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第四讲 对数概念与对数性质
【学习目标】
1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).
2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．
知识点1　对　数
1．对数
(1)指数式与对数式的互化及有关概念：
(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.
2．常用对数与自然对数
知识点2　对数的基本性质
(1)负数和零没有对数．
(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．
(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．
题型一　对数的定义
【例1】　(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
(1)解析　由题意可知解得2答案　(2,3)∪(3,4)
(2)解　①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
规律方法　指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
【训练1】　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)m＝n；(4)lg 1000＝3.
解　(1)因为43＝64，所以log464＝3；
(2)因为ln a＝b，所以eb＝a；
(3)因为m＝n，所以n＝m；
(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.
题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值
【例2】　(1)求下列各式的值．
①log981＝________.②log0.41＝________.③ln e2＝________.21世纪教育网版权所有
(2)求下列各式中x的值．
①log64x＝－；②logx8＝6；
③lg 100＝x；④－ln e2＝x.
(1)解析　①设log981＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.21教育网
答案　①2　②0　③2
(2)解　①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－)＝4－2＝；
②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝；
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；
④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
规律方法　对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想．
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法．
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
【训练2】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值．
(1)log2x＝－；(2)logx25＝2；
(3)log5x2＝2.
解　(1)由log2x＝－，得2－＝x，
∴x＝.
(2)由logx25＝2，得x2＝25.
∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由log5x2＝2，得x2＝52，
∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
∴x＝5或x＝－5.
题型三　利用对数的性质及对数恒等式求值
【例3】　(1)71－log75；(2)100eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 9－lg 2))；
(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c>0)．
解　(1)原式＝7×7－log75＝＝.
(2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9×＝9×＝.
(3)原式＝(alogab)logbc＝b logbc＝c.
规律方法　对数恒等式alogaN＝N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
【训练3】　(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________.
(2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________.
解析　(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13.
(2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3.21cnjy.com
答案　(1)13　(2)e3
课堂小结
1．对数概念与指数概念有关，指 ( http: / / www.21cnjy.com )数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.21·cn·jy·com
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．www.21-cn-jy.com
3．指数式与对数式的互化
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