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第五讲 函数的表示法
【学习目标】
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.
2.掌握求函数解析式的常见方法(重点、难点)．
知识点　函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
题型一　作函数的图象
例1、作出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
解　 (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．
(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示．
规律方法　作函数图象的步骤及注意点
(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象．21教育网
(2)函数的图象可能是平滑的曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点．
【训练1】　画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．21·cn·jy·com
题型二　列表法表示函数
例2、已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．www.21-cn-jy.com
解析　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示：
x 1 2 3
f(g(x)) 1 3 1
g(f(x)) 3 1 3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
答案　1　2
规律方法　列表法表示函数的相关问题的解法
解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决．2·1·c·n·j·y
【训练2】　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
(1)f[g(1)]＝__________；
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.
解析　(1)由表知g(1)＝3，
∴f[g(1)]＝f(3)＝1；
(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
答案　(1)1　(2)1
题型三　求函数的解析式
方向1　待定系数法求函数解析式
例1、(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，则函数f(x)的解析式为________．
(2)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为________．
解析　(1)设f(x)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，所以解得k＝4，b＝－5或k＝－4，b＝，21cnjy.com
所以f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋.
(2)设f(x)＝ax2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x.【来源：21·世纪·教育·网】
故得解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1.
答案　(1)f(x)＝4x－5或f(x)＝－4x＋　(2)f(x)＝x2－x＋1
方向2　换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式
例2、(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
解　(1)法一　(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二　(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1.
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
规律方法　求函数解析式的类型及方法
(1)若已知所要求的解析式f(x)的类型，可用待定系数法求解，其步骤为：①设出所求函数含有待定系数的解析式；21·世纪*教育网
②把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)；
③解方程(组)，得到待定系数的值；
④将所求待定系数的值代回所设解析式．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．21世纪教育网版权所有
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．www-2-1-cnjy-com
(3)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．2-1-c-n-j-y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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