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第一讲 两角差的余弦公式
【学习目标】
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
【知识总结】一、两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则21·cn·jy·com
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由向量数量积的概念，有
，结合向量数量积的坐标表示，有
所以= （*）
（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：www.21-cn-jy.com
由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。
①若，则。
②若，则，且
由以上的讨论可知，对于任意的，都有：
=
2．公式的记忆
右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角。
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。
【知识总结】二、两角差余弦公式的逆向应用和活用
1．逆用
=
要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
。
2．角变换后使用
。
3．移项运用
4．特殊化使用
5．以代
即
类型一　利用两角差的余弦公式化简求值
例1　计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求值
解　(1)方法一　原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
反思与感悟　利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．
【针对训练】　化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求值
答案　B
解析　cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°
＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°
＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.
类型二　给值求值
例2　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)等于(　　)21cnjy.com
A．－ B．－
C. D.
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求值
答案　D
解析　因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
所以(cos α－cos β)2＝，(sinα－sin β)2＝－.
两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.
所以cos(α－β)＝.
(2)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求值
解　因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝ ＝，
sin(α－β)＝－＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
反思与感悟　给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些 ( http: / / www.21cnjy.com )角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．21教育网
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【针对训练】已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求值
解　∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
类型三　给值求角
例3　已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求角
解　∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
【针对训练】已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
考点　两角差的余弦公式
题点　利用两角差的余弦公式求角
解　因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.21世纪教育网版权所有
因为0<β<，所以β＝.
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