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第五讲 对数的运算
【学习目标】
1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点).
2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点)．
知识点1　对数的运算性质
若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点2　换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
题型一　利用对数的运算性质化简、求值
【例1】　计算下列各式的值：
(1)lg－lg ＋lg；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.
解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10
＝.
法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg
＝lg(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．21教育网
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
【训练1】　计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；
(2).
解　(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2
＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
(2)原式＝
＝
＝.
题型二　利用换底公式化简、求值
【例2】　(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
(1)解析　原式＝＝
·＝×＝.
答案　
(2)解　法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
法三　∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝＝blg 18.
∴log3645＝＝＝＝＝.
规律方法　利用换底公式化简与求值的思路
【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．21cnjy.com
解　(1)由log1227＝a，得＝a，
∴lg 2＝lg 3.
∴log616＝＝＝＝.
(2)法一　原式＝·
＝＝log25·(3log52)
＝13log25·＝13.
法二　原式＝
＝
＝＝13.
法三　原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)21·cn·jy·com
＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13.
题型三　利用对数式与指数式的互化解题
【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.
解　(1)法一　由3a＝4b＝36，
得a＝log336，b＝log436，
由换底公式得＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.
法二　由3a＝4b＝36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63＝blog64＝log636＝2，
∴＝log63，＝log64＝log62，
∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，
由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.21世纪教育网版权所有
规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．www.21-cn-jy.com
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．2·1·c·n·j·y
【训练3】　已知3a＝5b＝M，且＋＝2，则M＝________.
解析　由3a＝5b＝M，得a＝log3M，b＝log5M，故＋＝logM3＋logM5＝logM15＝2，
∴M＝.
答案　
课堂小结
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．【来源：21·世纪·教育·网】
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N)．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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