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2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
【考点梳理】
考点一　两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有
2．两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
【题型归纳】
题型一： 求直线交点坐标
1．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型二： 由方程组的解的个数判断直线位置关系
4．若关于x，y的方程组无解，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
6．给出下列曲线：①；②；③；④，其中与直线有交点的所有曲线是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③④ D．①②③
题型三： 由直线交点的个数求参数
7．已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
9．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型四： 由直线的交点坐标求参数
10．若直线：ax＋4y－2＝0与直线：2x－5y＋b＝0垂直于点(1，c)，则a＋b＋c＝( )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
11．若直线与直线交点在第一象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五： 三线能围成三角形的问题
13．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a≠ B．a≠
C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1
14．若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个 B．个
C．个 D．个
15．已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
16．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
17．设集合，，若，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．或2
18．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
19．到，的距离相等的动点P满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
21．已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
22．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线方程是（ ）
A． B． C． D．
24．已知平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是（ ）
A．只有唯一值 B．可取两个不同值
C．可取三个不同值 D．可取无穷多个值
25．已知直线的方程为：，直线的方程为：，若，则直线与的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
26．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ）
A．10 B．5
C．8 D．6
28．已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
29．已知与是直线为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何，总是无解 B．无论如何，总有唯一解
C．存在，使之恰有两解 D．存在，使之有无穷多解
30．已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是
A． B． C． D．
32．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
33．直线（）过定点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
34．经过两直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A．或 B．或
C． D．
35．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
37．过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
38．三条直线，，构成三角形，则a的取值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．5
39．已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
40．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
41．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（ ）
A．重心的坐标为或
B．垂心的坐标为或
C．顶点C的坐标为或
D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为
三、填空题
42．已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________.
43．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，则AC边上的高BD所在的直线方程为________．
44．设三直线；；交于一点，则k的值为______．
45．设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于________
46．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________.
47．“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．
四、解答题
48．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
49．已知两直线，
（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.
50．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0
（1）求直线AB的方程；
（2）求点C的坐标．
51．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
52．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接解方程求出两直线交点坐标即可.
【详解】
由解得，则直线与直线的交点坐标为.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.
【详解】
由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，然后求出两直线的交点坐标，代入上式方程可求出，从而可求出直线方程
【详解】
由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，
因为直线过点，
所以，得，
所以所求直线方程为，
故选：D
4．A
【解析】
【分析】
由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可.
【详解】
由题, 直线与平行,故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
根据两直线交点即方程组的解，则方程组的解的个数即两直线的交点个数，可以判断每个选项.
【详解】
①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.
故答案为C.
【点睛】
在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行．
6．C
【解析】
【分析】
根据题意，依次联立方程求解即可得答案.
【详解】
对于①，联立方程得，显然不满足，
故与直线无交点；
对于②，联立方程得，显然或，有两个解，
故与直线有两个交点；
对于③，联立方程得，显然，
故有两个解，所以与直线有两个交点；
对于④，联立方程得，或，有两个解，
故与直线有两个交点；
故与直线有交点的所有曲线是②③④.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与曲线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于联立方程，并结合判别式求解.
7．B
【解析】
【分析】
根据直线与线段有交点得出不等式求解即可.
【详解】
因为直线与线段总有公共点，
所以点和点不同在直线的一侧，
所以，
解得或.
即的取值范围是.
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求.
【详解】
由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，
∵直线和直线不平行，
∴直线和直线平行或直线和直线平行，
∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，
∴或.
故选：C.
9．C
【解析】
【分析】
根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案；
【详解】
联立，得，
∵直线与射线恒有公共点，
∴，
解得.
∴m的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与的交点问题，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到射线的取值范围,进而求两直线交点的横坐标并解不等式即可.
10．D
【解析】
【分析】
两直线垂直，斜率相乘等于－1，且交点坐标分别是两条直线的方程的解，据此即可求解.
【详解】
∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，
∴－＝－1，∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程即为5x＋2y－1＝0．
将点(1，c)的坐标代入上式，可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0，得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12．
故a＋b＋c＝10－12－2＝－4．
故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
由知两线平行，则，联立直线方程求交点坐标，根据所在的象限求参数k的范围即可.
【详解】
当时，，与平行，不合题意，
∴.
由题设，，解得，
∴或.
故选：C
12．A
【解析】
联立两直线的方程，解得交点的坐标，根据交点在第四象限，由求解.
【详解】
由，
解得，
因为直线与直线的交点在第四象限，
所以，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：A
13．C
【解析】
【分析】
由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得．
【详解】
已知三条直线能构成三角形，首先不平行，
若，则三条直线围成三角形，
若，则，，解得，
时，由，得，代入得，或，因此
综上：且．
故选：C．
14．C
【解析】
【分析】
分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形.
【详解】
三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；
若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，
直线和联立：，直线和交点为;
直线和联立：，直线和交点为;
三条直线相交于同一点两点重合或.
故实数的取值最多有个.
故选:C
15．C
【解析】
由直线，，可得，，代入三角形面积计算公式，再令，换元后由二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出．
【详解】
由直线，，
可得，，
所以当的面积，
令，所以，
所以当，即时，取得最小值．
故选：C
【点睛】
求最值问题一般步骤为：（1）先求出目标函数；（2）再求函数的最值，求最值经常用到：二次函数的最值，基本不等式或用求导的方法．
16．A
【解析】
【分析】
根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.
【详解】
解：表示关于轴对称的两条射线，
表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．
故选：A．
【点睛】
本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.
17．C
【解析】
【分析】
本题先化简集合A、集合B，再结合，确定直线与平行或直线过点，最后求实数a的值.
【详解】
解：集合A表示直线，即上的点，但除去点，
集合B表示直线上的点，
当时，
直线与平行或直线过点，
所以或，
解得或．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的运算、利用两条直线平行求参数、利用两条直线的交点求参数，是基础题.
18．A
【解析】
【分析】
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
19．B
【解析】
【分析】
设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.
【详解】
设，
因为点P到，的距离相等，
则
即，
化简整理得：．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.
20．A
【解析】
【分析】
联立两直线方程求解.
【详解】
由
解得
所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)
故选：A
21．A
【解析】
【分析】
分析可得直线一定相交，联立两方程，求得交点坐标为，当时，直线为，分析可得不满足题意，当时，当直线l3分别与直线l1、l2平行时，以及过直线交点时，均满足题意，分别求解，即可得答案.
【详解】
因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与x轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，所以实数a的取值不可能为1.
故选：A
22．C
【解析】
【分析】
联立直线方程求出交点坐标，再由横纵坐标都大于列不等式可得的值，再由斜率的定义以及倾斜角的范围即可求解.
【详解】
由可得：，
因为两直线的交点位于第一象限，所以，解得：，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是，
故选：C.
23．B
【解析】
【分析】
根据的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程，联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.
【详解】
由题意可得的重心为．因为，，所以线段的垂直平分线的方程为．因为，，所以直线的斜率，线段的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为．联立，解得，则的外心坐标为，故的欧拉线方程是，即．
故选：B.
24．C
【解析】
【分析】
由题意可得其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，再利用两条直线平行的条件求出的值．
【详解】
解：若三条直线将平面划分成6个部分，
则其中只有2条直线互相平行，第三条和这2条平行线都相交，则或，
或者三条直线经过同一个点，即和的交点在直线上，此时．
综上， 或或，
故选：C．
25．B
【解析】
【分析】
根据，求得直线的方程，然后联立求解.
【详解】
因为直线的方程为：，直线的方程为：，且，
所以，
解得
所以直线的方程为，
，解得，
所以直线与的交点坐标为，
故选：B
26．C
【解析】
先根据两圆方程得公共弦方程，再求得点，再根据的几何意义即可求解.
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆的公共弦问题，直线过定点问题，点到直线的距离问题，考查数学运算能力与化归转化思想，是中档题.
27．A
【解析】
【分析】
根据A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，先得到A，B的坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】
由题意得A(6，0)，B(0，8)，
所以|AB|＝.
故选：A
28．A
【解析】
【分析】
根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标.
【详解】
解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，
设点的坐标为，所在直线的方向向量为，
则所在直线的斜率，
，得，
所以，则的中点坐标为，
边上的中线所在的直线方程为，
则的中点在直线上，
，解得：，
所以点的坐标为.
故选：A.
29．B
【解析】
【分析】
将与代入直线方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【详解】
解：与是直线为常数)上两个不同的点，
的斜率存在，
即，并且，
①②得：，
即.
方程组有唯—解.
故选︰B.
30．B
【解析】
【分析】
先求得直线（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b；②若点M在点O和点A之间，求得b； ③若点M在点A的左侧，求得b＞1．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
【详解】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线与x轴的交点为M，
由直线将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故0，故点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线，求得a＝b．
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即 ，可得a0，求得 b，
故有．
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标1，求得b＞a．
设直线和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得 ．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．
两边开方可得 1，∴，化简可得，
故有1．
综上可得b的取值范围应是 ，
故选：B．
31．C
【解析】
【详解】
联立方程 得交点 ，由交点在第一象限知： 解得 ，即是锐角，故 ，选C.
32．C
【解析】
根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】
由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
33．B
【解析】
【分析】
先将直线方程转化为直线系方程，再求解直线和的交点即可得答案.
【详解】
解：根据直线得，
故直线过定点为直线和的交点，
联立方程得，解得 ，
所以定点的坐标为.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线过定点问题，两直线的交点坐标，考查运算能力，是基础题.
34．B
【解析】
【分析】
先求出两直线的交点为，再对直线是否经过原点分两种情况讨论得解.
【详解】
解：由，求得，
可得两直线与的交点为．
当要求的直线经过原点时，直线的方程为，即．
当要求的直线不经过原点时，直线的方程为，
把代入，可得，，此时，直线的方程为．
综上可得，要求的直线方程为或，
故选：B．
35．D
【解析】
【分析】
联立方程组求得两直线的交点坐标，根据交点位于第二象限，列出不等式，求得，结合倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
联立方程组，解得，
因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，
设直线的倾斜角为，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
36．A
【解析】
【详解】
分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
37．B
【解析】
【分析】
求出两直线的交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】
由，解得，得直线与的交点为点．
因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，
因此，所求直线的方程为，即．
故选：B.
38．CD
【解析】
【分析】
经分析可得三线不共点，所以只需直线与另两条直线不平行，即可求得的范围．
【详解】
由题意可得直线与都经过原点，
而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以.
故选：CD
39．BD
【解析】
【分析】
A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
【详解】
，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有 ，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
40．ABD
【解析】
【分析】
由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.
【详解】
对于A，恒成立，恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确.
故选：ABD.
41．BCD
【解析】
【分析】
由题意先求出AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立可求出的外心，设，则可得三角形的重心为，代入欧拉线方程，再结合三角形的外心可求出顶点的坐标是或，从而可得三角形的重心坐标，结合图形可求出垂心的坐标和欧拉线将分成的两部分的面积之比
【详解】
AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，
联立，解得.
∴的外心为，
设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①
又外心为，
所以，
整理得：②联立①②得：，或，，
所以顶点的坐标是或.
重心的坐标为或；
由于或，所以垂心的坐标为或.
因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.
故选：BCD
42．
【解析】
【分析】
设，由中点公式求出点A坐标，根据等腰直角三角形可知，，建立与，与间关系，即可求出，进而根据点斜式求出直线的方程.
【详解】
因为中线CE所在直线方程为，
所以可设，
由AC中点为，可得，
所以，
为等腰直角三角形，CE为中线，
,，
①，
又是的中点，,
,，
化简得： ②，
由①②解得，
所以点,又因为，
所以直线方程为,
即所求方程为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了两直线垂直位置关系，根据两直线垂直研究斜率之间的关系，直线方程的点斜式，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.
43．x－2y＋4＝0
【解析】
【分析】
联立直线AB和直线BC的方程，求得点B的坐标，再由BD⊥AC得到斜率，利用点斜式写出高线方程.
【详解】
由，解得交点B(－4，0)．
因为BD⊥AC，
所以kBD＝－＝.
所以AC边上的高线BD的方程为y＝ (x＋4)，
即x－2y＋4＝0.
故答案为：x－2y＋4＝0.
44．1
【解析】
【分析】
解方程组求出与的交点，代入即可得解.
【详解】
联立，解得，即与交于点，
依题意可知，，解得.
故答案为：.
45．
【解析】
根据点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】
因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，
所以，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.
46．
【解析】
设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解.
【详解】
设两交点分别为，，
则故点，
所以直线的方程为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题.
47．充分不必要
【解析】
【分析】
根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若，直线的斜率，直线的斜率，则两条直线垂直，即充分性成立，
当，两条直线方程为，和，则两条直线垂直；
当，直线的斜率，直线的斜率，满足两直线垂直，故必要性不成立，
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
48．6x－5y－9＝0.
【解析】
根据AC边上的高BH所在直线的方程可得直线的斜率，根据点斜式可得直线的方程，联立直线与的方程可得点的坐标，设出点的坐标，根据中点公式得的坐标，从而解得的坐标，可得直线的斜率，可得直线的方程.
【详解】
依题意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，
联立直线AC和直线CM的方程，得,得，所以C(4,3)．
设B(x0，y0)，则AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以，解得 ，所以B(－1，－3)，
所以＝，所以直线BC的方程为y－3＝ (x－4)，即6x－5y－9＝0.
【点睛】
本题考查了直线方程的点斜式，考查了中点公式，考查了两直线垂直于斜率的关系，属于基础题.
49．（1），；（2）.
【解析】
（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；
（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.
【详解】
（1）联立直线方程解得，交点坐标，
当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，
当直线不过原点时，设其方程为，过得，
所以直线方程
综上：满足题意的直线方程为，
（2）直线与，不能构成三角形
当与平行时：
当与平行时：
当三条直线交于一点，即过点，则
综上所述实数的值为
【点睛】
此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.
50．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）求出直线AB的斜率为，再利用点斜式即可求解.
（2）设，由题意可知为AC中点可得，代入直线CE所在直线，再由，联立方程即可求解.
【详解】
（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，
∴直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为，即；
（2）设，
由为AC中点可得，
∴，
解得，代入，
∴．
51．
【解析】
【分析】
设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.
【详解】
设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
52．（1），；（2）的面积最小值为4，此时直线l的方程是.
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出直线AB，BC的方程，再求出交点坐标即可；
（2）由题意斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，求出截距，表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值.
【详解】
（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(-1，0).
因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2，
因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0，
因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，
解方程组得B(5，-6)，
故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5，-6).
（2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，
则M，N(0，2-k)，
所以S△MON=··(2-k)=·≥=4，
当且仅当= ，即时取等号，
所以(S△MON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0.
试卷第1页，共3页

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