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<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题23 复数
1．（2022·新高考Ⅱ卷） （　　）
A． B． C． D．
2．（2022·全国甲卷）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一　复数的概念
【方法总结】解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
1．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
考点二　复数的四则运算
【方法总结】(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
题型三　复数的几何意义
3．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【拓展视野】复数的三角形式
在如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
4．×3等于(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
5．(多选)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
一、单选题
1．（2022·广东模拟）设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·马鞍山模拟）已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2022·河南模拟）复数的虚部为（　　）．
A． B． C． D．
4．（2022·郑州模拟）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·河南模拟）复数，则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·江西模拟）已知 是虚数单位，若 ，则 等于（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2022·开封模拟）已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （　　）
A．2 B． C． D．
8．（2022·南通模拟）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（　　）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
9．（2022·金华模拟）已知复数 ，其中 是虚数单位， ，下列选项中正确的是（　　）
A．若 是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当 时，
10．（2022·晋城二模）欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）已知复数，若复数z为实数，则　 　，此时　 　．
12．（2022·天津市模拟）i是虚数单位，则的值为　 　.
13．（2022·温州模拟）已知，复数（i是虚数单位），若，则　 　，　 　.
14．（2022·湖北模拟）定义 ， ， .若 ， ，则 　 　.
15．（2022·苏州模拟）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则　 　；对于，　 　．
16．（2022高三上·长宁模拟）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷，其中恒成立的是　 　（写出所有恒成立式子的序号）
三、解答题
17．（2022高三上·贵州月考）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
18．（2020高三上·上海月考）已知复数
（1）若 ，求角 ；
（2）复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围.<备战2023年高考数学一轮复习讲义>
专题23 复数
1．（2022·新高考Ⅱ卷） （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
故答案为：D
2．（2022·全国甲卷）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得， ，
则
则 .
故选：C
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
【常用结论】
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
5．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
考点一　复数的概念
【方法总结】解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
1．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
【答案】B
【解析】由＝1－yi，得＝1－yi，
即－i＝1－yi，
∴
解得x＝2，y＝1，
∴x＋yi＝2＋i，
∴其共轭复数为2－i.
考点二　复数的四则运算
【方法总结】(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【答案】BC
【解析】由|i|＝|1|，知A错误；
z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，
令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误．
题型三　复数的几何意义
3．如图，若向量对应的复数为z，则z＋表示的复数为(　　)
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
【答案】D
【解析】由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i.
【拓展视野】复数的三角形式
在如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
4．×3等于(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
【答案】C
【解析】×3
＝3
＝3
＝－＋i.
5．(多选)把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知z2＝－1－i，则复数z1的代数式和它的辐角分别是(　　)
A．－－i， B．－＋i，
C．－－i， D．－＋i，
【答案】BD
【解析】由题意可知z1
＝z2，
则z1＝
＝，
∴z1＝＝＝
＝－＋i＝2，
可知z1对应的坐标为，则它的辐角主值为，
故可以作为复数－＋i的辐角的是＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，＋2π＝.
一、单选题
1．（2022·广东模拟）设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
则，所以C不符合题意
，
当时，，，A不符合题意，D不符合题意，
，B对，
故答案为：B.
2．（2022·马鞍山模拟）已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由已知可得，
因此，复数在复平面内所对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
3．（2022·河南模拟）复数的虚部为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
其虚部为。
故答案为：C.
4．（2022·郑州模拟）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，对应的点时，故在第四象限.
故答案为：D
5．（2022·河南模拟）复数，则复数的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
复数的虚部为，
故答案为：D.
6．（2022·江西模拟）已知 是虚数单位，若 ，则 等于（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故答案为：D
7．（2022·开封模拟）已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
，
∴ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：D.
8．（2022·南通模拟）在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（　　）
A．－1＋2i B．－1＋3i C．3i D．
【答案】B
【解析】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），
由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），
所以
则，解得，
∴.
故答案为：B．
9．（2022·金华模拟）已知复数 ，其中 是虚数单位， ，下列选项中正确的是（　　）
A．若 是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当 时，
【答案】D
【解析】解： ，
对于A：当 是纯虚数时，则 且 ，解得 ，此时这个纯虚数为 ，A不正确；
对于B：当 为实数时，则 ，解得 ，B不正确；
对于C：当 在复平面内对应的点在第一象限，则 ，解得 ，C不正确；
对于D：当 时， ，所以 ，D符合题意，
故答案为：D.
10．（2022·晋城二模）欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由题意得，
所以复数z对应的点位于第四象限，
故答案为：D
二、填空题
11．（2022·浙江模拟）已知复数，若复数z为实数，则　 　，此时　 　．
【答案】-2；1
【解析】由题意得，
若复数z为实数，则，所以；
故答案为：-2；1．
12．（2022·天津市模拟）i是虚数单位，则的值为　 　.
【答案】
【解析】
所以
故答案为：
13．（2022·温州模拟）已知，复数（i是虚数单位），若，则　 　，　 　.
【答案】-1；
【解析】，
因为，故，得，
故.
故答案为：-1；.
14．（2022·湖北模拟）定义 ， ， .若 ， ，则 　 　.
【答案】35
【解析】解：因为 ， ，所以 ， ，则
， ， ，所以
，所以 ，所以 ；
故答案为：35
15．（2022·苏州模拟）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则　 　；对于，　 　．
【答案】-i；
【解析】当，时，，所以；
，令，则，
，
，
而，则，，
所以.
故答案为：-i；
16．（2022高三上·长宁模拟）在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷，其中恒成立的是　 　（写出所有恒成立式子的序号）
【答案】（2）（3）
【解析】，所以（1）错误.
，，所以（4）错误.
设，
.
，所以（2）正确.
，所以（3）正确.
故答案为：（2）（3）
三、解答题
17．（2022高三上·贵州月考）已知复数，是实数.
（1）求复数z；
（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】（1）因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
（2）因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
【解析】（1）利用复数代数形式的混合运算即可求出复数z；
（2）由已知可得 ， 求解不等式组即可求出实数m的取值范围.
18．（2020高三上·上海月考）已知复数
（1）若 ，求角 ；
（2）复数 对应的向量分别是 ，其中 为坐标原点，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由 ，
可得
，
由 ，可得： ，
所以 ，所以 或 ；
（2）解：由题意可得 ，
由 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【解析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，进而求出复数，再利用复数为实数的判断方法结合 ， 从而结合二倍角的正弦公式求出角的值。
（2）利用复数的几何意义求出复数 分别对应的向量 的坐标，再利用复数的乘法运算法则结合辅助角公式，将 转化为正弦型函数，再利用 ， 结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围。

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