拟）平面向量满足，则的最小值为　 　．
【答案】
【解析】解析：几何意义+等和线
由题记，
则由，
得，且．
作图，如图所示：
为正三角形，，
由，得C在直线上，
又∵，∴，即点D在以点E为圆心，为半径的圆上，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16．（2020高三上·咸阳月考）已知 ，
（1）当 为何值时， 与 共线；
（2）若 ， 且 、 、 三点共线，求 的值
【答案】（1）解： ， ，
， ，
又 与 共线，
，即 ；
（2）解： ， ，
、 、 三点共线，
，即 ．
【解析】（1）利用已知条件结合共线向量的判断方法，再利用向量共线的坐标表示，从而求出 与 共线时对应的k的值。
（2）利用三角形法则结合已知条件合向量的坐标运算，从而求出 和 ， 再利用三点共线与两向量共线的等价关系，从而利用共线向量的坐标表示，进而求出m的值。
17．（2020高三上·咸阳月考）已知向量 ， ， .
（1）若点 ， ， 能够成三角形，求实数 应满足的条件；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求实数 的值.
【答案】（1）解：已知向量 ， ， ，
若点 ， ， 能构成三角形，则这三点不共线，即 与 不共线.
， ，
故知 ，
∴实数 时，满足条件.
（2）解：若 为直角三角形，且 为直角，则 ，
∴ ，
解得 .
【解析】（1） 已知向量 ， ， ，
若点 ， ， 能构成三角形，则这三点不共线，即 与 不共线，再利用向量共线的判断方法结合向量共线的坐标表示，从而求出实数 时，满足条件。
（2） 若 为直角三角形，且 为直角，则 ， 再利用向量垂直数量积为0，从而结合数量积的坐标表示，从而求出m的值。
18．（2021高三上·安徽月考）若平面向量 满足 ， .
（1）若 .求 与 的夹角；
（2）若 ，求 的坐标.
【答案】（1）解：由 可知 ，
由 可得 ，即 ，解得 .
设 与 的夹角为 ，则 ，
又 ，
（2）解：设 ，则 ， ，
，所以 ，
解得 .
又 ， .②
由① ②，解得 或 ，
所以 的坐标为 或
【解析】（1）利用向量数量积的运算即可求出 与 的夹角；
（2）利用向量平行的坐标运算即可求出 的坐标.
19．（2020高三上·邹城期中）已知向量 ， ， .
（1）若 ，求实数k的值；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
【答案】（1）解：∵向量 ， ，
若 ，则 ，求得 .
（2）解：若 ， ， ，则 ，
即 ，即 ，
∴
，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为3.
【解析】 (1)由题意利用两个向量平行的性质,求得k的值；
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式,求得要求式子的最小值.
20．（2019高三上·长治月考）已知平面向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）解：由 可得 ，解得
（2）解：由 得 ，即 ，
解得 ，则 ,
则 , ,
所以 , ,
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
所以 ，
所以所求夹角的余弦值为 .
【解析】（1）由两向量共线的坐标表示 ,列出关于 的方程求解即可;（2）由两向量垂直的坐标表示 求出 的值,利用向量坐标的线性运算及向量模的坐标表示及向量数量积的坐标表示,代入夹角公式求解即可.

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