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第六讲 对数函数的图象及性质
【学习目标】
1.理解对数函数的概念(易错点).
2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点)．
知识点1　对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点2　对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0当x＞1时，y＜0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
知识点3　反函数
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
题型一　对数函数的概念及应用
【例1】　(1)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　)
①y＝logx2；②y＝logax(a∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个　　　 B．2个 C．3个　　 D．4个
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
解析　(1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，21教育网
∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，21cnjy.com
∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义．
(2)由题意设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，则f(4)＝loga4＝－2，所以a－2＝4，故a＝，
f(x)＝x，所以f(8)＝8＝－3.
答案　(1)B　(2)－3
规律方法　判断一个函数是对数函数的方法
【训练1】　若函数f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则a＝________.21·cn·jy·com
解析　由题意可知解得a＝4.
答案　4
题型二　对数型函数的定义域
【例2】　(1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为________．
(2)函数f(x)＝eq \f(1, 2x＋1 )的定义域为________．
解析　(1)若使函数式有意义需满足条件： 取交集可得：x∈(－1,2)，故函数的定义域为(－1,2)．www.21-cn-jy.com
(2)由题意有解得x>－且x≠0，则f(x)的定义域为∪(0，＋∞)．
答案　(1)(－1,2)　(2)∪(0，＋∞)
规律方法　求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【训练2】　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
解　(1)要使函数有意义，需满足
解得x＞2且x≠3.
∴函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1＜x＜0或0＜x＜4.
∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,4)．
题型三　对数函数的图象问题
【例3】　(1)函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
A．(1,2)　　　 B．(2,1) C．(－2,1)　　 D．(－1,1)
(2)如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则(　　)
A．a4>a3>1>a2>a1>0 B．a3>a4>1>a1>a2>0
C．a2>a1>1>a4>a3>0 D．a1>a2>1>a3>a4>0
(3)作函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象．
解析　(1)令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．
(2)作直线y＝1，它与各曲线C1，C ( http: / / www.21cnjy.com )2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.21世纪教育网版权所有
答案　(1)D　(2)A
(3)解　第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(1＋x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．2·1·c·n·j·y
第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
规律方法　1.对数函数图象过定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
2．根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．【来源：21·世纪·教育·网】
3．函数图象的变换规律：
(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．
【训练3】　已知a>0且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)
解析　∵函数y＝ax与y＝logax互 ( http: / / www.21cnjy.com )为反函数，∴它们的图象关于直线y＝x对称．再由函数y＝ax的图象过(0,1)，y＝logax的图象过(1,0)，观察图象知，只有C正确．21·世纪*教育网
答案　C
课堂小结
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0，且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．www-2-1-cnjy-com
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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