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1.4 充分条件与必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件、必要条件的意义.
2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由 ( http: / / www.21cnjy.com )p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.21世纪教育网版权所有
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p q，与q能否推出p没有任何关系.21cnjy.com
(2)注意以下等价的表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.21·cn·jy·com
(3)“若p，则q”为假命题时，记作“pq”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
【例题讲解】
【类型】一、充分条件、必要条件
例1、给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
【训练】1、设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【训练】2、若a，b，c是△ABC的三条边，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【类型】二、充分条件、必要条件与集合的关系
例2、已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
【训练】3、从给出的两个条件①a＝2，②a＝3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知集合A＝{0，a+2}，B＝{0，1，a2}．21教育网
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值；
（2）已知 _____，若集合C含有两个元素且满足C （A∪B），求集合C．
【针对训练】
一、单选题
1．若，则“”是“”的
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．无法判断
2．钱大姐常说”好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的
A．充分条件 B．必要条件
C．无法判断 D．既不充分也不必要条件
3．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(　　 )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
4．使成立的一个充分条件是
A． B． C． D．
5．，的一个必要条件为
A． B． C． D．
6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
二、填空题
7．设，是非空集合，则是的______条件．（填”充分”或”必要”）
8．设；，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．
9．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．
三、解答题
10．已知或，或．若是的必要条件，求实数的取值范围．
11．已知，若是的一个必要条件，求使恒成立的实数的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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1.4 充分条件与必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件、必要条件的意义.
2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.
3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
【知识结构】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【考点总结】
一、充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题， ( http: / / www.21cnjy.com )是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.21世纪教育网版权所有
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p q，与q能否推出p没有任何关系.www-2-1-cnjy-com
(2)注意以下等价的表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.21*cnjy*com
(3)“若p，则q”为假命题时，记作“pq”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
【例题讲解】
【类型】一、充分条件、必要条件
例1、给出下列四组命题：
(1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出p是q的什么条件.
解　(1)∵两个三角形相似 / 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，
∴p是q的必要不充分条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p q，
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q / p.
∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p q，且q p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)p / q，且q / p，
∴p是q的既不充分也不必要条件.
规律方法　本例分别体现了 ( http: / / www.21cnjy.com )定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.2·1·c·n·j·y
【训练】1、设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P与x∈M∪P之间的关系即可判断出结论．
【解答】解：“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}．
∴x∈M∩P x∈M∪P，反之不成立．
∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【训练】2、若a，b，c是△ABC的三条边，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：若“△ABC是等腰三角形”，则当a＝b≠c，则a2+b2+c2＝ab+bc+ca不一定成立，
若a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
即a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
则a＝b＝c，
则“△ABC是等腰三角形”成立，
即“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键．比较基础．
【类型】二、充分条件、必要条件与集合的关系
例2、已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
【答案】
因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
当，即时，，满足；
当，即时，，解得，
综上所述：.
【训练】3、从给出的两个条件①a＝2，②a＝3中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知集合A＝{0，a+2}，B＝{0，1，a2}．21教育网
（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的值；
（2）已知 _____，若集合C含有两个元素且满足C （A∪B），求集合C．
【分析】（1）利用“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得到A B，分情况求解即可；
（2）分别选择①②③进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．
【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A B，
当a+2＝1时，即a＝﹣1时，不满足互异性，不符合题意；
当a+2＝a2时，即a＝﹣1或a＝2时，可知a＝2符合题意；
所以a＝2；
（2）若选①：
则B＝{0，1，1}，不符合题意；
若选②：
A＝{0，4}，B＝{0，1，4}，所以A∪B＝{0，1，4}，
所以C＝{0，1}，C＝{0，4}，C＝{1，4}；
若选③：A＝{0，5}，B＝{0，1，9}，所以A∪B＝{0，1，5，9}，
所以C＝{0，1}，C＝{0，5}，C＝{0，9}，C＝{1，5}，C＝{1，9}，C＝{5，9}．
【点评】本题考查了集合的概念、充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【来源：21·世纪·教育·网】
【针对训练】
一、单选题
1．若，则“”是“”的
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件的定义：若 ,那么是的充分条件，判断即可得出答案．
【详解】
∵，
∴是的充分条件．
或，所以不是的必要条件．
综上选A.
【点睛】
本题考查充分条件的定义，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题．
2．钱大姐常说”好货不便宜”，她这句话的意思是“好货”是“不便宜”的
A．充分条件 B．必要条件
C．无法判断 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件的定义：若 ,那么是的充分条件，判断即可得出答案．
【详解】
由题意可知，好货不便宜，故选A．
【点睛】
本题考查充分条件的定义，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题．
3．对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是(　　 )
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
【答案】B
【解析】
【详解】
因为根据不等式的性质可知，“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，选项D错误，
选项A是不充分不必要条件，选项C是不充分不必要条件,选B
4．使成立的一个充分条件是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件的定义：若 ,那么是的充分条件，以及“大范围可以推小范围，小范围不能推大范围”，即选项的范围应该比的小，即可选出答案．21·世纪*教育网
【详解】
∵，∴是成立的一个充分条件．
【点睛】
本题考查充分条件的定义，根据结果找条件，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题．2-1-c-n-j-y
5．，的一个必要条件为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
选择，的一个必要条件，即选出可以由，推出的结果．
【详解】
，，故选C．
【点睛】
本题考查必要条件的定义，根据结果找条件，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁是谁的什么条件，谁可以推出谁．属于基础题．21cnjy.com
6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到丙与甲的互相推出情况，然后再作出选择，
【详解】
∵甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，
∵乙 甲，丙 乙，乙 丙，
∴丙 甲，甲 丙，
∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
故选A．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件的判定，解题时根据相关定义求解即可，属于基础题．
二、填空题
7．设，是非空集合，则是的______条件．（填”充分”或”必要”）
【答案】必要
【解析】
【分析】
根据必要条件的定义：若 ,那么是的必要条件，判断即可得出答案．
【详解】
由，，
可知”“是”“的必要条件．
【点睛】
本题考查必要条件的定义，需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁，属于基础题．
8．设；，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先令，，由命题间的关系，得到集合之间关系，进而可求出结果.
【详解】
解：令，，
因为是的充分条件，
则，
∴．
故答案为
【点睛】
本题主要考查由充分条件求参数，熟记充分条件的概念，以及命题间的关系即可，属于常考题型.
9．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
解不等式，得，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】
解不等式，得，
由于是的充分不必要条件，，，解得.
当时，则有；当时，则有.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参 ( http: / / www.21cnjy.com )数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式的解法，一般转化为集合的包含关系求解，同时也要注意等号能否成立，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.
三、解答题
10．已知或，或．若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
是的必要条件等价于即可写出不等关系式，解出即可．
【详解】
∵ 是的必要条件，∴，∴，解得．
故实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查根据必要条件求参数的取值范围，需熟练掌握必要条件的定义，与“大范围可以推小范围，小范围不能推大范围”，属于基础题．21·cn·jy·com
11．已知，若是的一个必要条件，求使恒成立的实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据是的一个必要条件可知道，即可求出，根据题意即可写出实数的取值范围．
【详解】
因为是的一个必要条件，且，
所以，
所以，解得，则使恒成立的实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查根据必要条件求参数的取值范围，不等式恒成立，需熟练掌握必要条件的定义，与“大范围可以推小范围，小范围不能推大范围”；属于基础题．www.21-cn-jy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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