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第四讲 函数的概念
【学习目标】
1.理解函数的概念(重点、难点).
2.了解构成函数的三要素(重点).
3.正确使用函数、区间符号(易错点)．
知识点1　函数的概念
(1)函数的概念
概念 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
(2)函数相等
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
知识点2　区间及有关概念
(1)一般区间的表示．
设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)特殊区间的表示.
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
题型一　函数关系的判定
例1、(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　　)
(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？
①f：把x对应到3x＋1；②g：把x对应到|x|＋1；
③h：把x对应到；④r：把x对应到.
(1)解析　任作一条垂直于x轴的直线x＝a， ( http: / / www.21cnjy.com )移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．21·cn·jy·com
答案　D
(2)解　①是实数集R上 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个函数．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任意x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x＝－1时，有3x＋1＝－2与之对应．2·1·c·n·j·y
同理，②也是实数集R上的一个函数．
③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在．
④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，的值不存在．
规律方法　1.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．21·世纪*教育网
2．判断一个对应是否是函数的方法
【训练1】　设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)21教育网
A．0个　　　 B．1个 C．2个　　 D．3个
解析　①错，x＝2时，在N中无元素与之对应 ( http: / / www.21cnjy.com )，不满足任意性．②对，同时满足任意性与唯一性．③错，x＝2时，对应元素y＝3 N，不满足任意性．④错，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．2-1-c-n-j-y
答案　B
题型二　相等函数
例2、(1)下列各组函数：
①f(x)＝，g(x)＝x－1；
②f(x)＝，g(x)＝；
③f(x)＝，g(x)＝x＋3；
④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
(2)试判断函数y＝·与函数y＝是否相等，并说明理由．
(1)解析　①f(x)与g( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的定义域不同，不是同一函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是同一函数．www-2-1-cnjy-com
答案　⑤
(2)解　不相等．对于函数y＝·，由解得x≥1，故定义域为{x|x≥1}，对于函数y＝，由(x＋1)(x－1)≥0解得x≥1或x≤－1，故定义域为{x|x≥1或x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是相等函数．21*cnjy*com
规律方法　判断两个函数为相等函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
【训练2】　判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝()2；g(x)＝.
(2)f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.
解　(1)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．21教育名师原创作品
(2)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
题型三　求函数值
例3、已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值．
解　(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.
规律方法　求函数值的方法及关注点
(1)方法：①已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．21cnjy.com
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
【训练3】　已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]．
解　(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.
(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f＝＝.
题型四　求函数的定义域
方向1　已知函数的解析式求函数的定义域
例1、求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.
解　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1，且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．
规律方法　求函数定义域的实质及结果要求
(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．www.21-cn-jy.com
(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式．
方向2　求抽象函数的定义域
例2、(1)设函数f(x)＝，则f(x＋1)等于什么？f(x＋1)的定义域是什么？
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，那么函数y＝f(x＋1)的定义域是什么？
解　(1)f(x＋1)＝.令x＋1≥0，解得x≥－1，所以f(x＋1)＝的定义域为[－1，＋∞)．
(2)函数y＝f(x)的定义域是[0，＋∞)，所以令x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数y＝f(x＋1)的定义域是[－1，＋∞)．【出处：21教育名师】
例3、若函数y＝f(x＋1) ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是什么？函数y＝f(x)的定义域是什么？【来源：21·世纪·教育·网】
解　这里的“[1,2]”是 ( http: / / www.21cnjy.com )自变量x的取值范围．因为x∈[1,2]，所以x＋1∈[2,3]，所以使对应关系f有意义的自变量t＝x＋1的范围是[2,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[2,3]．【版权所有：21教育】
例4、(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－2,3]，求函数y＝f(2x－3)的定义域．
(2)已知函数y＝f(2x－3)的定义域是[－2,3]，求函数y＝f(x＋2)的定义域．
解　(1)因为函数y＝f(x)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为[－2,3]，即x∈[－2,3]，函数y＝f(2x－3)中2x－3的范围与函数y＝f(x)中x的范围相同，所以－2≤2x－3≤3，解得≤x≤3，21*cnjy*com
所以函数y＝f(2x－3)的定义域为.
(2)因为x∈[－2,3]，所以2x－3∈[－7,3]，即函数y＝f(x)的定义域为[－7,3]，
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函数y＝f(x＋2)的定义域为[－9,1]．
规律方法　两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域．21世纪教育网版权所有
(2)已知f(g(x))的定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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