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第二讲 集合间的基本关系
【学习目标】
1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断(重点).
2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系(难点).
3.了解空集的含义及其性质(易错点)．
知识点1　子集的相关概念
(1)Venn图
①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．21世纪教育网版权所有
②适用范围：元素个数较少的集合．
③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
(2)子集、真子集、集合相等的概念
①子集的概念
文字语言 符号语言 图形语言
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A B(或B A)
②集合相等
如果集合A是集合B的子集(A B)，且集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.21·cn·jy·com
③真子集的概念
定义 符号表示 图形表示
真子集 如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集 A?B(或B?A)
④空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．
用符号表示为： .
规定：空集是任何集合的子集．
知识点2　集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，
①若A B，且B C，则A C；
②若A?B，B?C，则A?C.
③若A B，A≠B，则A?B.
题型一　集合关系的判断
例1、指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解析　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故N?M.
规律方法　判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
【训练1】　(1)集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝，则A与B的关系是(　　)
A．A B　　　 B．A＝B C．A?B　　 D．B?A
(2)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0A．A＝B　　　 B．A?B C．B?A　　 D．A B
解析　(1)∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴B?A.
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A.
答案　(1)D　(2)C
题型二　子集、真子集个数问题
例2、(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3,4}?P {0,1,2,3,4}的所有集合P.
(1)解析　集合{a，b，c}的子集有： ( http: / / www.21cnjy.com ) ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．21cnjy.com
答案　 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7
(2)解　由题意知，集合P中一定含 ( http: / / www.21cnjy.com )有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
规律方法　1.假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
【训练2】　已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有： ，{(0,2)}，{( ( http: / / www.21cnjy.com )1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.www.21-cn-jy.com
题型三　由集合间的包含关系求参数
【探究1】　设集合A＝{a，b}，且B A，求B.
解　B是A的子集，则B可能是 ，{a}，{b}，{a，b}．
【探究2】　下列命题正确的是(　　)
A．A 　　　 B． A C．A? 　　 D． ?A
解析　由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选B．
答案　B
【探究3】　设集合A＝{x|ax＋1＝0} ( http: / / www.21cnjy.com )，B＝{x|ax2＋x＋1＝0}，C＝{x|a＋1解　集合A，B，C都可能是空集．当a＝0时 ( http: / / www.21cnjy.com )，集合A是空集，当Δ＝1－4a<0，且a≠0，即a>时，集合B是空集；当a＋1≥2a，即a≤1时，集合C是空集．21教育网
【探究4】　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解　∵B A，
(1)当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠ 时，有解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
规律方法　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练3】　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围．
解　(1)若A?B，由图可知a>2.
(2)若B A，由图可知1≤a≤2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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