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第十讲　三角函数模型的简单应用
学习目标　
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
知识点　利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．21·世纪*教育网
思考　现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
答案　三角函数模型．
梳理　(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．【来源：21·世纪·教育·网】
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
类型一　三角函数模型在物理中的应用
例1　一根细线的一端固定，另一端悬挂 ( http: / / www.21cnjy.com )一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.2·1·c·n·j·y
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在天文、物理学方面的应用
解　(1)周期T＝＝1(s)．
列表：
t 0 1
2πt＋ π 2π 2π＋
6sin 3 6 0 －6 0 3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
反思与感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在天文、物理学方面的应用
答案　D
解析　由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.21教育网
类型二　三角函数模型在生活中的应用
例2　如图所示，游乐场中的摩天轮 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：21·cn·jy·com
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在日常生活中的应用
解　(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
反思与感悟　解决三角函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．21cnjy.com
跟踪训练2　如图所示，一个摩天轮半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
考点　三角函数模型的应用
题点　三角函数在日常生活中的应用
解　(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h ( http: / / www.21cnjy.com )m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin t＋12(t≥0)．www.21-cn-jy.com
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，
则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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