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第八讲 幂函数
【学习目标】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点2　幂函数的图象和性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，减 增 增 x∈(0，＋∞)，减x∈(－∞，0)，减
公共点 都经过点(1,1)
题型一　幂函数的概念
【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　)
A．0　　　 B．1　　　 C．2　　 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案　(1)B　(2)5或－1
规律方法　判断函数为幂函数的方法
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依 ( http: / / www.21cnjy.com )据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．21cnjy.com
【训练1】　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
解析　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23，
∴f＝log23＝.
答案　
题型二　幂函数的图象及应用
【例2】　(1)如图所示，图中的曲线是幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)21教育网
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)；
②f(x)＝g(x)；③f(x)(1)解析　根据幂函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．21·cn·jy·com
答案　B
(2)解　设f(x)＝xα ( http: / / www.21cnjy.com )，g(x)＝xβ.∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：2·1·c·n·j·y
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)规律方法　解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．21·世纪*教育网
【训练2】　如图是函数y＝x (m，n∈N*，m，n互质)的图象，则(　　)
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析　由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1.www-2-1-cnjy-com
答案　C
题型三　利用幂函数的性质比较大小
【例3】　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；(2)－1与－1.
解　(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.3>0.3.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
【迁移1】　(变换条件)若将例1(1)中的两数换为“0.3与－0.3”，则二者的大小关系如何？
解　因为－0.3＝30.3，而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又<3，所以0.3<30.3.即0.3<－0.3.
【迁移2】　(变换条件)若将例1(1)中的两数换为“0.3与0.3”，则二者的大小关系如何？
解　因为y1＝x在(0，＋∞)为上 ( http: / / www.21cnjy.com )减函数，又0.3<，所以0.3>，又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>0.3，所以>0.3，所以0.3>0.3.21世纪教育网版权所有
规律方法　比较幂值大小的三种基本方法
【训练3】　比较下列各组数的大小：
(1)0.5与0.5；(2)－3.143与－π3；
(3)与.
解　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且＞，
∴0.5＞0.5.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14＜π，
∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
(3)∵y＝x是R上的减函数，∴＜.
y＝x是[0，＋∞)上的增函数，
∴＞.∴＞.
课堂小结
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数在第一象限内指数变化规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．www.21-cn-jy.com
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
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