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常用逻辑用语
【知识点讲解】
一、充分条件与必要条件
1、若 且 ，则 是 的充分不必要条件。
2、若 且 ，则 是 的必要不充分条件。
3、若 且 ，则 是 的充要条件。
4、若 且 ，则 是 的既不充分又不必要条件。
当有两个集合时，只有范围小的可以推出范围大的，但是范围大的却不能推出范围小的。
例如：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若B A，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
例1．是的
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由不等式，即，
解得或，即不等式的解集为或，
所以是的充分不必要条件．故选C．
二、全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示。
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示。
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
， ，否定： ，
存在量词命题的否定
，，否定: ，
例2．已知命题，，则为．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对命题否定时，全称量词改成存在量词，即，；故选B．
四、含有逻辑联结词的命题的真假判断：
（1）中一假则假，全真才真．
（2）中一真则真，全假才假．
（3）p与真假性相反．
例3．已知命题：若，则；命题：函数有两个零点，则下列说法正确的是
①为真命题；②为真命题；
③为真命题；④为真命题
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
【答案】C
【解析】对于：记，因为，所以在上单增，所以当时，有，即，故是真命题；
对于命题：因为，，所以函数在上有一个零点，因为，所以函数至少有三个零点，故为假，所以为假命题．
所以①为假命题；②为真命题；③为真命题；④为假命题
故②③为真．故选C．
【对点训练】
一、单选题
1．已知，则（ ）
A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的必要不充分条件
2．设命题，则为
A． B．
C． D．
3．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．下列命题中真命题的个数有（ ）
①；②；③若命题是真命题，则是真命题；④是奇函数.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
10．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知命题，命题，，则成立是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
17．设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
18．设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．对于实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
22．命题“，”的否定是
A．， B．，
C．， D．，
23．“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．设集合则
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1）
D．当且仅当 时,（2,1）
25．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
26．命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（　　）
A． B． C． D．
27．对于实数a，b，则“a＜b＜0”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
28．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：
A． B． C． D．
29．设，都是不等于的正数，则“”是“”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
30．设集合.，那么“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
31．设，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．设，，则是成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．已知命题 R，，则
A．R, B．R,
C．R, D．R,
34．设，是非零向量，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
35．设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
36．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．若为真命题，则均为真命题.
C．命题“存在，使得” 的否定是：“对任意，均有”．
D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
二、多选题
37．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
三、填空题
38．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
39．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
40．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________.
【参考答案】
1．D
【详解】
或
所以是的既不充分也不必要条件
是的必要不充分条件
2．C
【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
3．A
【详解】
由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
4．B
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
5．C
【详解】
对于①，恒成立，所以①正确
对于②，当时，，所以成立，所以②正确
对于③，若命题是真命题，则至少有一个为真命题，所以真假不能判断，所以③错误
对于④，令，则，
所以是奇函数，所以④正确
故选：C.
6．A
【详解】
当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
7．B
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
8．C
【详解】
时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
9．A
【详解】
如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
10．C
【详解】
∵A B C三点不共线,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2 >0与
的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.
11．B
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
12．C
【详解】
由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
13．C
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
14．A
【详解】
求解不等式可得，
对于命题，当时，命题明显成立；
当时，有：，解得：，
即命题为真时，
故成立是成立的充分不必要条件.
故选A.
15．B
【详解】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
16．C
【详解】
试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.
考点：全称命题与存在性命题.
17．C
【详解】
因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
故选：C
18．B
【详解】
当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
19．A
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
20．B
【详解】
试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b” “ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
21．C
【详解】
试题分析：根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．
22．C
【详解】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，
23．A
【解析】
【详解】
若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
24．D
【详解】
分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
详解：若，则且，即若，则，
此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
25．A
【详解】
若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于的方程的一根为，
由于两根之和为，则该方程的另一根为，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则是方程的一根，
由于两根之和为，则另一根也为，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于的方程的两根为和，两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于的方程的两根为和，
两根之和为，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
26．C
【详解】
因为，等价于，恒成立，
设，
则 ．
所以命题为真命题的充要条件为，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为．
27．A
【详解】
若“”即，则“”，故“”是“”的充分条件， 若“”，假设，则“”，得且， 故“”是“” 的不必要条件；对于实数，则“”是“” 充分不必要条件,故选A.
28．B
【详解】
可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．
29．B
【详解】
若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.
30．C
【详解】
当且成立时，根据集合的交集定义可知：，
当成立时，根据集合的交集定义可知：且，
故“且”是“”的充分必要条件，
31．A
【详解】
，但，不满足 ，所以是充分不必要条件，选A.
32．A
【详解】
若，则成立，所以是充分性
若，则当时成立，不满足，所以不是必要性
所以是的充分不必要条件
33．C
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．
34．A
【详解】
，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
35．C
【详解】
试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.
36．D
【详解】
试题分析：A．利用否命题的定义即可判断出；
B．利用“或”命题的定义可知：若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题；
C．利用命题的否定即可判断出；
D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，即可判断出．
解：对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；
对于B．若p∨q为真命题，则p与q至少有一个为真命题，因此不正确；
对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确
对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．
故选D．
37．BD
【详解】
对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
38．①③④
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
39．
【详解】
，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，解得或
所以
40．乙
【详解】
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁
没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
常用逻辑用语
【知识点讲解】
一、充分条件与必要条件
1、若 且 ，则 是 的充分不必要条件。
2、若 且 ，则 是 的必要不充分条件。
3、若 且 ，则 是 的充要条件。
4、若 且 ，则 是 的既不充分又不必要条件。
当有两个集合时，只有范围小的可以推出范围大的，但是范围大的却不能推出
范围小的。
例如：设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：
(1)若 A B，则 p是 q的充分条件，q是 p的必要条件；
(2)若 B A，则 p是 q的充分不必要条件，q是 p的必要不充分条件；
(3)若 A＝B，则 p是 q的充要条件．
例 1．a 2是a 2 3的
a
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
2 2 a2 3a 2 (a 1)(a 2)
【解析】由不等式 a 3，即 a 3 0 ，
a a a a
解得0 a 1或 a 2，即不等式的解集为{a | 0 a 1或 a 2}，
a 2 a 2所以 是 3的充分不必要条件．故选 C．
a
二、全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示。
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示。
三、全称量词命题与存在量词命题的否定
1、全称量词命题的否定
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
∈ ， ，否定： ∈ ，
2、存在量词命题的否定
∈ ， ，否定: ∈ ，
例 2．已知命题 p : x 0 ， ln x 1 0，则 p为．
A． x 0， ln x 1 0 B． x0 0 ， ln x0 1 0
C． x 0， ln x 1 0 D． x0 0 ， ln x0 1 0
【答案】B
【解析】对命题否定时，全称量词改成存在量词，即 x0 0， ln x0 1 0；故选 B．
四、含有逻辑联结词的命题的真假判断：
（1） p q中一假则假，全真才真．
（2） p q中一真则真，全假才假．
（3）p与 p真假性相反．
例 3．已知命题 p：若 0，则 sin ；命题q：函数 f x 2x x2 有两个零点，
则下列说法正确的是
① p q为真命题；② p q为真命题；
③ p q为真命题；④ p q为真命题
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
【答案】C
【 解 析 】 对 于 p ： 记 f x x sin x x 0 ， 因 为 f x 1 cos x 0 ， 所 以
f x x sin x在 0, 上单增，所以当 x 0时，有 f x f 0 0 ，即 x sin x，
故 p是真命题；
对于命题q：因为 f 1 0 ， f 0 0，所以函数 f x 在 1,0 上有一个零点，因为
f 2 f 4 0，所以函数 f x 至少有三个零点，故q为假，所以 p为假命题．
所以① p q为假命题；② p q为真命题；③ p q为真命题；④ p q为假命题
故②③为真．故选 C．
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
【对点训练】
一、单选题
1 x．已知 p : 2 8 0,q : x 3 x 4 0，则（ ）
A． p是q的充分不必要条件 B． p是 q的充分不必要条件
C． p是q的必要不充分条件 D． p是 q的必要不充分条件
2．设命题 P : n N ,n 2 2 n，则 P为
A． n N ,n2 2n B． n N ,n 2 2n
C． n N ,n2 2n D． n N ,n 2 2n
3．已知命题 p : x R,sin x 1﹔命题 q : x R ﹐ e|x| 1，则下列命题中为真命题的
是（ ）
A． p q B． p q C． p q D． p q
4．等比数列 an 的公比为 q，前 n项和为 Sn，设甲：q 0，乙： Sn 是递增数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．下列命题中真命题的个数有（ ）
① x R, x2 x
1
0；② x 0, ln x
1
2 ；③若命题 p q4 是真命题，则
p是
ln x
真命题；④ y 2x 2 x是奇函数.
A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4 个
6．若 a 0,b 0 ，则“a b 4”是 “ ab 4 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知非零向量 a,b,c，则“a c b c ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
8．设函数 f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x y 6
9．记不等式组 2x y 0表示的平面区域为D，命题
p : (x, y) D, 2x y 9；命题

q : (x, y) D, 2x y 12 .给出了四个命题：① p q；② p q；③ p q；④ p q，
这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④

10．设点 A，B，C 不共线，则“ AB与 AC的夹角为锐角”是“ AB AC BC ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，
n，l 两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知等差数列 an 的公差为 d,前 n项和为 Sn ,则“d>0”是"S4 +S6 2S5 "的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．已知 , R，则“存在 k Z使得 k ( 1)k ”是“ sin sin ”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
p : 1 114．已知命题 ，命题 q : x R，ax2 ax 1 0，则 p成立是q成立的（ ）
a 4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．设 ， 是两个不同的平面，m是直线且m ．“m ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．命题“ x [0, ), x 3 x 0 ”的否定是
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
A． x ,0 ,x 3 x 0 B． x ,0 ,x 3 x 0
C． x0 0, , x 3 30 x0 0 D． x0 0, , x0 x0 0
r r
17．设向量 a,b均为单位向量，则“ | a 3b | | 3a b |”是“ a b ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必
要条件
18．设 a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知 a R ，若集合M 1,a ，N 1,0,1 ，则“ a 0 ”是“M N ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．对于实数 a,b,c，“a b ”是“ac2 bc2 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．函数 f (x)在 x x0处导数存在，若 p: f x0 0,q : x x0 是 f (x)的极值点，则
A．p 是 q 的充分必要条件
B．p 是 q的充分条件，但不是 q 的必要条件
C．p 是 q的必要条件但不是 q 的充分条件
D．p 既不是 q的充分条件，也不是 q 的必要条件
22．命题“ x0 (0, )， ln x0 x0 1”的否定是
A． x0 (0, )， ln x0 x0 1 B． x0 (0, )， ln x0 x0 1
C． x (0, )， ln x x 1 D． x (0, )， ln x x 1
23．“m 4” 2是“函数 f x 2x mx ln x在 0, 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
24．设集合 A {(x, y) | x y 1,ax y 4,x ay 2}, 则
A．对任意实数 a， (2,1) A
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B．对任意实数 a，（2,1） A
C．当且仅当 a<0 时,（2,1） A
D．当且仅当 a
3

2 时
,（2,1） A
25．关于 x的方程 x2 ax b 0，有下列四个命题：甲： x 1是该方程的根；乙：
x 3是该方程的根；丙：该方程两根之和为 2；丁：该方程两根异号．如果只有
一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
26．命题“对 x [1, 2]， ax2 x a 0 ”为真命题的一个充分不必要条件可以是
（ ）
a 1 1 2A． B． a C． a 1 D． a
2 2 5
b
27．对于实数 a，b，则“a＜b＜0”是“ 1”a 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
28．已知命题 p： x R，2x 3x；命题q： x R， x3 1 x2 ，则下列命题中为
真命题的是：
A． p q B． p q C． p q D． p q
29．设 a，b都是不等于1的正数，则“3a 3b 3 ”是“ loga 3 logb 3 ”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
30．设集合M {x | x 2} .N {x | x 3}，那么“ x M 且 x N ”是“ x M N ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
π π
31．设 R ，则“ ”是“sin
1

12 12 ”的（ ）．2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
32．设 p :b a 0， q :
1 1
，则 p是qa b 成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．已知命题 p : x R， sin x 1，则
A． p : x R, sin x 1 B． p : x R, sin x 1
C． p : x R, sin x 1 D． p : x R, sin x 1
34．设a，b 是非零向量，“a b a b ”是“ a //b ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
35．设{an}是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q 0”是“对任意的正整数
n,a2n 1 a2n 0 ”的
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
36．下列有关命题的说法正确的是
A．命题“若 x2 1，则 x 1”的否命题为：“若 x2 1，则 x 1”．
B．若 p q为真命题，则 p,q均为真命题.
C．命题“存在 x R，使得 x2 x 1 0 ” 的否定是：“对任意 x R，均有 x2 x 1 0 ”．
D．命题“若 x y，则 sinx siny ”的逆否命题为真命题．
二、多选题
37．下列说法正确的是（ ）
A．命题“" x R, x 2 > -1 ”的否定是“$ x R, x2 < -1”.
B．命题“ x ( 3, ) ， x2 9 ”的否定是“ x ( 3, ) ， x2 9 ”
C．“ x y ”是“ x y ”的必要条件.
D．“m 0”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件
三、填空题
38．设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l 平面α，直线 m⊥平面α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① p1 p4② p1 p2③ p2 p3 ④ p3 p4
39 2．命题“ x0 R，使 m 1 x0 mx0 m 1 0 ”是假命题，则实数m的取值范围为
__________.
40．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：
甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：
“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中
有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可
判断罪犯是________.
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【参考答案】
1．D
【详解】
p : 2x 8 0 x 3 q : x 3 x 4 0 x 4或 x 3
q 3 x 4 所以 p是q的既不充分也不必要条件
p是 q的必要不充分条件
2．C
【详解】
特称命题的否定为全称命题，所以命题 的否命题应该为 n N, n2 ≤ 2n，即本题
的正确选项为 C.
3．A
【详解】
由于 sin 0=0，所以命题 p为真命题；
由于 y ex在 R上为增函数， x 0，所以 e|x| e0 1，所以命题q为真命题；
所以 p q为真命题， p q、 p q、 p q 为假命题.
故选：A．
4．B
【详解】
由题，当数列为 2, 4, 8, 时，满足 q 0，
但是 Sn 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 Sn 是递增数列，则必有 an 0成立，若 q 0不成立，则会出现一正一负的情
况，是矛盾的，则 q 0成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
5．C
【详解】
1 1 2
对于①， x2 x x 0恒成立，所以①正确4 2
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1 1 1
对于②，当 x 0时， ln x 0, 02 ln x ，所以
ln x 2 ②
ln x 成立，所以 正确
对于③，若命题 p q是真命题，则 p,q至少有一个为真命题，所以 p真假不能判
断，所以③错误
④ x x x x x x对于 ，令 f x 2 2 ，则 f x 2 2 2 2 f x ，
所以 y 2x 2 x是奇函数，所以④正确
故选：C.
6．A
【详解】
当a> 0, b> 0时，a b 2 ab，则当a b 4时，有2 ab a b 4，解得 ab 4，充
分性成立；当a=1, b=4时，满足 ab 4，但此时 a+b=5>4，必要性不成立，综上所
述，“ a b 4”是“ ab 4 ”的充分不必要条件.
7．B
【详解】
OA a,OB b ,OC c

如图所示， ,BA a b ,当 AB OC时，a b与 c垂直，

，所以 成立，此时a b，

∴ 不是a b的充分条件，
r r r r r
当a b时， a b 0，∴ a b c 0 c 0 ,∴ 成立，
是a

∴ b的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
8．C
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【详解】
b 0 时， f (x) cos x bsin x cos x , f (x)为偶函数；
f (x)为偶函数时， f ( x)=f (x)对任意的 x恒成立，
f ( x) cos( x) bsin( x) cos x bsin x
cos x b sin x cos x b sin x ，得bsinx 0对任意的 x恒成立，从而b 0 .从而“b 0”
是“ f (x)为偶函数”的充分必要条件，故选 C.
9．A
【详解】
y 2x x 2
如图，平面区域 D为阴影部分，由 , ,
x y
得
6 y 4
即 A（2，4），直线 2x y 9与直线 2x y 12均过区域 D，
则 p真 q 假，有 p假 q真，所以①③真②④假．故选 A．
10．C
【详解】
∵A B C 三点不共线,∴

| AB + AC |>| BC | | AB + AC |>| AB - AC |

| AB + AC |2

>| AB - AC |2 AB AC >0 AB与 AC

的夹角为锐角.故“ AB与 AC的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC |”的充分必要条件,
故选 C.
11．B
【详解】
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依题意m,n, l是空间不过同一点的三条直线，
当m,n, l在同一平面时，可能m//n//l，故不能得出m,n, l两两相交.
当m,n, l两两相交时，设m n A,m l B,n l C，根据公理 2可知m,n确定一个
平面 ，而 B m ,C n ，根据公理1可知，直线 BC即 l ，所以m,n, l在同
一平面.
综上所述，“m,n, l在同一平面”是“m,n, l两两相交”的必要不充分条件.
12．C
【详解】
由 S4 S6 2S5 10a1 21d 2(5a1 10d) d，可知当d 0时，有 S4 S6 2S5 0 ，即
S4 S6 2S5，反之，若 S4 S6 2S5，则d 0，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条
件，选 C．
13．C
【详解】
(1)当存在 k Z使得 k ( 1)k 时，
若 k为偶数，则 sin sin k sin ；
若 k为奇数，则 sin sin k sin k 1 sin sin ；
(2)当 sin sin 时， 2m 或 2m m Z k 1 k， ，即 k 2m
或 k 1 k k 2m 1 ，
亦即存在 k Z使得 k ( 1)k ．
所以，“存在 k Z使得 k ( 1)k ”是“ sin sin ”的充要条件.
故选：C.
14．A
【详解】
1 1
求解不等式 a 4 可得
0 a 4 ，
对于命题q，当 a 0时，命题明显成立；
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
a 0
当a 0时，有： 2 ，解得： 0 a 4 ，
a 4a 0
即命题q为真时0 a 4，
故 p成立是q成立的充分不必要条件.
故选 A.
15．B
【详解】
试题分析： ， 得不到 ，因为 可能相交，只要 和 的
交线平行即可得到 ； ， ，∴ 和 没有公共点，∴ ，即
能得到 ；∴“ ”是“ ”的必要不充分条件．故选 B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
16．C
【详解】
试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“ x 0, , x 3 x 0 ”的
3
否定是 x0 0, , x0 x0 0 ，选 C.
考点：全称命题与存在性命题.
17．C
【详解】

因为向量 a,b均为单位向量
2 2
所以 | a 3b | | 3a b | a 3b 3a b
2 2 2 2a 6a b 9b 9a 6a b b

1 6a b 9 9 6a b 1
r r
a b 0 a b
r r
所以“ | a 3b | | 3a b |”是“ a b”的充要条件
故选：C
18．B
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【详解】
1
当 a 4,b 1,c 1,d 时， a,b,c,d不成等比数列，所以不是充分条件；
4
当 a,b,c,d成等比数列时，则ad bc，所以是必要条件.
综上所述，“ ad bc ”是“ a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件
故选 B.
19．A
【详解】
当 a 0时，集合M 1,0 ， N 1,0,1 ，可得M N ，满足充分性，
若M N ，则 a 0或a 1，不满足必要性，
所以“ a 0 ”是“M N ”的充分不必要条件，
故选：A.
20．B
【详解】
试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b” “ac ＞bc ”必须有 c ＞0 这一条
件．解：主要考查不等式的性质．当 c=0 时显然左边无法推导出右边，但右边可
以推出左边．故选 B
21．C
【详解】
试题分析：根据函数极值的定义可知，函数 x x0为函数 y f x 的极值点，
f x0 0一定成立，但当 f x0 0时，函数不一定取得极值，比如函数 f x x3 ，
2 3
函数的导数 f x 3x ，当 x 0时， f x0 0，但函数 f x x 单调递增，没有极
值，则 p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选 C．
22．C
【详解】
试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：
x (0, )， ln x x 1
23．A
【解析】
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【详解】
1
若 f (x) 2x2 mx ln x在 (0, )上单调递增，则 f (x) 4x m 0x 对任意的
x (0, )恒成立，
4x 1 m x (0, ) m 4x
1
4x 1∴有 对任意的 恒成立，即 x ，而 2 4x
1
4
x min x x
x 1当且仅当 时等号成立，则m 4 .
2
“m 4” “ f x 2x2∴ 是 函数 mx ln x在 0, 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
24．D
【详解】
分析：求出 (2,1) A及 (2,1) A所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.
详解：若 (2,1)
3 3
A，则 a 且 a 02 ，即若
(2,1) A，则 a 2 ，
3
此命题的逆否命题为：若 a ，则有 (2,1) A2 ，故选
D.
点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条
件与必要条件的一种非常有效的方法，根据 p,q成立时对应的集合之间的包含关
系进行判断. 设 A {x | p(x)},B {x | q(x)}，若 A B，则 p q；若 A B，则 p q，
当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
25．A
【详解】
若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0的一根为3，
由于两根之和为 2，则该方程的另一根为 1，两根异号，合乎题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则 x 1是方程 x2 ax b 0的一根，
由于两根之和为 2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0的两根为1和3，
两根同号，不合乎题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于 x的方程 x2 ax b 0的两根为1和3，
两根之和为4，不合乎题意.
综上所述，甲命题为假命题.
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26．C
【详解】
x [1 2] x因为 ， ， ax2 x a 0等价于 x [1，2]， a x2 恒成立， 1
设 h(x)
x

x2 1，
x 1 2 1
则 h(x) 2

x 1 1
，
x 5 2
．
x
1
所以命题为真命题的充要条件为 a 2 ，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为a 1．
27．A
【详解】
b b b
若“ a b 0”即 a b ，则“ 1”，故“ a b 0”是“ 1
b
” “ 1a a ”a 的充分条件，若 a ，
b
假设a 1，b 3，则“ 1”，得 a b且a 0，b 0
b
， 故“ a b 0”是“ 1”a a 的不
b
必要条件；对于实数 a,b，则“ a b 0”是“ 1”a 充分不必要条件,故选 A.
28．B
【详解】
x 0可知: 命题 p： x R，2x 3x为假命题，由函数图象可知命题
q : x R, x 3 1 x 2 为真命题，所以 p q为真命题．
29．B
【详解】
若3a 3b 3，则a b 1，从而有 loga 3 logb 3，故为充分条件. 若 loga 3 logb 3不
1
一定有a b 1，比如. a ,b 3，从而3a 3b 3不成立.故选 B.
3
30．C
【详解】
当 x M 且 x N成立时，根据集合的交集定义可知： x M N，
当 x M N成立时，根据集合的交集定义可知： x M 且 x N，
故“ x M 且 x N ”是“ x M N ”的充分必要条件，
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31．A
【详解】
| π π | 0 π sin 1 1 π π
12 12 6 2 ，但
0,sin ，不满足 | | 2 12 12 ，所以
是充分不必要条件，选 A.
32．A
【详解】
1 1
若b a 0，则 a b成立，所以是充分性
1 1
若 a b，则当
0 b，a 0时成立，不满足b a 0，所以不是必要性
所以 p是q的充分不必要条件
33．C
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原
命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C．
34．A
【详解】
a b a b cos a, b ，由已知得 cos a,b 1，即 a,b 0，a //b .而当a //b时， a,b 还



可能是 ，此时a b a b ，故“a b a b ”是“ a //b ”的充分而不必要条件，故选
A.
35．C
【详解】
试题分析：由题意得，a a 0 a (q2n 2 q2n 1) 0 q2(n 1)2n 1 2n 1 (q 1) 0 q ( , 1)，
故是必要不充分条件，故选 C.
36．D
【详解】
试题分析：A．利用否命题的定义即可判断出；
B．利用“或”命题的定义可知：若 p∨q 为真命题，则 p 与 q 至少有一个为真命题；
C．利用命题的否定即可判断出；
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D．由于命题“若 x=y，则 sinx=siny”为真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，
即可判断出．
解：对于 A．命题“若 x2=1，则 x=1”的否命题为“若 x2≠1，则 x≠1”，因此不正确；
对于 B．若 p∨q为真命题，则 p 与 q至少有一个为真命题，因此不正确；
对于 C．“存在 x∈R，使得 x2+x+1＜0”的否定是：“对任意 x∈R，均有 x2+x+1≥0”，
因此不正确
对于 D．由于命题“若 x=y，则 sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，
正确．
故选 D．
37．BD
【详解】
对于 A选项，命题“" x R, x 2 > -1 ”的否定是“ x R， x2 1”，故 A 选项错误；
对于 B 选项，命题“ x ( 3, ) ， x2 9”的否定是“ x ( 3, ) ， x2 9 ”，故 B 选项
正确；
对于 C选项， | x |> | y |不能推出 x y， x y也不能推出 | x |> | y |，所以“ x y ”是
“ x y ”的既不充分也不必要条件，故 C 选项错误；
4 4m 0
对于 D选项，关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根 m 0
m
,
0 所以
“m 0”是“关于 x的方程 x2 2x m 0有一正一负根”的充要条件,故 D选项正确.
故选：BD
38．①③④
【详解】
对于命题 p1，可设 l1与 l2相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 l3与 l1相交，则交点A 在平面 内，
同理， l3与 l2的交点 B也在平面 内，
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所以， AB ，即 l3 ，命题 p1为真命题；
对于命题 p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 p2为假命题；
对于命题 p3，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 p3为假命题；
对于命题 p4，若直线m 平面 ，
则m垂直于平面 内所有直线，
直线 l 平面 ， 直线m 直线 l，
命题 p4为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
p1 p4为真命题， p1 p2为假命题，
p2 p3 为真命题， p3 p4 为真命题.
故答案为：①③④.
39．m 2 3
3
【详解】
x0 R
2
，使 m 1 x0 mx0 m 1 0是假命题，
则 x R，使 m 1 x2 mx m 1 0是真命题，
当m 1 0 2，即m 1， m 1 x mx m 1 0转化为 x 2 0，不是对任意的 x R 恒
成立；
当m 1 0， x R，使 m 1 x2 mx m 1 0即恒成立，即
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2023 届高考数学一轮复习——常用逻辑用语
m 1 0
3m2 4 m 2 3 m 2 3 2 ，第二个式子化简得 ，解得 或
m 4 m 1 m 1 0 3 3
2 3
所以m
3
40．乙
【详解】
四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两
人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、
丁
没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、
丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知犯罪的是乙.
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