资源简介

昌平区2021—2022学年第二学期高一年级期末质量抽测
数学试卷
本试卷共5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为，其在复平面内对应点的坐标为，
故复数对应的点位于第二象限.
故选：B.
2. 设向量，，则（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，直接计算作答.
【详解】因向量，，所以.
故选：A
3. （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用三角函数的诱导公式化简求值即可.
【详解】
故选：B
4. 在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中直线的位置关系逐一判断即可.
【详解】直线与直线异面但不垂直，直线与直线异面但不垂直，
直线与直线异面且垂直，直线与直线共面，
故选：C
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得答案.
【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，
所以，
故选：D
6. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可；
【详解】解：对于A：最小正周期为，故A错误；
对于B：，则，故为偶函数，故B错误；
对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
对于D：，最小正周期为的偶函数，故D错误；
故选：C
7. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据图可得的坐标，然后可算出答案.
【详解】由图可得，，所以，
所以，
故选：C
8. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出平移后的解析式，然后求出的值即可.
【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，得到的是函数的图像，
因为函数的图像关于轴对称，
所以，，即，
所以当时，
故选：D
9. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】在中，由得：或，而，则，因此得，
于是得，是钝角三角形，
当是钝角三角形时，取钝角，，
即钝角三角形不能推出，
所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.
故选：A
10. 如图，在正方体中，点，分别为线段，上的任意一点．给出下列四个结论：
①存在点，，使得平面；
②存在点，，使得平面；
③存在点，，使得平面；
④存在点，，使得平面．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】当，分别为线段，的中点时，，然后可判断出答案.
【详解】当，分别为线段，的中点时，，所以此时有平面，平面，
不存在点，，使得平面、平面，
故正确结论的序号是①④，
故选：D
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 已知复数，则____.
【答案】
【解析】
【详解】
12. 在中，已知，则____．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理结合得出.
【详解】在中，已知，则
由于，故．
故答案为：
13. 已知向量，满足，，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量垂直得向量数量积为0，结合向量数量积的定义即可求解.
【详解】解：因为，所以，
又，，所以，解得.
故答案为：.
14. 已知函数的部分图像如图所示，则________；________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期与，可求出的值.
再借助图象平移变换可把上图由的图象向左平移得到的，进而求出.
【详解】由相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可得 ，即.又且，所以.观察图象易得轴左侧的第一个对称中心为 ，根据，因此函数的图象可由的图象向左平移得到的，故 ，可得.
故答案为：2，
15. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出下列五个论断：
①；②；③；④；⑤．
以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是_______．（填上你认为正确的一组序号）
【答案】②⑤或③④
【解析】
【分析】根据空间中的线面、面面位置关系可判断出答案.
【详解】由、可得；
由、可得；
故答案为：②⑤或③④
16. 已知函数，．给出下列三个结论：
①是偶函数；
②的值域是；
③在区间上是减函数．
其中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③
【解析】
【分析】计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③.
【详解】因为，所以是偶函数，故①正确，
当时，，
当时，
又因为，所以的值域是，故②错误；
当时，，此时，
所以在区间上是减函数，故③正确，
故答案为：①③
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知函数．
（1）求的值及的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1），最小正周期
（2）最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式化简，进而可求的值及的最小正周期；（2）由可求，进而根据正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，所以，的最小正周期为
【小问2详解】
因为，则，故当，即时取最大值，当，即时，取最小，
18. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由条件可得，即可证明；
（2）根据条件证明、，然后得到平面即可.
【小问1详解】
因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
【小问2详解】
因为，为的中点，所以，
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，
因为平面，所以，因为，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
19. 在中，，，．
（1）求和的值；
（2）求BC边上的高．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出的值，然后利用正弦定理可得的值；
（2）BC边上的高为，即可算出答案.
【小问1详解】
因为，，，
所以由余弦定理得，所以，解得，
所以，所以由正弦定理可得，；
【小问2详解】
BC边上的高为.
20. 如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若平面BCEF与直线AG相交于点H，试确定点H的位置，并求线段BH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）点为的延长线与的延长线的交点，.
【解析】
【分析】（1）根据条件证明四边形是平行四边形，然后得到即可；
（2）根据面面垂直的性质定理得到平面即可；
（3）点为的延长线与的延长线的交点，然后可求出答案.
【小问1详解】
因为，，，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因平面，平面，所以平面，
【小问2详解】
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
【小问3详解】
因为与共面，所以点为的延长线与的延长线的交点，
因为，，所以，所以，
因为平面，所以为直角三角形，
所以
21. 已知函数的定义域为，满足如下两个条件：
①对于任意，都有成立；
②函数的所有正数零点中存在最小值为．
则称函数具有性质．
（1）若函数具有性质，求的值；
（2）若函数具有性质，求和的值；
（3）判断函数和是否具有性质，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不具有性质，具有性质
【解析】
【分析】（1）根据函数具有性质，则可取，，即可求解.
（2）根据具有性质，可知2是最小的正数零点，结合即可求解.
（3）根据函数具有性质的必要条件可判断，根据两角和与差的余弦公式即可验证.
【小问1详解】
对于任意，都有成立；
取，，则，因为函数的所有正数零点中存在最小值为．所以不恒为0，因此
【小问2详解】
令，由于具有性质，故可知，又由（1）知，所以.
【小问3详解】
由（1）知：若函数是具有性质，则满足可知：，故函数不具有性质，
对任意的，，且存在最小的正数使得，故具有性质昌平区 2021—2022 学年第二学期高一年级期末质量抽测
数学试卷
本试卷共 5 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡
上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 在复平面内，复数 i (3+ i)对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算进行化简，根据复数的几何意义即可求解.
【详解】解：因为 i (3+ i) = 1+3i ，其在复平面内对应点的坐标为 ( 1,3)，
故复数 i (3+ i)对应的点位于第二象限.
故选：B.
2. 设向量a = (2,1)，b = ( 1,3)，则 a b =（ ）
A. 1 B. 5 C. 7 D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的坐标表示，直接计算作答.
【详解】因向量a = (2,1)，b = ( 1,3)，所以a b = 2 ( 1)+1 3=1 .
故选：A
.4π3. sin =（ ） 31 3 1 3A B. C. D. 2 2 2 2【答案】B
【解析】
【分析】运用三角函数的诱导公式化简求值即可.
4π π π 3
【详解】 sin = sin π + = sin =
3 3 3 2
故选：B
4. 在正方体 ABCD A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线CD1 异面且垂直的可以是
（ ）
A. AB B. BB1 C. AD D. CD
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中直线的位置关系逐一判断即可.
【详解】直线 AB 与直线CD1 异面但不垂直，直线 BB1与直线CD1 异面但不垂直，
直线 AD 与直线CD1 异面且垂直，直线CD与直线CD1 共面，
故选：C
5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 3x上，则
tan =（ ）
1 1
A. 3 B. C. D. 3
2 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得答案.
【详解】因为角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 3x
上，
y
所以 tan = = 3 ，
x
故选：D
6. 下列函数中，最小正周期为 的奇函数是（ ）

A. y = sin x + B. y = sin 2x
4
C. y = sin xcos x 2 2 D. y = cos x sin x
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可；

【详解】解：对于 A： y = sin x + 最小正周期为2 ，故 A 错误；
4
对于 B： y = f (x) = sin 2x ，则 f ( x) = sin 2x = sin 2x = f (x)，故 y = sin 2x 为
偶函数，故 B 错误；
1 2
对于 C： y = sin x cos x = sin 2x，最小正周期T = = ，且为奇函数，故 C 正确；
2 2
对于 D： y = cos2 x sin2 x = cos 2x ，最小正周期为 的偶函数，故 D 错误；
故选：C
7. 已知向量 a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为
1，则 2a b =（ ）
A. 5 B. 17 C. 2 5 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据图可得 a,b 的坐标，然后可算出答案.
【详解】由图可得，a = (3,0) ,b = (2,2)，所以2a b = (4, 2)，
2
所以 2a b = 42 + ( 2) = 2 5 ，
故选：C
π
8. 将函数 y = sin ( x + )的图像向左平移 个单位长度后，得到的图像关于 y 轴对称，则
3
的值可以为（ ）
π π π 7π
A. B. C. D.
3 4 2 6
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出平移后的解析式，然后求出 的值即可.

【详解】函数 y = sin ( x + )的图像向左平移 个单位长度后，得到的是函数
3
π
y = sin x + + 的图像，
3
π
因为函数 y = sin x + + 的图像关于 y 轴对称，
3
π π π π
所以 sin + = 1， + = kπ+ (k Z )，即 = kπ+ (k Z )，
3 3 2 6
7π
所以当 k =1时 = ，
6
故选：D
1
9. 在 ABC中， A = ，则“ sin B ”是“ ABC是钝角三角形”的（ ）
3 2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
1 π 5π
【详解】在 ABC中，由 sin B 得：0 B 或 B π，而 A = ，则
2 6 6 3
2π π
0 B ，因此得0 B ，
3 6
π
于是得C = π A B ， ABC是钝角三角形，
2
7π
当 ABC是钝角三角形时，取钝角 B = ，
12
7π 5π π 3 1
sin B = sin = sin sin = ，
12 12 3 2 2
1
即 ABC 钝角三角形不能推出 sin B ，
2
是
1
所以“ sin B ”是“ ABC是钝角三角形”的充分而不必要条件.
2
故选：A
10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P ，Q分别为线段 BD， A1C1 上的任意一
点．给出下列四个结论：
①存在点 P ，Q，使得PQ ⊥平面 ABCD；
②存在点 P ，Q，使得PQ ⊥平面 BDC1 ；
③存在点 P ，Q，使得 PQ∥平面 BCD1；
④存在点 P ，Q，使得 PQ∥平面 D1DCC1 ．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】当 P ，Q分别为线段 BD， A1C1 的中点时， PQ//CC1，然后可判断出答案.
【详解】当 P ，Q分别为线段 BD， A1C1 的中点时， PQ//CC1，所以此时有PQ ⊥平面
ABCD， PQ∥平面 D1DCC1 ，
不存在点 P ，Q，使得PQ ⊥平面 BDC1 、 PQ∥平面 BCD1，
故正确结论的序号是①④，
故选：D
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
1 i
11. 已知复数 z = ，则 | z |= ____.
i
【答案】 2
【解析】
1 i
【详解】 z = = 1 i z = 2
i
12. 在 ABC中，已知b2 = a2 c2 bc，则 A = ____．
2
【答案】
3
【解析】
【分析】由余弦定理结合b2 = a2 c2 bc得出A .
b2 + c2 a2 1
【详解】在 ABC中，已知b2 = a2 c2 bc，则 cos A = =
2bc 2
2
由于0 A ，故 A = ．
3
2
故答案为：
3
13. 已知向量 a ，b 满足 a = 3， b = 2 ， (a b) ⊥ b ，则 cos a,b = _______．
2
【答案】
3
【解析】
【分析】利用平面向量垂直得向量数量积为 0，结合向量数量积的定义即可求解.
2 2
【详解】解：因为 (a b) ⊥ b ，所以 (a b) b = a b b = a b cos a,b b = 0 ，
2
又 a = 3， b = 2 ，所以3 2cos a,b 4 = 0 ，解得 cos a,b = .
3
2
故答案为： .
3

14. 已知函数 f (x) = Asin ( x + ) A 0, 0, 的部分图像如图所示，则 =
2
________； = ________．

【答案】 ①. 2 ②.
6
【解析】
2
【分析】相邻两个对称中心之间的距离为半个周期与T = ，可求出 的值.


再借助图象 平移变换可把上图由 y = Asin 2x的图象向左平移 得到的，进而求出 .
12
5 11
【详解】由相邻两个对称中心 ，0 ， ,0 之间的距离为半个周期，可得
12 12
T 11 5 2
= - = ，即T = .又T = 且 0，所以 = 2 .观察图象易得 y 轴左侧的
2 12 12 2

第一个对称中心为 ,0 ，根据 ，因此函数 f (x) = Asin (2x + )的图象可
12 2

由 y = Asin 2x的图象向左平移 得到的，故 Asin 2(x + = Asin (2x + ) ，可得12 12
π
= .
6

故答案为：2，
6
15. 已知 ， 是两个不同的平面，m ， n 是两条不同的直线，给出下列五个论断：
①m∥ ；②m⊥ ；③n∥m；④n ⊥ ；⑤ ∥ ．
以其中两个论断作为条件，使得m ⊥ 成立．这两个论断可以是_______．（填上你认为正
确的一组序号）
【答案】②⑤或③④
【解析】
【分析】根据空间中的线面、面面位置关系可判断出答案.
【详解】由m⊥ 、 ∥ 可得m ⊥ ；
由n∥m、n ⊥ 可得m ⊥ ；
故答案为：②⑤或③④
16. 已知函数 f (x) = sin x cos x， x R ．给出下列三个结论：
① f (x)是偶函数；
② f (x)的值域是 2, 2 ；
3π
③ f (x)在区间 ,π 上是减函数．
4
其中，所有正确结论的序号是_______．
【答案】①③
【解析】
【分析】计算出 f ( x) = f (x)可判断①，分 x 0,π 、 x π,2π 两种情况求出 f (x)
3π
的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当 x ,π 时，
4
π
f (x) = 2 sin x ，然后可判断③.
4
【详解】因为 f ( x) = sin ( x) cos ( x) = sin x cos x = f (x)，所以 f (x)是偶函
数，故①正确，
π
当 x 0,π 时， f (x) = sin x cos x = 2 sin x 1, 2 ， 4
π
当 x π,2π 时， f (x) = sin x cos x = 2 sin x + 1, 2
4
又因为 f (x + 2π) = sin (x + 2π) cos (x + 2π) = f (x)，所以 f (x)的值域是
1, 2
，故②错误；
3π π π π 3π
当 x ,π 时， f (x) = sin x cos x = 2 sin x ，此时 x , ，
4 4 4 2 4
3π
所以 f (x)在区间 ,π 上是减函数，故③正确，
4
故答案为：①③
三、解答题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 已知函数 f (x) = 3sin 2x+ cos2x．
（1）求 f ( π 的值及 f (x)的最小正周期； 4 )
π
（2）求 f (x)在区间 0, 上的最大值和最小值．
2
π
【答案】（1） f = 3 ，最小正周期T = π
4
（2）最大值为 2，最小值为 1
【解析】
π π
【分析】（1）根据辅助角公式化简 f (x) = 2sin 2x + ，进而可求 f ( )的值及 f (x)
6 4
π π π 7π
的最小正周期；（2）由 x 0, 可求2x + , ，进而根据正弦函数的性质即可
2 6 6 6
求解.
【小问 1 详解】
π
f (x) = 3 sin 2x + cos 2x=2sin 2x + ，所以
6
π π π π 2π
f =2sin 2 + =2cos = 3， f (x)的最小正周期为T= = π
4 4 6 6 2
【小问 2 详解】
π π π 7π π π π
因为 x 0, 2
，则 2x + , ，故当 2x + = ，即 x= 时 f (x)取最大值
6 6 6 6 2 6
π π 7π π π
f = 2 ，当2x + = ，即 x= 时， f (x)取最小 f = 1，
6 6 6 2 2
18. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB = AC ， E ， F 分别为 BC ， AC 的中点．
（1）求证： AB∥平面 EFB1；
（2）求证：平面 AEB1 ⊥平面 BCC1B1．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由条件可得 AB//EF ，即可证明；
（2）根据条件证明 AE ⊥ BC 、 AE ⊥ BB1，然后得到 AE⊥平面 BCC1B1即可.
【小问 1 详解】
因为 E ， F 分别为 BC ， AC 的中点，所以 AB//EF ，
因为 AB 平面 EFB1， EF 平面 EFB1，
所以 AB∥平面 EFB1，
【小问 2 详解】
因为 AB = AC ， E 为 BC 的中点，所以 AE ⊥ BC ，
因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 BB1 ⊥平面 ABC ，
因为 AE 平面 ABC ，所以 AE ⊥ BB1，因为BC BB1 = B ，
所以 AE⊥平面 BCC1B1，
因为 AE 平面 AEB1 ，所以平面 AEB1 ⊥平面BCC1B1 .
19. 在 ABC中，b = 3，2c a = 3， A =120 ．
（1）求c 和 sin B 的值；
（2）求 BC边上的高．
3 3
【答案】（1）c = 5， sin B = ；
14
15 3
（2） .
14
【解析】
【分析】（1）首先利用余弦定理和条件可求出 a,c 的值，然后利用正弦定理可得sin B 的
值；
（2）BC边上的高为 csin B，即可算出答案.
【小问 1 详解】
因为b = 3，2c a = 3， A =120 ，
2
所以由余弦定理得 a2 = b2 + c2 + bc ，所以 (2c 3) = 9+ c2 +3c ，解得c = 5，
3
a b 3
所以a = 7，所以由正弦定理可得 = ， bsin A 2 3 3 ；
sin A sin B sin B = = =
a 7 14
【小问 2 详解】
3 3 15 3
BC边上的高为 csin B = 5 = .
14 14
20. 如图，在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， BAD = 90 ，
1
AB = BC = AD =1．以直线 AD 为轴，将直角梯形 ABCD旋转得到直角梯形
2
1
AFED ，使得平面 ABCD⊥平面 AFED ，点G 为线段 DE 上一点，且 EG = DE ．
3
（1）求证： BF∥平面CDE；
（2）求证： AF ⊥CD；
（3）若平面 BCEF与直线 AG相交于点 H，试确定点 H的位置，并求线段 BH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）点 H 为 AG的延长线与 FE 的延长线的交点， BH = 6 .
【解析】
【分析】（1）根据条件证明四边形 BCEF 是平行四边形，然后得到BF //CE即可；
（2）根据面面垂直的性质定理得到 AF ⊥平面 ABCD即可；
（3）点H 为 AG的延长线与 FE 的延长线的交点，然后可求出答案.
【小问 1 详解】
1 1
因为 BC//AD， BC = AD ， EF //AD， EF = AD ，所以 BC//EF ，BC=EF ，
2 2
所以四边形 BCEF 是平行四边形，所以BF //CE，
因 BF 平面CDE，CE 平面CDE，所以 BF∥平面CDE，
【小问 2 详解】
因为平面 ABCD⊥平面 AFED ，平面 ABCD 平面 AFED = AD ， AF ⊥ AD， AF
平面 AFED ，
所以 AF ⊥平面 ABCD，
因为CD为 平面 ABCD，所以 AF ⊥CD， 【小问 3 详解】
因为 AG与 FE 共面，所以点 H 为 AG的延长线与 FE 的延长线的交点，
1
因为 EG = DE ， ADG HEG，所以 AD = 2EH ，所以FH = 2 ，
3
因为 AB ⊥平面 AFED ，所以 ABH 为直角三角形，
所以 BH = AB2 + AH 2 = 1+1+ 4 = 6
21. 已知函数 f (x)的定义域为R，满足如下两.个条件：
①对于任意m,n R ，都有 f (m+ n)+ f (m n) = 2 f (m) f (n)成立；
②函数 f (x)的所有正数零点中存在最小值为 t ．
则称函数 f (x)具有性质 P (t )．
（1）若函数 f (x)具有性质 P (t )，求 f (0)的值；
（2）若函数 f (x) = Acos x (A 0, 0)具有性质 P (2)，求A 和 的值；
（3）判断函数 g (x) = sin x和 h (x) = cos x是否具有性质 P (t )，说明理由．
【答案】（1） f (0) =1
π
（2） A = 1, =
4
（3） g (x) = sin x不具有性质 P (t )，h (x) = cos x具有性质 P (t )
【解析】
【分析】（1）根据函数 f (x)具有性质 P (t )，则可取n = 0，m R，即可求解.
（2）根据 f (x) = Acos x (A 0, 0)具有性质 P (2)，可知 2 是最小的正数零点，结
合 f (0) =1即可求解.
（3）根据函数具有性质 P (t )的必要条件 f (0) =1可判断 g (x) = sin x，根据两角和与差
的余弦公式即可验证 h (x) = cos x .
【小问 1 详解】
对于任意m,n R ，都有 f (m+ n)+ f (m n) = 2 f (m) f (n)成立；
取n = 0，m R，则 f (m) + f (m) = 2 f (m) f (0) 2 f (m)(1 f (0)) = 0 ，因为函
数 f (x)的所有正数零点中存在最小值为 t ．所以 f (m)不恒为 0，因此 f (0) =1
【小问 2 详解】
π π kπ
令 f (x) = Acos x=0 x = + kπ x = + ,k Z，由于
2 2
π π
f (x) = Acos x (A 0, 0)具有性质 P (2)，故可知2 = = ，又由（1）知
2 4
f (0) =1，所以 Acos0 =1 A =1.
【小问 3 详解】
由（1）知：若函数 f (x)是具有性质 P (t )，则满足 f (0) =1可知：
g (0) = sin 0=0 1，故函数 g (x) = sin x不具有性质 P (t )，
对 任 意 的 m,n R ，
h(m + n) + h (m n) = cos (m + n) + cos (m n) = 2cosmcosn = 2 f (m) f (n)
，且存在
π π
h = 0
最小的正数 2 使得 2
h (x) = cos x P (t )
，故 具有性质2022年北京市昌平区高一下学期期末数学试卷
本试卷共8页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设向量，，则
A. B. C. D.
3.
A. B. C. D.
4. 在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是
A. B. C. D.
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则
A. B. C. D.
6. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是
A. B.
C. D.
7. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为，则
A.
B.
C.
D.
8. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，则的值可以为
A. B. C. D.
9. 在△中，，则“”是“△是钝角三角形”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 如图，在正方体中，点分别为线段上的任意一点. 给出下列四个结论：
①存在点，使得平面；
②存在点，使得平面；
③存在点，使得平面；
④存在点，使得平面.
其中，所有正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 若复数，则_________.
12. 在△中，若，则_________.
13. 已知向量满足，，，则_________.
14. 已知函数的部分
图像如图所示，则_________；_________.
15. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列五个论断：
①；②；③；④；⑤.
以其中两个论断作为条件，使得成立. 这两个论断可以是_________.（填上你认为正确的一组序号）
16. 已知函数，. 给出下列三个结论：
①是偶函数；
②的值域是；
③在区间上是减函数.
其中，所有正确结论的序号是_________.
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值及的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
18.（本小题14分）
如图，在直三棱柱中，，分别为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面.
19.（本小题14分）
在△中，，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求边上的高.
20.（本小题14分）
如图，在直角梯形中，，，. 以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若平面与直线相交于点，试确定点的位置，并求线段的长.
21.（本小题14分）
已知函数的定义域为，满足如下两个条件：
①对于任意，都有成立；
②函数的所有正数零点中存在最小值为.
则称函数具有性质.
（Ⅰ）若函数具有性质，求的值；
（Ⅱ）若函数具有性质，求和的值；
（Ⅲ）判断函数和是否具有性质，说明理由.
22022 年北京市昌平区高一下学期期末数学试卷
本试卷共 8 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 在复平面内，复数 i(3+i) 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设向量 a = (2,1)， b = ( 1,3)，则 a b =
A.1 B. 5 C. 7 D. 5
4π
3. sin =
3
1 3 1 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
4. 在正方体 ABCD A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线CD1异面且垂直的可以是
A. AB B. BB1 C. AD D. CD
5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 tan =
1 1
A. 3 B. C. D. 3
2 2
6. 下列函数中，最小正周期为 π的奇函数是
π
A. y = sin(x + ) B. y = sin | 2x |
4
C. y = sin xcos x D. y = cos2 x sin2 x
1
7. 已知向量 a,b在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长均为1，则
| 2a b |=
A. 5
B. 17
C. 2 5
D. 20
π
8. 将函数 y = sin(x + ) 的图像向左平移 个单位长度后，得到的图像关于 y 轴对称，则 的
3
值可以为
π π π 7π
A. B. C. D.
3 4 2 6
π 1
9. 在△ ABC 中， A = ，则“ sin B ”是“△ ABC 是钝角三角形”的
3 2
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P,Q 分别为线段 BD, A1C1上的任意一点. 给出下
列四个结论：
①存在点 P,Q ，使得 PQ ⊥平面 ABCD；
②存在点 P,Q ，使得 PQ ⊥平面 BDC1；
③存在点 P,Q ，使得 PQ / / 平面 BCD1；
④存在点 P,Q ，使得 PQ / / 平面 D1DCC1 .
其中，所有正确结论的序号是
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
2
第二部分（非选择题 共 100 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
1 i
11. 若复数 z = ，则 | z |= _________.
i
12. 在△ ABC 中，若b2 + c2 = a2 bc ，则 A= _________.
13. 已知向量 a,b满足 | a |= 3， | b |= 2 ， (a b) ⊥ b ，则 cos a,b = _________.
π
14. 已知函数 f (x) = Asin( x + ) (A 0, 0,| | )的部分
2
图像如图所示，则 =_________； =_________.
15. 已知 , 是两个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，给出下列五个论断：
①m / / ；②m ⊥ ；③ n / / m；④ n ⊥ ；⑤ / / .
以其中两个论断作为条件，使得m ⊥ 成立. 这两个论断可以是_________.（填上你认为正
确的一组序号）
16. 已知函数 f (x) =| sin x | cos x， x R . 给出下列三个结论：
① f (x) 是偶函数；
② f (x) 的值域是[ 2, 2]；
3π
③ f (x) 在区间 ( ,π) 上是减函数.
4
其中，所有正确结论的序号是_________.
3
三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.（本小题 14 分）
已知函数 f (x) = 3sin 2x + cos2x .
π
（Ⅰ）求 f ( ) 的值及 f (x) 的最小正周期；
4
π
（Ⅱ）求 f (x) 在区间[0, ]上的最大值和最小值.
2
4
18.（本小题 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB = AC ， E, F 分别为 BC, AC 的中点.
（Ⅰ）求证： AB / / 平面 EFB1；
（Ⅱ）求证：平面 AEB1 ⊥平面 BCC1B1 .
5
19.（本小题 14 分）
在△ ABC 中，b = 3， 2c a = 3 ， A =120 .
（Ⅰ）求 c 和 sin B 的值；
（Ⅱ）求 BC 边上的高.
6
20.（本小题 14 分）
1
如图，在直角梯形 ABCD中，AD / / BC ， BAD = 90 ，AB = BC = AD =1 . 以直线 AD
2
为轴，将直角梯形 ABCD旋转得到直角梯形 AFED，使得平面 ABCD ⊥平面 AFED ，点G 为
1
线段 DE 上一点，且 EG = DE .
3
（Ⅰ）求证： BF / / 平面CDE ；
（Ⅱ）求证： AF ⊥CD ；
（Ⅲ）若平面 BCEF 与直线 AG 相交于点 H ，试确定点 H 的位置，并求线段 BH 的长.
7
21.（本小题 14 分）
已知函数 f (x) 的定义域为R ，满足如下两个条件：
①对于任意m,n R ，都有 f (m + n) + f (m n) = 2 f (m) f (n) 成立；
②函数 f (x) 的所有正数零点中存在最小值为 t .
则称函数 f (x) 具有性质 P(t) .
（Ⅰ）若函数 f (x) 具有性质 P(t)，求 f (0) 的值；
（Ⅱ）若函数 f (x) = Acos x (A 0, 0) 具有性质 P(2)，求 A和 的值；
（Ⅲ）判断函数 g(x) = sin x 和 h(x) = cos x是否具有性质 P(t)，说明理由.
8

展开更多......

收起↑