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专题07 二次函数与幂函数
【考点总结】
1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R ( http: / / www.21cnjy.com ))的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.21教育名师原创作品
(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于x＝－对称
【常用结论】
1．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．21世纪教育网版权所有
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．
2．一元二次不等式恒成立的条件
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
【易错总结】
(1)二次函数图象特征把握不准；
(2)二次函数的单调性规律掌握不到位；
(3)忽视幂函数的定义域；
(4)幂函数的图象掌握不到位．
例1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．
解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．21教育网
答案：③
例2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，
所以，即m≤－.
答案：
例3．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)解析：由题意知解得3答案：(3，5)
例4．当x∈(0，1)时，函数y＝xm的图象在直线y＝x的上方，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，1)
【考点解析】
【考点】一、幂函数的图象及性质
例1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
解析：选C.设幂函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝xα，代入点(3，)，得＝3α，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．www.21-cn-jy.com
例2．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
解析：选C.因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
例3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b解析：选D.因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝是减函数，
所以a＝例4．若幂函
数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)
A．－1B．－1C．－1D．－1解析：选D.幂函数y＝xα，当 ( http: / / www.21cnjy.com )α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0幂函数的性质与图象特征的关系
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.　
【考点】二、二次函数的解析式
例1、 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．21·世纪*教育网
【解】　法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝.
所以m＝.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，
所以f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，
解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：2-1-c-n-j-y
　
【变式】1．已知二次函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对 x∈R.都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为____________．21*cnjy*com
解析：由f(0)＝3，得c＝3，
又f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3.
答案：f(x)＝x2－2x＋3
【变式】2．已知二次函数y＝f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))的顶点坐标为(－，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：设f(x)＝a＋49(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.【出处：21教育名师】
答案：f(x)＝－4x2－12x＋40
【考点】三、二次函数的图象与性质
角度一　二次函数的图象
例1、已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
【解析】　A项，因为a<0，－<0，所以b<0.
又因为abc>0，所以c>0，而f(0)＝c<0，故A错．
B项，因为a<0，－>0，所以b>0.
又因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c>0，故B错．
C项，因为a>0，－<0，所以b>0.又因为abc>0，
所以c>0，而f(0)＝c<0，故C错．
D项，因为a>0，－>0，所以b<0，因为abc>0，所以c<0，而f(0)＝c<0，故选D.
【答案】　D
角度二　二次函数的单调性
例2、函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是单调递减的，则实数a的取值范围是________．
【解析】　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足条件．
当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知
解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．
【答案】　[－3，0]
【迁移探究】　(变条件)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，求a为何值？
解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间为[－1，＋∞)，所以解得a＝－3.
角度三　二次函数的最值问题
例3、设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
【解】　f(x)＝x2－2x＋2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝
角度四　二次函数中的恒成立问题
例4、已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．
【解析】　2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，成立；
当x≠0时，a<－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<.
综上，实数a的取值范围是.
【答案】　
解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．21·cn·jy·com
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．　
【变式】1．(2020·河南省实验中学 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．{0，－3}　　　　　　 B．[－3，0]
C．(－∞，－3]∪[0，＋∞) D．{0，3}
解析：选A.函数f(x)＝3x2－2(m ( http: / / www.21cnjy.com )＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝[－2(m＋3)]2－4×3×(m＋3)＝0，所以m＝－3或m＝0，所以实数m的取值范围为{0，－3}，故选A.www-2-1-cnjy-com
2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数．
解：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
所以f(x)在[－4，2]上单调递减，在(2，6]上单调递增，
所以f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，
故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，【版权所有：21教育】
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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